数学理卷·2018届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测（2018 11页

安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测试题 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 复数的共轭复数为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎3．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A．2 B．1 C. D．不存在 ‎4. 已知函数，则函数的大致图象是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎5. 从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎6．若，则的值不可能为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎7. 如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（ ）‎ A． B．2 C. D． ‎ ‎8.如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎9.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（ ）‎ A．3 B．5 C. 6 D．7‎ ‎10．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11.已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎12.已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（ ）‎ A．2448 B．2525 C. 2533 D．2652‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量满足，，则的夹角为 ．‎ ‎14.点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为 ．‎ ‎15.已知四面体中，，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为 ．‎ ‎16.已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图，中为钝角，过点作交于，已知.‎ ‎（1）若，求的大小；‎ ‎（2）若，求的长.‎ ‎18.某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：‎ 对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:‎ ‎（1）根据所给数据，求关于的回归方程；‎ ‎（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.‎ 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎19.如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎20.直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若对恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，求的大小.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知，.‎ ‎（1）若且的最小值为1，求的值；‎ ‎（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBBAD 6-10: BCADC 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）在中，由正弦定理得，，‎ 解得，又为钝角，则，故.‎ ‎(另解：在中，由余弦定理解得，从而是等腰三角形，得） ‎ ‎（2）设，则.‎ ‎∵，∴，∴.‎ 在中由余弦定理得，，‎ ‎∴，解得，故.‎ ‎18.解：（1）对，两边取自然对数得，‎ 令，得，由，，‎ 故所求回归方程为.‎ ‎（2）由，即优等品有 3 件，‎ 的可能取值是0，1，2, 3，且 ‎ ‎,‎ ‎,.‎ 其分布列为 ‎∴.‎ ‎19.解：（1）证明：分别取和的中点，连接.‎ 由平面几何知识易知共线，且.‎ 由得，从而，‎ ‎∴，又，∴.‎ ‎∴面，∴.‎ 在中，，∴，‎ 在等腰梯形中，，‎ ‎∴，∴，‎ 又，面，∴面.‎ ‎（2）由（1）知面且，故建立空间直角坐标系如图所示.‎ 则，‎ ‎.‎ 由（1）知面的法向量为.‎ 设面的法向量为，‎ 则由，得，‎ 令，得，‎ ‎∴.‎ 所以，二面角大小为.‎ ‎20.解：（1）设，将代入，得.‎ 其中，.‎ 所以，.由已知，.‎ 所以抛物线的方程.‎ ‎（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.‎ 设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以与的面积比为2. ‎ ‎21.解：（1）法一：记，‎ 则，，‎ ‎①当时，‎ ‎∵，∴，∴在上单减，‎ 又，∴，即在上单减，‎ 此时，，即；‎ ‎②当时，‎ 考虑时，，∴在上单增，‎ 又，∴，即在上单増，‎ 综上所述，.‎ 法二：当时，等价于，‎ ‎，记，则，‎ ‎∴在上单减，∴，‎ ‎∴，即在上单减，，故.‎ ‎（2）由（1）知：取，当时，恒成立，‎ 即恒成立，即恒成立， ‎ 即对于恒成立，‎ 由此，，，‎ 于是 ‎，‎ 故.‎ ‎22.解：（1）由，得圆的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）(法一)由直线的参数方程可得直线的普通方程为：，‎ 代入圆方程消去可得 ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎(也可以用几何方法求解）‎ ‎(法二）将直线的参数方程代入圆的方程可得：‎ 整理得：‎ ‎∴‎ 根据参数方程的几何意义，由题可得：‎ ‎.‎ ‎23.解：（1）(当时，等号成立）‎ ‎∵的最小值为 1，∴，∴ 或，又，∴.‎ ‎（2）由得，，∵，‎ ‎∴，即 且且.‎