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- 2021-06-10 发布
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3. 1直线的倾斜角与斜率
一、选择题
1、以A(-1,1)、B(2,-1)、C(1,4)为顶点的三角形是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
解析:kAB=,kAC=
∵kAB·kAC=
∴AB⊥AC且A为直角
2、在同一直角坐标系中,如图中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )
解析:当a>0时,A、B、C、D均不成立;当a<0时,只有C成立,故选C.
答案:C
3、下列三点能构成三角形的三个顶点的为( )
A.(1,3),(5,7),(10,12)
B.(-1,4),(2,1),(-2,5)
C.(0,2),(2,5),(3,7)
D.(1,-1),(3,3),(5,7)
思路解析:A、B、D选项中三点均共线,不能组成三角形.C选项中三点不共线,故可以组成三角形的三个顶点.
4、下列命题:
①若两直线平行,则其斜率相等;②若两直线垂直,则其斜率之积为-1;③垂直于x轴的直线平行于y轴.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
思路解析:①两直线斜率不存在时,也可以平行,故不对;
②两直线一条不存在斜率,另一条斜率为0,此时也垂直,故不对.
③垂直于x轴的直线不一定平行于y轴,可以与y轴重合,故不对.
答案:A
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
5、没有斜率的直线一定是( )
A.过原点的直线 B.垂直于x轴的直线
C.垂直于y轴的直线 D.垂直于坐标轴的直线
6、下列三点能构成三角形的三个顶点的为( )
A.(1,3),(5,7),(10,12) B.(-1,4),(2,1),(-2,5)
C.(0,2),(2,5),(3,7) D.(1,-1),(3,3),(5,7)
7、顺次连结A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对
参考答案与解析:解析:kAB=,kBC=,
kCD=,kAD=.
∵kAB=kCD,kAD·kAB=-1,kAD·kCD=-1
∴ABCD为直角梯形.
8、直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )
A.45°,1
B.135°,-1
C.90°,不存在
D.180°,不存在
参考答案与解析:解析:易知倾斜角为90°,当倾斜角为90°时,斜率不存在.
答案:C
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
9、若直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是 …( )
A.[0°,90°]
B.[90°,180°]
C.(90°,180°)
D.[0°,180°)
参考答案与解析:解析:做出l的图象如下图,由图象易知,应选C.
答案:C
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
10、下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等,则两直线平行
②若l1∥l2,则k1=k2
③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案与解析:解析:①③④正确,②错.
答案:C
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
二、填空题 【共4道小题】
1、在下列叙述中:
①一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tanα;
②若直线斜率k=-1,则它的倾斜角为135°;
③若A(1,-3)、B(1,3),则直线AB的倾斜角为90°;
④若直线过点(1,2),且它的倾斜角为45°,则这直线必过(3,4)点;
⑤若直线斜率为,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点.
所有正确命题的序号是___________.
参考答案与解析:【探究】 ①当α=90°时,斜率k不存在,故错误;
②倾斜角的正切值为-1时,倾斜角为135°,故正确;
③直线AB与x轴垂直,斜率不存在,倾斜角为90°,故正确;
④直线过定点(1,2),斜率为1,又,故直线必过(3,4),命题正确;
⑤斜率为的直线有无数条,所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点,命题错误.
答案:②③④
【规律总结】 斜率与倾斜角是直线中最基本的概念,斜率与倾斜角之间存在着一定的关系,同时横坐标不相等的两点间的斜率公式是最基本的公式,因此必须首先重视对基础知识与基本概念、基本公式的学习与应用.
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
2、过点A(0,)与B(7,0)的直线l1与过(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k为___________.
参考答案与解析:解析:若l1和l2与坐标轴围成的四边形内接于一个圆,
则l1⊥l2.
而,.
由,得k=3
答案:3
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
3、一光线射到x轴上并经x轴反射,已知入射光线的倾斜角α1=30°,则入射光线的斜率为k1=_______;反射光线的倾斜角为α2=_______,斜率为k2=_______.
参考答案与解析:思路解析:由反射定律知α2与α1互补.
答案: 150°
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
4、a、b、c是两两不等的实数,则经过P(b,b+c)、C(a,c+a)两点直线的倾斜角为________.
参考答案与解析:解析:k=
∴α=45°
答案:45°
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
三、解答题 【共3道小题】
1、求过下列两点的直线l的斜率k:
(1)A(a,b)、B(ma,mb)(m≠1,a≠0);
(2)P(2,1)、Q(m,2).
参考答案与解析:解:已知直线上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),当x1≠x2时,;当x1=x2时,斜率k不存在.
(1)∵m≠1,a≠0,∴.
(2)当m=2时,斜率k不存在;
当m≠2时,,
∴.
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
2、已知三点A(m-1,2)、B(1,1)、C(3,m2-m-1),若AB⊥BC,求M的值.
参考答案与解析:解:设AB、BC的斜率分别为k1、k2,则.
又知xa-xb=m -2,
①当m-2=0,即m=2时,k1不存在,此时, k2=0,则AB⊥BC.
②当m-2≠0,即m≠2时,.
由,得m=-3,
故若AB⊥BC,得m=2或m=-3.
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程
3、已知四边形ABCD的顶点为,B(-2,2),,D(4,2),求证:四边形ABCD为矩形.
参考答案与解析:证明:,,,,
∴kAB=kCD,kBC=kAD.
∴四边形ABCD为平行四边形.
又,
∴AB⊥BC.∴四边形ABCD为矩形.
主要考察知识点:直线的倾斜角、斜率和直线的方程