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  • 2021-06-10 发布

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练30 数列的概念与简单表示法

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课时分层训练(三十) 数列的概念与简单表示法 ‎(对应学生用书第257页)‎ A组 基础达标 一、选择题 ‎1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是(  )‎ A.1,,,,…‎ B.-1,-2,-3,-4,…‎ C.-1,-,-,-,…‎ D.1,,,…, C [根据定义,属于无穷数列的是选项A,B,C,属于递增数列的是选项C,D,故同时满足要求的是选项C.]‎ ‎2.(2017·安徽黄山二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N+),则S5=(  )‎ A.31        B.42‎ C.37 D.47‎ D [∵an+1=Sn+1(n∈N+),即Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N+),∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N+),∴数列{Sn+1}为等比数列,其首项为3,公比为2.则S5+1=3×24,解得S5=47.故选D.]‎ ‎3.把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511).‎ 图511‎ 则第6个三角形数是(  ) ‎ ‎【导学号:79140168】‎ A.27 B.28‎ C.29 D.30‎ B [由题图可知,第6个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.]‎ ‎4.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N+),则数列{an}的通项公式是(  )‎ A.2n-1 B. C.n2 D.n D [∵an=n(an+1-an),∴=,‎ ‎∴an=···…···a1‎ ‎=···…···1=n.]‎ ‎5.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N+),则该数列的前2 019项的乘积a1·a2·a3·…·a2 019=(  )‎ A. B.- C.3 D.-3‎ C [由题意可得,a2==-3,a3==-,a4==,a5==2=a1,‎ ‎∴数列{an}是以4为周期的数列,而2 019=4×504+3,a1a2a3a4=1,‎ ‎∴前2 019项的乘积为1504·a1a2a3=3.]‎ 二、填空题 ‎6.在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的第______项.‎ ‎10 [令=0.08,得2n2-25n+50=0,‎ 则(2n-5)(n-10)=0,解得n=10或n=(舍去).‎ 所以a10=0.08.]‎ ‎7.(2017·河北唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=________.‎  [∵Sn=,a4=32,‎ ‎∴-=32,∴a1=.]‎ ‎8.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N+),则an=__________. ‎ ‎【导学号:79140169】‎  [由已知得,-=n,所以-=n-1,‎ -=n-2,…,-=1,所以-=,a1=1,所以=,‎ 所以an=.]‎ 三、解答题 ‎9.已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=an+an+1,求数列{bn}的通项公式.‎ ‎[解] (1)当n=1时,a1=S1=22-2=2;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n+1-2n=2n.‎ 因为a1也适合此等式,‎ 所以an=2n(n∈N+).‎ ‎(2)因为bn=an+an+1,且an=2n,an+1=2n+1,‎ 所以bn=2n+2n+1=3·2n.‎ ‎10.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=a+an(n∈N+).‎ ‎(1)求a1,a2,a3,a4的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎[解] (1)由Sn=a+an(n∈N+),可得 a1=a+a1,解得a1=1;‎ S2=a1+a2=a+a2,解得a2=2;‎ 同理,a3=3,a4=4.‎ ‎(2)Sn=a+an, ①‎ 当n≥2时,Sn-1=a+an-1, ②‎ ‎①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.‎ 由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,‎ 又由(1)知a1=1,故数列{an}是首项为1,‎ 公差为1的等差数列,故an=n.‎ B组 能力提升 ‎11.(2017·郑州二次质量预测)设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20的值是(  )‎ A. B. C. D. D [由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan,又因为1×a1=1,2×a2-1×a1=5,所以数列{nan}是首项为1,公差为5的等差数列,则20a20=1+19×5,解得a20=,故选D.]‎ ‎12.(2017·衡水中学检测)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ B [∵a1=19,an+1-an=-3,‎ ‎∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,‎ ‎∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.‎ 设{an}的前k项和数值最大,‎ 则有k∈N+,‎ ‎∴ ‎∴≤k≤,‎ ‎∵k∈N+,∴k=7.∴满足条件的n的值为7.]‎ ‎13.在一个数列中,如果任意n∈N+,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫作等积数列,k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3+…+a12=________.‎ ‎28 [依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.]‎ ‎14.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.‎ ‎(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;‎ ‎(2)对于n∈N+,都有an+1>an,求实数k的取值范围. ‎ ‎【导学号:79140170】‎ ‎[解] (1)由n2-5n+4<0,‎ 解得1an知该数列是一个递增数列,‎ 又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N+,所以-<,即得k>-3.‎ 所以实数k的取值范围为(-3,+∞).‎

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