【推荐】专题07 空间向量与立体几何（导学案）-2017-2018学年上学期期末复习备考高二数学（文）黄金讲练x 10页

一、学习目标：‎ ‎（1）理解导数的概念和几何意义，熟练掌握导数得运算；‎ ‎（2）能熟练运用导数研究函数的性质；‎ ‎（3）灵活运用导数知识解决实际问题。‎ 二、知识梳理 ‎1、函数从到的平均变化率： ‎ ‎2、导数定义：在点处的导数记作；．‎ ‎3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率． ‎ ‎4、常见函数的导数公式：‎ ‎①；②； ③；④；‎ ‎⑤；⑥； ⑦；⑧‎ ‎5、导数运算法则：‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎．‎ ‎6、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；‎ 若，则函数在这个区间内单调递减．‎ ‎7、求函数的极值的方法是：解方程．当时：‎ 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；‎ 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．‎ ‎8、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：‎ 求函数在内的极值；‎ 将函数的各极值与端点处的函数值，‎ 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。‎ 三、典型例题 例1.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．‎ ‎【方法规律】利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是不是切点，常见类型有两种：‎ ‎(1)函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎(2)函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定是切点，可先设切点Q(x1，y1)，则切线斜率为f′(x1)，再由切线过点P(x0，y0)得斜率为，又由y1＝f(x1)，由上面两个方程可得切点(x1，y1)，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．‎ 变式练习1已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；‎ ‎(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．‎ ‎【答案】：(1)y＝13x－32. (2)y＝13x，切点坐标为(－2，－26) (3)切点为(1，－14)或(－1，－18)切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14. ‎ 例2.求函数y＝x3＋ax(x∈R)的单调区间。‎ ‎【解析】y′＝3x2＋a. ‎ ‎①当a≥0时，y′≥0，函数y＝x3＋ax在(－∞，＋∞)上为增函数．‎ ‎②当a<0时，令3x2＋a＝0得x＝±，所以y′>0的解集为∪. y′<0的解集为. ‎ 所以函数y＝x3＋ax的增区间是 ，，‎ 减区间是. ‎ 综上知：当a≥0时，函数y＝x3＋ax在(－∞，＋∞)上单调递增．‎ 当a<0时，函数y＝x3＋ax在和上单调递增，在上单调递减．‎ ‎【方法规律】在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上为增函数；如果f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上为减函数．应注意：在区间内f′(x)＞0[或f′(x)＜0]是f(x)在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而不是必要条件．如果f(x)在某个区间上为增函数，那么f′(x)≥0；如果f(x)在某个区间上为减函数，那么f′(x)≤0.‎ 变式练习2.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围.‎ ‎【答案】　a≤16‎ ‎【解析】f ′(x)＝2x－，‎ ‎∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴f ′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，∴2x－≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立，即a≤(2x3)min＝16，∴实数a的取值范围是a≤16. ‎ 例3.已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处有极小值－1. ‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求函数f(x)在闭区间[－2,2]上的最大值和最小值．‎ x ‎－2‎ ‎－ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎－10‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎－1‎ ‎↗‎ ‎2‎ 由表中数据知，函数f(x)在x＝2处取得最大值2，在x＝－2处取得最小值－10，∴函数f(x)在闭区间[－2,2]上的最大值为2，最小值为－10. ‎ ‎【方法规律】利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值的不同．函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值比较大小；而最值是在整个区间上对函数值比较大小．函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值．‎ 变式练习3.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)＞0的x的取值范围为(1,3)．‎ ‎(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；‎ ‎(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．‎ ‎【答案】(1)f(x)＝－x3＋6x2－9x.极大值f(3)＝0.(2)g(x)max＝ 因此g(x)max＝ 例4.已知函数f(x)＝x2＋ln x. ‎ ‎(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值、最小值；‎ ‎(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．‎ ‎【方法规律】用导数研究函数的性质比用初等数学的方法研究要方便的多．在知识的交汇处设计一些综合问题，突出理性思维能力，用导数作为工具研究函数的性质、函数与方程、函数与不等式方面有其新的背景和载体，同时以导数的几何意义为背景设置导数与解析几何、函数结合的综合题也甚为常见，一般以解答题形式出现，难度中等偏高．‎ 变式练习4：已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)，‎ ‎(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间；‎ ‎(3)求证：当x＞1时，x2＋ln x＜x3. ‎ ‎【答案】(1)a＝4； (2)递增区间(，＋∞)；递减区间为(0，)‎ ‎【解析】(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－＝，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，‎ 三、课堂练习 ‎1. ′等于 (　　)‎ A．　　 B．1　　 　C．0　　 　 D． ‎【答案】　C ‎【解析】∵是一个常数，∴′＝0，故选C．‎ ‎2.已知函数f(x)＝＋ln x，则下列选项正确的是 (　　)‎ A．f(e)0恒成立，‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵2. 70. ‎ ‎(1)若函数f(x)没有极值，求实数a的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(2,3)上单调递减，求a的取值范围．‎ ‎【答案】见解析 ‎8.已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．‎ ‎(1)确定a的值；‎ ‎(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．‎ ‎【答案】(1) a＝ (2)g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．‎ ‎【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，‎ 因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，‎