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- 2021-06-10 发布
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课时分层训练(三十) 数列的概念与简单表示法
(对应学生用书第257页)
A组 基础达标
一、选择题
1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )
A.1,,,,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
C [根据定义,属于无穷数列的是选项A,B,C,属于递增数列的是选项C,D,故同时满足要求的是选项C.]
2.(2017·安徽黄山二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N+),则S5=( )
A.31 B.42
C.37 D.47
D [∵an+1=Sn+1(n∈N+),即Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N+),∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N+),∴数列{Sn+1}为等比数列,其首项为3,公比为2.则S5+1=3×24,解得S5=47.故选D.]
3.把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511).
图511
则第6个三角形数是( )
【导学号:79140168】
A.27 B.28
C.29 D.30
B [由题图可知,第6个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.]
4.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N+),则数列{an}的通项公式是( )
A.2n-1 B.
C.n2 D.n
D [∵an=n(an+1-an),∴=,
∴an=···…···a1
=···…···1=n.]
5.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+),则该数列的前2 019项的乘积a1·a2·a3·…·a2 019=( )
A. B.-
C.3 D.-3
C [由题意可得,a2==-3,a3==-,a4==,a5==2=a1,
∴数列{an}是以4为周期的数列,而2 019=4×504+3,a1a2a3a4=1,
∴前2 019项的乘积为1504·a1a2a3=3.]
二、填空题
6.在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的第______项.
10 [令=0.08,得2n2-25n+50=0,
则(2n-5)(n-10)=0,解得n=10或n=(舍去).
所以a10=0.08.]
7.(2017·河北唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=________.
[∵Sn=,a4=32,
∴-=32,∴a1=.]
8.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N+),则an=__________.
【导学号:79140169】
[由已知得,-=n,所以-=n-1,
-=n-2,…,-=1,所以-=,a1=1,所以=,
所以an=.]
三、解答题
9.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an+an+1,求数列{bn}的通项公式.
[解] (1)当n=1时,a1=S1=22-2=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n+1-2n=2n.
因为a1也适合此等式,
所以an=2n(n∈N+).
(2)因为bn=an+an+1,且an=2n,an+1=2n+1,
所以bn=2n+2n+1=3·2n.
10.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=a+an(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
[解] (1)由Sn=a+an(n∈N+),可得
a1=a+a1,解得a1=1;
S2=a1+a2=a+a2,解得a2=2;
同理,a3=3,a4=4.
(2)Sn=a+an, ①
当n≥2时,Sn-1=a+an-1, ②
①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.
由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,
又由(1)知a1=1,故数列{an}是首项为1,
公差为1的等差数列,故an=n.
B组 能力提升
11.(2017·郑州二次质量预测)设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20的值是( )
A. B.
C. D.
D [由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan,又因为1×a1=1,2×a2-1×a1=5,所以数列{nan}是首项为1,公差为5的等差数列,则20a20=1+19×5,解得a20=,故选D.]
12.(2017·衡水中学检测)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为( )
A.6 B.7
C.8 D.9
B [∵a1=19,an+1-an=-3,
∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,
∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.
设{an}的前k项和数值最大,
则有k∈N+,
∴
∴≤k≤,
∵k∈N+,∴k=7.∴满足条件的n的值为7.]
13.在一个数列中,如果任意n∈N+,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫作等积数列,k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12=________.
28 [依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.]
14.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;
(2)对于n∈N+,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
【导学号:79140170】
[解] (1)由n2-5n+4<0,
解得1an知该数列是一个递增数列,
又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N+,所以-<,即得k>-3.
所以实数k的取值范围为(-3,+∞).