数学文卷·2017届江西省南昌市十所省重点中学命制高三第二次模拟突破冲刺（六）（2017 7页

高三文科数学交流评比卷 ‎ 命题人：高三数学组 内容：综合试题 ‎ 一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)‎ ‎ 1.设集合,函数的定义域为,则( B ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 2.若复数是虚数单位,是纯虚数,则( D ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知 乙 甲 第题图 ‎ 甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则,的值分别为( C ).‎ ‎ A., B., C., D.,‎ ‎ 4.已知直线：与曲线：相切于点,则点坐标为( A ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 5.在区间上随机地抽取一个实数,若满足的概率为,则实数的值为( D ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 6.函数的零点所在的区间是( A ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 7.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的为( C ).‎ 开始 输入 是 结束 输出 第题图 否 ‎ ‎ A.的值 B.的值 ‎ C.的值 D.的值 ‎ 8.将函数的图象向左平移个单位后得到函数,则 ‎ 函数的图象( C ).‎ ‎ A.关于直线对称 B.关于直线对称 C.关于点对称 D.关于点对称 ‎ 9.设等差数列的前项和为,若数列是单调递增数列,且满足,,则的取 ‎ 值范围是( D ). A. B. C. D.‎ 侧视图 正视图 俯视图 第题图 ‎ 10.某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三角形,则该四棱锥的四个侧面中,最大的 ‎ 一个侧面的面积是( B ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 11.已知,均为单位向量,且,若,‎ ‎ 则的取值范围是( A ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 12.已知点是双曲线：的左焦点,‎ ‎ 双曲线的离心率为,过且平行于双曲线的渐近线的直线与圆交于点,且 ‎ 点在抛物线上,则 ( D ). A. B. C. D.‎ 二.填空题(本大题4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)‎ ‎ 13.已知等比数列满足,,则.‎ ‎ 14.设且,函数为奇函数,则.‎ ‎ 15.某事业单位公开招聘一名职员,从笔试成绩合格的名应试者(编号分别为)中通过面试选聘 ‎ 一名,甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测.甲：不可能是号；乙：不是号就是号；‎ ‎ 丙：是、、号中的一名；丁：不可能是、、号.已知四人中只有一人预测正确,那么 ‎ 入选者是号.‎ ‎ 16.若直线：,：与圆：的四个交点把圆 分成的四条弧 ‎ 长相等,则.或 三.解答题(本大题6个小题,共70分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎ 17.(本小题满分12分)已知函数图象关于点对称.‎ ‎ ⑴求的值及函数的最小值；‎ ‎ ⑵在中,角、、所对应的边分别为、、,最大内角的值为的最小正周期.‎ ‎ 若,面积的取值范围为,求角的值及的取值范围.‎ ‎ 解：⑴,‎ ‎ ∵函数图象关于点对称,∴,即. ……6分 ‎ ⑵由函数图象关于点对称,得,∴.∵为的最小 ‎ 正周期,∴,又为的最大内角,∴,即,‎ ‎ 解得,故时,.又,∴,‎ ‎ ∴,得,故的取值范围为. ……12分 ‎ 18.(本小题满分12分)某种产品的质量以其指标值来衡量,其指标值越大表明质量越好,且指标值大 ‎ 于或等于的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为配方和配方)做试验,各生产了 ‎ 件这种产品,并测量了每件产品的指标值,得到了下面的试验结果：‎ ‎ 配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎ 配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎ ⑴分别估计用配方,配方生产的产品的优质品率；‎ ‎ ⑵已知用配方生产的一件产品的利润(单位：元)与其指标值的关系式为 ‎,‎ ‎ 估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率,并求用配方生产的上述产品平均每件的利润.‎ ‎ 解：⑴由试验结果知,用配方生产的产品的优质品率为；‎ ‎ 用配方生产的产品的优质品率为.‎ ‎ ⑵由条件知,用配方生产的一件产品的利润大于的概率估计值为.‎ ‎ 用配方生产的产品平均每件的利润为(元).‎ 第题答图 ‎ 19.(本小题满分12分)如图,在棱柱中,底面,底面为直角梯 ‎ 形,其中,,,,‎ ‎ 过的平面分别与,交于,,且为的中点.‎ ‎ ⑴求证：平面平面； ⑵求四棱锥的体积.‎ ‎ 解：⑴连结,棱柱中,,,‎ ‎ 又为的中点,则,∴四边形是平行四边形,‎ ‎ 则.又,∴.∴四边形是平行 ‎ 四边形,∴.在棱柱中,.又,都在面内 ‎ 且相交,与都在面内且相交,∴平面平面. ……6分 ‎ ⑵在棱柱中,平面,过的平面分别与平面的交线 ‎ 为,∴,∴.又为的中点,∴为的中点.∵底面 ‎ 为直角梯形,且,,,可知是边长为的等边 ‎ 三角形,从而是边长为的等边三角形.连结,四棱锥分为两个 ‎ 三棱锥和,三棱锥的高.∴四棱锥的体积 ‎ .…12分 第题图 ‎ 20.(本小题满分12分)已知椭圆：短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形,‎ 且该三角形的面积为.‎ ‎ ⑴求椭圆的方程；‎ ‎ ⑵设、是椭圆的左、右焦点,若椭圆的一个内接平行四边形 ‎ 的一组对边过和,求这个平行四边形的面积的最大值.‎ ‎ 解：⑴依题意,得,,∴椭圆：.…5分 ‎ ⑵设过椭圆右焦点的直线：与椭圆交于,两点,将代入,‎ ‎ 得,即.设,,则,‎ ‎ ,∴,‎ ‎ ∴,∴椭圆的内接平行四边形面积.‎ ‎ 令,则,注意到在上单调递减,∴.‎ ‎ 当且仅当,即时等号成立.故这个平行四边形面积的最大值为. ……12分 ‎ 21.(本小题满分12分)已知函数,其导函数为.‎ ‎ ⑴求函数的极值；‎ ‎ ⑵当时,不等式恒成立,求的取值范围.‎ ‎ 解：⑴由题知,,则,,‎ ‎ 当时,,为增函数；当时,,为减函数.‎ ‎ ∴当时,有极大值,无极小值. ……4分 ‎ ⑵由题意,.‎ ‎ (ⅰ)当时,在时恒成立,则在上单调递增,‎ ‎ ∴在上恒成立,与已知矛盾,故不符合题意.‎ ‎ (ⅱ)当时,令,则,且.‎ ‎ ①当,即时,,于是在上单调递减,‎ ‎ ∴,即在上成立.则在上单调递 ‎ 减,∴在上成立,符合题意.‎ ‎ ②当,即时,,.若,则,‎ ‎ 在上单调递增；若,则,在上单调递减.‎ ‎ 又,∴在上恒成立,即在上恒成立,‎ ‎ ∴在上单调递增,则在上恒成立,∴不符合题意.‎ ‎ 综上所述,的取值范围为.‎ 请考生在第、题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ ‎ 22.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标 ‎ 方程为：,曲线的参数方程是为参数.‎ ‎ ⑴求曲线和的直角坐标方程；‎ ‎ ⑵设曲线和交于两点、,求以线段为直径的圆的直角坐标方程.‎ ‎ 解：⑴曲线：化为直角坐标方程为,即.‎ ‎ 曲线：为参数化为直角坐标方程为,即.…5分 ‎ ⑵由,解得或,即,,∴线段的中点为,‎ ‎ .故以线段为直径的圆的直角坐标方程为. ……10分 ‎ 23.(本小题满分12分)选修4-5:不等式选讲 ‎ 已知函数的值域为.‎ ‎ ⑴求实数的值； ⑵若存在,使得,求实数的取值范围.‎ 解：⑴由,,可知,解得或. …5分 ‎ ⑵依题意有,即,解得,‎ ‎ 即实数的取值范围为. ……10分