数学理卷·2018届四川省遂宁市高二下学期期末教学水平监测（2017-07） 11页

遂宁市高中 2018 级第四学期教学水平监测 数学（理科）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，满分 60 分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是 否正确。 2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应 框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的） 1．复数 为纯虚数，则实数 的值为 A． B． C． D． 2．已知 则使得 成立的一个必要不充分条件为 A． B． C． D． 3．在 的展开式中，常数项为 A．135 B．105 C．30 D．15 4．已知 的取值如图所示，若 与 线性相关，且线性回归方程为 ，则 的值为 A． B． C． D． x 1 2 3 y 6 4 5 ( )( )aii +− 21 a 2− 2 1 2 − 1 2 , ,a b R∈ a b> | | | |a b> 1a b> + 1a b> − 2 2a b> 63( )x x + ,x y y x  6y bx= + b 1 10 1 2 1 10 − 1 2 − 5．设函数 的图象上点 处的切线斜率为 ， 则函数 的大致图象为 6．运动会上，有 6 名选手参加 100 米比赛，观众甲猜测：4 道或 5 道的选手得第一名；观 众乙猜：3 道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6 道中的一位选手得第一名； 观众丁猜测：4，5，6 道的选手都不可能得第一名。比赛后发现没有并列名次，且甲、 乙、丙、丁中只有 1 人猜对比赛结果，此人是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．函数 的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 8．甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生参加遂宁市劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次（无 并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”； 对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5 人的名次情况共有 A．72 种 B．48 种 C．36 种 D．54 种 9．已知圆(x＋3)2＋y2＝64 的圆心为 M，设 A 为圆上任一点，点 N 的坐标为(3，0)，线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P，则动点 P 的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 10．设 为抛物线 的焦点，A、B、C 为该抛物线上不同的三点，且 ， 为坐标原点，若 的面积分别为 ，则 A．36 B．48 C．54 D．64 11．已知 都是定义在 R 上的函数, ， 在有穷数列 (n=1,2,…,10）中，任意取前 k 项相加， 则前 k 项和不小于 的概率是 F 0FA FB FC+ + =    O OFA OFB OFC∆ ∆ ∆、 、 1 2 3S S S、 、 2 2 2 1 2 3+ + =S S S )()( x、gxf sin cosy x x x= + ( , ( ))P t f t k ( )k g t= 31( ) ln 13f x x x= − + 2 8y x= ( ) 0,g x ≠ ( ) ( ) ( ) ( ),f x g x f x g x′ ′< ( ) ( ),xf x a g x= (1) ( 1) 5 (1) ( 1) 2 f f g g −+ =− ( ) ( ) f n g n       63 64 A． B． C． D． 12．设 为抛物线 的准线上一点，F 为 C 的焦点，点 P 在 C 上且满足 ，若当 m 取得最小值时，点 P 恰好在以原点为中心，F 为焦 点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 A．3 B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，满分 90 分） 注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．若 … ， 则 ▲ 14．如图所示，机器人明明从 A 地移到 B 地， 每次只移动一个单位长度，则明明从 A 移到 B 最近的走法共有 ▲ 种. 15．若“ ，使得 ”为假命题，则实数 的取值范围为 ▲ 16．已知函数 ，现给出下列结论： ① 有极小值，但无最小值 ② 有极大值，但无最大值 ③若方程 恰有一个实数根，则 ④若方程 恰有三个不同实数根，则 5 2 5 31 5 1 2 6( 3, )2A − − 2: 2 ( 0)C y px x= > | | | |PF m PA= 3 2 2 1 + 2 1 2 + 7 2 3 0 1 2 3(1 2 )x a a x a x a x− = + + + + 7 7a x+ 0 1 2 7a a a a+ + + + = 0 (0, )x∃ ∈ +∞ 0 0ln 0x ax− > a 2( ) ( 3) xf x x e= − ( )f x ( )f x ( )f x b= 36b e−> ( )f x b= 30 6b e−< < 其中所有正确结论的序号为 ▲ 三、解答题（17 题 10 分，18~22 题各 12 分，共 70 分，请写出必要的解答过程或文字说明） 17．（本题满分 10 分） 已知命题 函数 在区间 上单调递增； 命题 函数 的定义域为 ； 若命题“ ”为假，“ ”为真，求实数 的取值范围. ▲ 18．（本题满分 12 分） 已知直线 与抛物线 交于 两点.O 为坐标原点 （1）求证： ; （2）若 的面积为 2，求 的值. ▲ 19．（本题满分 12 分） 已知函数 （1）对任意实数 恒成立，求 的最大值； （2）若函数 恰有一个零点，求 的取值范围. ▲ 20．（本题满分 12 分） :p 2( ) 2 3f x x ax= − + [ 1,2]− :q 2( ) lg( 4)g x x ax= + + R p q∧ p q∨ a 1y kx= + 2y x= ,A B OA OB⊥ AOB∆ k 3 29( ) 6 .2f x x x x a= − + − , ( )x f x m′ ≥ m ( )f x a 现在颈椎病患者越来越多，甚至大学生也出现了颈椎病，年轻人患颈椎病多与工作、 生活方式有关，某调查机构为了了解大学生患有颈椎病是否与长期过度使用电子产品有关， 在遂宁市中心医院随机的对入院的 50 名大学生进行了问卷调查，得到了如下的 4×4 列联表： 未过度使用 过度使用 合计 未患颈椎病 15 5 20 患颈椎病 10 20 30 合计 25 25 50 （1）是否有 99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关？ （2）已知在患有颈锥病的 10 名未过度使用电子产品的大学生中，有 3 名大学生又患有 肠胃炎，现在从上述的 10 名大学生中，抽取 3 名大学生进行其他方面的排查，记选出患肠 胃炎的学生人数为 ，求 的分布列及数学期望． 参考数据与公式： P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.02 5 0.010 0.00 5 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.02 4 6.635 7.87 9 10.82 8 ▲ 21．（本题满分 12 分） 已知椭圆 经过点 ，一个焦点 的坐标为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，若 ， 求 的取值范围. ▲ ε ε ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK n a b c da b c d a c b d −= = + + ++ + + + , 其中 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > (2, 2)P F (2,0) C :l y kx m= + C ,A B O 1 2OA OBk k⋅ = − OA OB⋅  22．（本题满分 12 分） 已知函数 . （1）当 时，求函数 在 上的最大值； （2）令 ，若 在区间 上为单调递增函数，求 的取值 范围； （3）当 时，函数 的图象与 轴交于两点 ，且 ，又 是 的导函数.若正常数 满足条件 .试比 较 与 0 的关系，并给出理由. ▲ 2( ) lnf x a x x= − 2a = ( )y f x= 1[ ,2]2 ( ) ( )g x f x ax= + ( )y g x= (0,3) a 2=a ( ) ( ) mxxfxh −= x ( ) ( )0,,0, 21 xBxA 210 xx << )(' xh )(xh βα， αββα ≥=+ ，1 1 2( )h x xα β′ + 遂宁市高中 2018 级第四学期教学水平监测 数学（理科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（5×12=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C A D B D C D B B C A 二、填空题（5×4=20 分） 13． 14． 15． 16．②④ 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分．) 17．（10 分） ………………2 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………7 分 ………………9 分 ………………10 分 18．（12 分） ………………2 分 ………………4 分 ………………6 分 ………………7 分 1− 80 1[ , )e +∞ : 1p a ≤ −解：命题 2: 16 0 4 4q a a∆ = − < − < <命题 即 , ,p q p q p q∧ ∨ ⇔命题“ ” 为假“ ” 为真 中一真一假 1 44 4 ap q aa a ≤ − ⇔ ≤ − ≤ − ≥ 真 假： 或 1 1 44 4 ap q aa > − ⇔ − < <− < < 假 真： 4 1 4a a≤ − − < <综上： 或 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( )A x y B x y x x≠解：( 1) 设 2 2 1 1 0y kx x kx y x = + ⇒ − − = = 2 4 0k k R∆ = + > ⇒ ∈ 1 2 1 2, 1x x k x x+ = = − 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 1 1 0OA OB x x y y x x kx kx k k⋅ = + = + + + = − − + + =  OA OB∴ ⊥ 2 1(2) 1 O AB d k = + 到直线 的距离 ………………9 分 ………………10 分 ………………12 分 19．（12 分） ………………4 分 ………………6 分 ………………8 分 ………………10 分 …………12 分 20．（12 分） 解：（1） 且 P（k2≥7.879）=0.005=0.5%， ………………3 分 ∴我们有 99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关系； ………………4 分 （2）根据题意，ɛ 的所有可能取值为 0，1，2，3； ………………5 分 ∴P（ =0）= = ，P（ =1）= = ， P（ =2）= = ，P（ =3）= = ； ………………9 分 ∴ 的分布列如下： 0 1 2 3 P（ ） 2 2 4| | 1 1 kAB k += + ⋅ 21 1| | 4 22 2AOBS AB d k∆ = ⋅ = + = 2 12 2 3k k∴ = ⇒ = ± 2 23 3 3( ) 3 9 6 3( )2 4 4f x x x x′ = − + = − − ≥ −解：⑴ 3 3( ) , 4 4f x m m m′ ≥ ≤ − −恒成立 故 即 的最大值为 2( ) 3 9 6 3( 2)( 1)f x x x x x′ = − + = − −⑵ ( ) 0 2 1 ( ) 0 1 2f x x x f x x′ ′> ⇒ > < < ⇒ < <或 ； ( ) ( ,1) (2, ) , (1,2)f x∴ −∞ +∞在 和 上单增 在 上单减 5( ) (1) , ( ) (2) 22f x f a f x f a∴ = = − = = −极大 极小 5 5( ) 0 2 0 22 2f x a a a a⇒ − < − > < > 恰有一个零点 或 即 或 ( ) 879.7333.83 25 20302525 105152050 2 2 >≈=××× ×−××=K观测值 ε 3 7 3 10 C C 7 24 ε 1 2 3 7 3 10 C C C  21 40 ε 2 1 3 7 3 10 C C C  7 40 ε 3 3 3 10 C C 1 120 ε ε ε 24 7 40 21 40 7 120 1 ………………10 分 ∴ 的数学期望为 Eɛ=0× +1× +2× +3× = =0.9．………………12 分 21．（12 分） 解：(1) ………………3 分 ………………4 分 (2) ………………5 分 ………………6 分 ………………7 分 ………………8 分 …………9 分 ………………11 分 ………………12 分 22．（12 分） 解：（1） 函数 在[ ,1]是增函数，在[1,2]是减函数， 所以 ． ………………3 分 （2）因为 ，所以 ， 因为 在区间 单调递增函数，所以 在（0，3）恒成立 ε 7 24 21 40 7 40 1 120 9 10 2 2 16 2 4 2 2 2, 2 2a a c b= + + = ⇒ = = ⇒ = 2 2 18 4 x yC∴ + =椭圆 的方程为 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y设 2 2 2 2 2 (1 2 ) 4 2 8 0 2 8 y kx m k x kmx m x y = + + + + − = + = 由 得： 2 2 2 2 2 216 4(1 2 )(2 8) 64 8 32 0k m k m k m∆ = − + − = − + > 2 28 4m k< +即 2 1 2 1 22 2 4 2 8,1 2 1 2 km mx x x xk k −+ = − =+ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 8 4 8( ) 1 2 1 2 1 2 k m k k m m ky y k x x mk x x m mk k k − −= + + + = − + =+ + + 2 2 1 2 2 1 2 8 1 2 8 2OA OB y y m kk k x x m −⋅ = = = −− 2 2 2 2 2 24 16 8 4 2 4 2 8 4m k m k k k k R∴ − = = + + < + ⇒ ∈即 ，故 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 8 8 3 8 8 1 2 1 2 1 2 m m k m kOA OB x x y y k k k − − − −⋅ = + = + =+ + +   2 2 2 4 2 421 2 2 1 k k k −= = −+ + [ 2,2)OA OB⋅ − 故 的取值范围为 22 2 2( ) 2 ,xf x xx x −′ = − = )(xfy = 2 1 111ln2)1()( 2 max −=−== fxf axxxaxg +−= 2ln)( axx axg +−=′ 2)( )(xg )3,0( ' ( ) 0g x ≥ ，有 = ，（ ） 综上： ………………7 分 （3） 与 0 的关系为： 理由如下： ∵ ，又 有两个实根 ， ∴ ，两式相减，得 ， ∴ , ………………9 分 于是 ． ． 要证： ，只需证： 只需证： ．(*) ………………11 分 令 ， ∴(*) 化 为 ， 只 证 即 可． 在（0，1）上单调递增， ， 即 ．∴ ． ………………12 分 （其他解法根据情况酌情给分） ( ) 0g x′ ≥ 22 1 xa x ≥ + )2 9,0(4)1 11(2 ∈−+++ xx )3,0(∈x 9 2a ≥ 1 2( )h x xα β′ + 1 2( ) 0h x xα β′ + < 2( ) 2h x x mx ′ = − − 0)( =− mxxf 21, xx    =−− =−− 0ln2 0ln2 2 2 22 1 2 11 mxxx mxxx )()()ln(ln2 21 2 2 2 121 xxmxxxx −=−−− )()ln(ln2 21 21 21 xxxx xxm +−− −= 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2(ln ln )2( ) 2( ) ( )x xh x x x x x xx x x x α β α βα β −′ + = − + − + ++ − ))(12()ln(ln22 12 21 21 21 xxxx xx xx −−+− −−+= αβα 2 11, 2 1, (2 1)( ) 0.a a x xβ α α β≥ + = ∴ ≤ ∴ − − ≤ 且 1 2( ) 0h x xα β′ + < 0)ln(ln22 21 21 21 <− −−+ xx xx xx βα 0ln 2 1 21 21 >−+ − x x xx xx βα )1,0( 2 1 ∈= tx x 0ln1 <++ − tt t βα 01ln)( <+ −+= βαt tttu ( )u t 01ln,0)1()( <+ −+∴=< βαt ttutu 0ln 2 121 <++ − x x t xx βα 0)( 21 ' <+ xxh βα 【来源：全,品…中&高*考+网】