2021届课标版高考理科数学大一轮复习课件：专题十四　数系的扩充与复数的引入（讲解部分） 13页

专题十四　数系的扩充与复数的引入 高考理数 考点一    复数的概念及几何意义 考点清单 考向基础 1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如 a + b i( a ∈R, b ∈R)的数叫做 复数,其中实部为 a ,虚部为 b 若 b =0,则 a + b i为实数;若 a =0且 b ≠ 0,则 a + b i为纯虚数 复数相等 a + b i= c + d i ⇔ a = c 且 b = d ( a , b , c , d ∈R) 共轭复数 a + b i与 c + d i共轭 ⇔ a = c 且 b =- d ( a , b , c , d ∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫实轴, y 轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数 复数的模 设   对应的复数为 z = a + b i,则向量   的长度叫做复数 z = a + b i的模(其中 a , b ∈R) | z |=| a + b i|=   ( a , b ∈R) 注意 　(1)复数构成的集合叫做复数集,记为C. (2)虚数单位i具有周期性,且最小正周期为4,其性质如下( n ∈N): ①i 4 n =1,i 4 n +1 =i,i 4 n +2 =-1,i 4 n +3 =-i; ②i 4 n +i 4 n +1 +i 4 n +2 +i 4 n +3 =0. (3)互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.实数和 它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上. 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平 面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的.   其中 a , b ∈R. 考向突破 考向一    复数的有关概念问题 例1     (2019河北唐山第一次模拟,2)设复数 z 满足(1+i) z =2i(其中i为虚数单 位),则下列结论正确的是   (　　) A.| z |=2　　　　    B. z 的虚部为i C. z 2 =2　　　　    D. z 的共轭复数为1-i 解析 　由(1+i) z =2i,得 z =   =   =1+i, ∴| z |=   , z 的虚部为1, z 2 =(1+i) 2 =2i, z 的共轭复数为1-i,故选D. 答案     D 考向二    复数的几何意义 例2     (2020届河南百校联盟9月联合检测,2)设复数 z 满足   =i(i是虚数单 位),则 z +2在复平面内对应的点位于   (　　) A.第一象限　　　　    B.第二象限　　　　     C.第三象限　　　　    D.第四象限 解析 　由   =i可得 z =   =   =-1+i,所以 z +2=1+i,则 z +2在复平面内 对应的点为(1,1),位于第一象限. 答案     A 考点二    复数的运算 考向基础 1.复数的加、减、乘、除运算法则 设 z 1 = a + b i, z 2 = c + d i( a , b , c , d ∈R),则 (1)加法: z 1 + z 2 =( a + b i)+( c + d i)=( a + c )+( b + d )i; (2)减法: z 1 - z 2 =( a + b i)-( c + d i)=( a - c )+( b - d )i; (3)乘法: z 1 · z 2 =( a + b i)·( c + d i)=( ac - bd )+( bc + ad )i; (4)除法:   =   =   =   +   i( c + d i ≠ 0). 2.复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z 1 , z 2 , z 3 ∈C,有 z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ,( z 1 + z 2 )+ z 3 = z 1 +( z 2 + z 3 ). 3.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数 z 1 、 z 2 对应的向量   、   不共线,则复数 z 1 + z 2 是以   、   为两 邻边的平行四边形的对角线   所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数 z 1 - z 2 是   -   =   所对应的复数. 考向突破 考向    复数的四则运算 例     (2018课标Ⅱ,1,5分)   =   (　　) A.-   -   i　　　　    B.-   +   i　　　　     C.-   -   i　　　　    D.-   +   i 解析 　本题主要考查复数的四则运算.   =   =   =-   +   i,故选D. 答案     D 方法1      求解与复数概念相关问题的技巧 (1)复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部 与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需先把所给复数化为 a + b i ( a , b ∈R)的形式,再根据题意列方程(组)求解. (2)求复数的模时,可以根据复数的模的公式| a + b i|=   和性质|   |=| z |,| z 2 | =|   | 2 = z ·   ,| z 1 · z 2 |=| z 1 |·| z 2 |,   =   ( z 2 ≠ 0)进行计算. (3)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法. 方法技巧 例1　 (1)(2019广东六校联考)已知i是虚数单位,复数(1+2i) 2 的共轭复数的 虚部为   (　　) A.4i　　　　    B.3　　　　    C.4　　　　    D.-4 (2)(2017天津文,9,5分)已知 a ∈R,i为虚数单位,若   为实数,则 a 的值为      　　     . 解析 　(1)复数 z =(1+2i) 2 =1+4i+(2i) 2 =-3+4i,所以   =-3-4i,所以复数   的虚部为 -4.故选D. (2)解法一:因为   =   =   为实数,所以-   =0,解得 a =-2. 解法二:令   = t ( t ∈R),则 a -i= t (2+i)=2 t + t i, 所以   解得 a =-2. 答案 　(1)D　(2)-2 方法2      复数四则运算的解题方法 1.利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方 法. 2.在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行, 除法则需分母实数化. 3.在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度: (1)(1 ± i) 2 = ± 2i;   =i;   =-i. (2)- b + a i=i( a + b i)( a , b ∈R). (3)i 4 n =1,i 4 n +1 =i,i 4 n +2 =-1,i 4 n +3 =-i,i 4 n +i 4 n +1 +i 4 n +2 +i 4 n +3 =0, n ∈N. 例2 　(1)(2019广东江门第一次模拟,2)已知i是虚数单位,则   =   (    　) A.i　　　　    B.-i　　　　    C.1　　　　    D.-1 (2)已知复数 z 满足(1+   i) z =   i(i是虚数单位),则 z =   (　　) A.   +   i　　　　    B.   -   i　　　　     C.   +   i　　　　    D.   -   i 解析 　(1)∵   =   =i, ∴   =i 2 019 =(i 4 ) 504 ·i 3 =-i.故选B. (2)解法一:由已知得 z =   =   =   =   +   i.故选C. 解法二:设 z = a + b i, a , b ∈R, 则由(1+   i) z =   i可得(1+   i)·( a + b i)=   i, 即( a -   b )+(   a + b )i=   i,所以 a -   b =0,   a + b =   , 即 a =   , b =   ,所以 z =   +   i.故选C. 答案 　(1)B　(2)C