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- 2021-06-10 发布
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1.3
导数在研究函数中的应用
1.3.1
函数的单调性与导数
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具
.
那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷
.
过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢,本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用吧!
1.
正确理解利用导数判断函数的单调性的原理
.
(重点)
2.
利用导数判断函数单调性
.
(难点)
3.
掌握利用导数判断函数单调性的方法
.
图
(1)
表示高台跳水运动员的高
度
随时间
t
变化的函数
的图
象
,
图
(2)
表示高台跳水运动员
的速度
随时间
t
变化的函
数 的图象
.
运
动员从起跳到最高点
,
以及从
最高点到入水这两段时间的运
动状态有什么区别
?
a
a
b
b
t
t
v
h
O
O
(1)
(2)
探究:函数的单调性与其导函数的关系
a
a
b
b
t
t
v
h
O
O
①
运动员从起跳到最高点
,
离水面的高度
h
随时间
t
的增加而增加
,
即
h(t)
是增函数
.
相应地
,
②
从最高点到入水
,
运动员离水面的高
度
h
随时间
t
的增加
而减小
,
即
h(t)
是
减函数
.
相应地
,
(1)
(2)
O
O
O
O
例
1
已知导函数 的下列信息
:
当
1
<
x
<
4
时
,
当
x
>
4
,
或
x
<
1
时
,
当
x
= 4
,
或
x
= 1
时
,
试画出函数
f
(
x
)图象的大致形状
.
解
:
当
1
<
x
<
4
时
,
可知 在此区间内单调递增
;
当
x
>
4
,
或
x
<
1
时
,
可知 在这两个区间内单调递减
;
当
x
=
4
,
或
x
=
1
时
,
综上
,
函数 图象的大致形状如图所示
.
x
y
O
1
4
y=
例
2
判断下列函数的单调性
,
并求出单调区间
:
解
:
(1)
因为
,
所以
因此
,
函数 在
上单调递增
.
如图
(1)
所示
单调递减
单调递增
单调递减
根据导数确定函数的单调性步骤:
1.
确定函数
f(x)
的定义域
.
2.
求出函数的导数
.
3.
解不等式
f
´
(x)>0,
得函数单调增区间
;
解不等式
f´(x)<0,
得函数单调减区间
.
总结提升
例
4
已知函数
f(x)
=
ax
3
+
3x
2
-
x
+
1
在
(
-
∞
,+
∞
)
上是减函数,求实数
a
的取值范围.
【
解析
】
f′(x)
=
3ax
2
+
6x
-
1
,
由题意得
3ax
2
+
6x
-
1≤0
在
(
-
∞
,+
∞)
上恒成立.
当
a
=
0
时,
6x
-
1≤0
,
x≤
不满足题意,∴
a≠0.
当
a≠0
时,由题意得,
解得
a≤
-
3.
综上可知,实数
a
的取值范围是
a≤
-
3.
1.
函数
y=3x
-
x
3
的单调增区间是
( )
A.(0
,
+∞) B.(
-∞,-
1)
C.(
-
1
,
1) D.(1
,
+∞)
C
2.
(
2014
·新课标全国
2
)若函数
在区间
单调递增,则
k
的取值范围是
( )
A
. B.
C. D.
D
3
.函数
y=xlnx
在区间
(0
,
1)
上是
( )
A.
单调增函数
B.
单调减函数
C.
在
(0, )
上是减函数,在
( , 1)
上是增函数
D.
在
( , 1)
上是减函数,在
(0, )
上是增函数
C
4
.函数
y
=
x
2
(
x
+3)
的单调递减区间是
,
单调递增区间是
.
(
-
2
,
0)
(
-∞,-
2),(0
,
+∞)
5
.函数
f
(
x
)=cos
2
x
的单调递减区间是
.
(
k
π,
k
π+ ),
k
∈Z
1.
求可导函数
f(x)
单调区间的步骤:
(1)
求
(2)
解不等式
>0(
或
<0)
(3)
确认并指出递增区间(或递减区间)
2.
证明可导函数
f(x)
在
(a,b)
内的单调性的方法:
(1)
求
(2)
确认 在
(a,b)
内的符号
(3)
作出结论
古之成大事者,不惟有超世之才,亦必有坚忍不拔之志也
.