广东省深圳市外国语学校2020届高三第一次测试数学（理）试卷 10页

理科数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，集合，集合，那么 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2. 若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎4. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。”则下列说法错误的是 A. 此人第二天走了九十六里路 B. 此人第三天走的路程占全程的 C. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D. 此人后三天共走了42里路 ‎5. 数列满足，对任意都有，则 A． B. C. D. ‎ ‎6. 在同一直角坐标系中，函数，(，且)的图象可能是 ‎ 7. 设，则的大小关系是 A. B. C. D. ‎ ‎8．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况．下列叙述：‎ ‎　　（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；‎ ‎　　（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；‎ ‎　　（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；‎ ‎　　（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．‎ 你认为较合理的是 ‎　　A．（1），（2），（3）　　　　　　　B．（1），（3），（4）‎ ‎　　C．（2），（4）　　　　　　　　　 D．（2），（3）‎ ‎9 . 若函数的图像和的图像关于点对称，则的表达式是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 设是定义在上的奇函数,且,当时,有恒成立,则不等式的解集为 A． B． C． D． ‎ ‎11. 若仅存在一个实数，使得曲线：关于直线对称，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎12. 已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13. 第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么＝_____.‎ ‎14. 在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点 (为自然对数的底数），则点的坐标是____.‎ ‎15. 已知关于的方程在上有三个相异实根，则实数的取值范围是____．‎ ‎16. 如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则=_________． ‎ 三、解答题： 本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0．设是数列的前项和．若是数列的前3项，且．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）是否存在常数,使得为等差数列？并说明理由.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，其厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）‎ ‎（1）用表示圆柱的高；‎ ‎（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时的值．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，平面四边形中，‎ ‎ （1）若，且，求的长；‎ ‎ （2）若，求的取值范围.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(1) 求；‎ ‎(2) 证明：无零点.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）判断的单调性；‎ ‎（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求证：对于任意的，均有．‎ 理科数学答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ C C A B B D ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C D B A B D ‎12.【解析】 因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：，即，记，，设直与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13. 7 14. 15. 16. 361‎ ‎16.【解析】根据杨辉三角形的生成过程，‎ 当为偶数时，，当为奇数时，，，，‎ ‎，，，，‎ 三、解答题： 本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0．设是数列的前项和．若是数列的前3项，且．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）是否存在常数,使得为等差数列？并说明理由.‎ ‎【解析】（1）设等差数列的公差为．因为是数列的前3项，且，‎ 所以,因为，所以解得．‎ 所以，． ‎ 又故数列的公比，所以． ‎ ‎（2）由（1）可知．‎ 若数列是等差数列，则成等差数列， ‎ 所以，即，解得或． ‎ 令，‎ ‎①当，．因为，所以是等差数列．‎ ‎②当，．因为，所以是等差数列．‎ 综上，实数为0或2． ‎ ‎18．（本小题满分12分）某校一个校园景观的主题为“托起明天的太阳”，其主体是一个半径为‎5米的球体，需设计一个透明的支撑物将其托起，该支撑物为等边圆柱形的侧面，其厚度忽略不计．轴截面如图所示，设．（注：底面直径和高相等的圆柱叫做等边圆柱．）‎ ‎（1）用表示圆柱的高；‎ ‎（2）实践表明，当球心和圆柱底面圆周上的点的距离达到最大时，景观的观赏效果最佳，求此时的值．‎ 解（1）作于点，则在直角三角形中，因为，‎ 所以， 因为四边形是等边圆柱的轴截面，‎ 所以四边形为正方形，所以． ‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ ‎， ‎ 因为，所以，所以当，即时，取得最大值 ， 所以当时，的最大值为．‎ 答：当时，观赏效果最佳． ‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，平面四边形中，‎ ‎ （1）若，且，求的长；‎ ‎ （2）若，求的取值范围.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)证明：无零点.‎ 解 (1)函数的定义域为．，由题意得，，‎ 所以，解得.‎ ‎(2)证明：由(1)知．‎ 因为在上单调递增，又，，‎ 所以在上有唯一实根，且．‎ 当时，，当时，，‎ 从而当时，取极小值，也是最小值．‎ 由，得，则.‎ 故，‎ 所以，即无零点.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）判断的单调性；‎ ‎（2）若函数存在极值，求这些极值的和的取值范围.‎ 综上可知，①当时，在上单调递减；‎ ‎②当时，在，上单调递减；在上单调递增.‎ ‎（2）对函数求导得. 因为存在极值，所以在上有解，即方程在上有解，即.显然当时，无极值，不合题意，所以方程必有两个不等正根. 设方程的两个不等正根分别为，则，由题意知 ‎ ‎， 由得，‎ 即这些极值的和的取值范围为．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求证：对于任意的，均有．‎ 解析：（1）因为，所以 函数在上单调递增在上恒有.即 恒成立. ‎ 令则又因为在上单调递增，所以，所以.‎ ‎（2）证明： 因为，所以（）．‎ 令（），则．‎ ‎①当 []时， ， 递增，有，‎ 因为，此时， ， 递增，‎ 有成立．‎ ‎②当（]时， ， 递减，有，‎ 若，此时， 递增， 显然成立．‎ 若（]，此时记，则在（]上递增，‎ 在（]上递减．此时有，‎ ‎，‎ 构造，则，‎ 令，求得．故在（]上递减，‎ 在（）上递增，所以，‎ 所以，此时满足，‎ 综上所述，当时，对于任意的 []，均有．‎