数学理卷·2018届河南省中原名校高三上学期第五次联考试题（解析版） 22页

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 中原名校2017—2018学年第五次质量考评 高三数学（理）试题 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】集合.‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎2. 已知，若是纯虚数，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】依题意，,故，解得.‎ 故在复平面内所对应的点为，位于第二象限，‎ 故选B.‎ ‎3. 已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为 （ ）‎ A. 3 B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等比数列的公比为q,因为，则.‎ 则.‎ 故.‎ 故选D.‎ ‎4. 已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 依题意，，则抛物线,过点M作，垂足为，过点作，垂足为，则，故选B.‎ ‎5. 运行该程序框图，若输出的的值为16，则判断框中不可能填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】运行该程序，第一次，,‎ 第二次，，‎ 第三次，，‎ 第四次，，‎ 第五次，，‎ 第六次，，‎ 第七次，，‎ 第八次，，‎ 观察可知，‎ 若判断框中为。，则第四次结束，输出的值为16，满足；‎ 若判断框中为。，则第四次结束，输出的值为16，满足；‎ 若判断框中为。，则第八次结束，输出的值为16，满足；‎ 若判断框中为。，则第七次结束，输出的值为4，不满足；‎ 故选D.‎ ‎6. 已知网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意，该几何体由一个圆锥以及一个四棱柱拼接而成，圆锥的侧面积为，棱柱的表面积为，‎ 故所求几何体的表面积为.‎ 故选B.‎ ‎7. 已知实数满足，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. 8 C. 11 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图，阴影部分所示，‎ 而，表示阴影区域内的点(x,y)到直线的距离的倍，观察可知，C(2,1)到直线的距离最大，‎ 故的最大值为.‎ 故选C.‎ ‎8. 已知函数，若在区间上存在，使得，则的取值不可能为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 作出函数的图象如图所示，故问题转化为的图象的交点个数问题，观察可知，的取值为1，2，3，故选D.........................‎ ‎9. 已知三棱锥中，是边长为的正三角形，则三棱锥 的外接球半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得平面，以为一条侧棱，为底面把三棱锥补成一个直棱柱，则该直棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，且该直棱柱上下底面的外接圆圆心的中点就是球心，因为底面外接圆的半径，所以三棱锥的外接球半径为.‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ ‎10. 老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃，梅花，方片以及黑桃，让明、小红、小张、小李四个人进行猜测：‎ 小明说：第1个盒子里面放的是梅花，第3个盒子里面放的是方片；‎ 小红说：第2个盒子里面饭的是梅花，第3个盒子里放的是黑桃；‎ 小张说：第4个盒子里面放的是黑桃，第2个盒子里面放的是方片；‎ 小李说：第4个盒子里面放的是红桃，第3个盒子里面放的是方片；‎ 老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．”则可以推测，第4个盒子里装的是（ ）‎ A. 红桃或黑桃 B. 红桃或梅花 C. 黑桃或方片 D. 黑桃或梅花 ‎【答案】A ‎【解析】因为四个人都只猜对了一半，故有一下两种可能：‎ ‎（1）当小明猜对第1个盒子里面放的是梅花A时，第3个盒子里面放的不是方片A，则小李猜对第4个盒子里面放的时红桃A，小张猜对第2个盒子里面放的是方片A，小红猜对第3个盒子里面放的是黑桃A；‎ ‎（2）若小明猜对的是第3个盒子里面放的是方片A，则第1个盒子里面放的不是梅花A,小红猜对第2个盒子里面放的是梅花A，小张猜对第4个盒子里面放的是黑桃A，小李猜对第3个盒子里面放的是方片A,则第一个盒子只能是红桃A,‎ 故选A.‎ ‎11. 已知函数，过点，，则且当，且的最大值为，则的值为（ ）‎ A. B. C.和 D.和 ‎【答案】B ‎【解析】由图可知，，解得,于是，得.‎ 因为，即.‎ 所以，又，故.‎ 所以.‎ ‎.‎ 因为，于是，所以.‎ ‎①当时，当且仅当时，取得最大值1，与已知不符；‎ ‎②当时，当且仅当时，取得最大值，‎ 由已知得，解得.‎ ‎③当时，当且仅当时，取得最大值.‎ 由已知得，解得,矛盾.‎ 综上所述：.‎ 故选B.‎ 点睛：已知函数的图象求解析式 ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 ‎12. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】记函数在上的最小值为:的定义域为.‎ ‎.‎ 令，得或.‎ ‎①时，对任意的,，在上单调递增，的最小值为 ‎②当时，‎ 的最小值为;‎ ‎③当时，对任意的,在上单调递减，的最小值为.‎ 由①②③可知 易知在上单调递减，且,‎ 故实数的取值范围为.‎ 故选C.‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）‎ ‎ .‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知向量，则在方向上的投影为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，，而，‎ 则在方向上的投影为.‎ 答案为：.‎ ‎14. ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，，则，‎ 故或，即或（舍去，否则不存在），‎ 则.‎ 答案为：.‎ ‎15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，以为直径的圆与直线的交点为，且点在线段上，若，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，即，由，故，则，‎ 则中，可得.‎ 即，故，故 答案为：.‎ ‎16. 已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，且对于任意的，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，设等差数列的公差为，因为，故，故.‎ 又，故，故，故，故，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，即，显然，‎ 所以，‎ 又，当且仅当时，等号成立，所以.‎ 所以.‎ 答案为：.‎ 点睛：数值最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组 求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组 求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图所示，中，．‎ ‎（1）求证：是等腰三角形；‎ ‎（2）求的值以及的面积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2），‎ ‎【解析】试题分析：（1）在中，由正弦定理得，进而得，从而得，即可证得；‎ ‎（2）在中，由余弦定理：，得，从而得，利用求面积即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）在中，由正弦定理得，‎ 则，∴，‎ ‎∴是等腰三角形；‎ ‎（2）由（1）知：，故，‎ 在中，由余弦定理：，‎ 即，‎ 整理得，解得（舍去），， ∴，故；‎ ‎∴．‎ ‎18. 2017年10月18日上午9：00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕．习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告．全国各地、国外网友观众通过手机、互联网、电视等方式，都在关注十九大盛况．某调查网站从观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传煤端口观看的人数之比为4：1．将这200人中通过传统的传煤方式电视端口观看的观众按年龄分组：第1组，第2 组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；‎ ‎（2）把年龄在第1，2，3组的观众称青少年组，年龄在第4，5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过新型的传媒端口观看的中老年人有12人，问是否有90%的把握认为是否通过新型的传媒端口观看十九大与年龄有关？‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），平均年龄为（2）没有90%的把握认为是否通过新型的传媒端口观看十九大与年龄有关 ‎【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1得，利用每一个矩形的横坐标中点乘以面积求和可得平均值；‎ ‎（2）写出列联表，计算，查表下结论即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由频率分布直方图可得：得，‎ 所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：‎ ‎.‎ ‎（2）由题意得列联表 通过新型的传媒端口观看十九大 通过传统的传媒方式电视端口观看十九大 合计 青少年（人）‎ ‎28‎ ‎96‎ ‎124‎ 中老年（人）‎ ‎12‎ ‎64‎ ‎76‎ 合计（人）‎ ‎40‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎，‎ 所以没有90%的把握认为是否通过新型的传媒端口观看十九大与年龄有关．‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，二面角的大小为90°，，，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）试确定的值，使得直线与平面所成的角的正弦值为．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接，易证得，，从而证得平面，进而得证；‎ ‎（2）以为原点，直线坐标轴，建立空间直角坐标系，求得面的法向量为，由求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明 ：因为，且，故四边形为平行四边形；‎ 连接，因为，‎ 由余弦定理得，‎ 得，所以，即，又，‎ 所以，又，所以，所以 平面，所以；‎ ‎（2）‎ 因为二面角的大小为90°，，所以底面，所以直线两两互相垂直，以为原点，直线坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，则，‎ 所以，设平面的法向量为，由，‎ 得，令，得．‎ 依题意，，化简可得，‎ 即，解得．‎ 点睛：传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.‎ ‎20. 已知椭圆的左右焦点分别为， 若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点是点在轴上的垂足，延长交椭圆于，求证：三点共线．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得，再通过点在椭圆上求得，进而得椭圆方程；‎ ‎（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为，点，直线与椭圆联立得，由题可得直线方程为，由化简直线方程为，令，可得直线过点，进而得证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，，故，将代入中，‎ 解得，故椭圆；‎ ‎（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为，‎ 点，联立得，‎ 即，‎ 由题可得直线方程为，‎ 又∵，‎ ‎∴直线方程为，‎ 令，整理得 ‎，即直线过点，‎ 又∵椭圆的右焦点坐标为， ∴三点在同一条直线上．‎ ‎21. 已知．‎ ‎（1）若关于的方程在上恒成立，求的值；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）令，讨论的取值，只需即可；‎ ‎（2）由（1）知时，，即恒成立，令，即，一次赋值，再累加得，再取对数即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）令，‎ 若，与已知矛盾，‎ 若，则，显然不满足在上恒成立，‎ 若，对求导可得，‎ 由解得，由解得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴， ∴要使恒成立，则须使成立，‎ 即恒成立，两边取对数得，，整理得，即须此式成立，‎ 令，则，显然当时，，当时，，于是函数的上单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，即当且仅当时，恒成立，‎ ‎∴满足条件，综上所述，．‎ ‎（2）由（1）知时，，即恒成立，‎ 令，即，‎ 即，同理，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 将上式左右相加得：，‎ 即，即．‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，曲线，直线，直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（1）写出曲线的参数方程以及直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线分别交于两点，直线与曲线分别交于两点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）的参数方程是(为参数)，（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由圆的标准方程确定圆心和半径，进而得圆的参数方程，利用直角坐标与极坐标的转化求直线的极坐标方程即可；‎ ‎（2）在极坐标系下求导交点坐标，再利用求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，曲线，故曲线的参数方程是(为参数)，‎ 因为直线，直线，故的极坐标方程为 ‎；‎ ‎（2）易知曲线的极坐标方程为，‎ 把代入，得，∴，‎ 把代入，得， ∴，‎ ‎∴．‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若函数的解集包含，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；‎ ‎（2）依题意，在上恒成立，转化为在上恒成立，求函数的最小值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，；‎ 当，原式化为，解得，故；‎ 当时，原式化为，解得，故；‎ 当时，原式化为，无解；‎ 综上所述，不等式的解集为；　‎ ‎（2）依题意，在上恒成立；‎ 则在上恒成立；即，故；‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎ ‎