高考数学人教A版（理）一轮复习：第四篇 第6讲 正弦定理和余弦定理 7页

第 6 讲 正弦定理和余弦定理 A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 20 分) 1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C ＝2 3sin B，则 A＝ ( )． A．30° B．60° C．120° D．150° 解析 由 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，得 a2＝ 3bc＋b2，c b ＝2 3.由余弦定 理，得 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝c2－ 3bc 2bc ＝ c 2b － 3 2 ＝ 3－ 3 2 ＝ 3 2 ，所以 A＝30°， 故选 A. 答案 A 2.(2012·四川)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE＝1，连结 EC、ED，则 sin∠CED＝( )． A.3 10 10 B. 10 10 C. 5 10 D. 5 15 解析 依题意得知，CD＝1，CE＝ CB2＋EB2＝ 5，DE＝ EA2＋AD2＝ 2， cos∠CED＝CE2＋ED2－CD2 2CE·ED ＝3 10 10 ，所以 sin∠CED＝ 1－cos2∠CED＝ 10 10 ， 选 B. 答案 B 3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，若角 A，B，C 依次成 等差数列，且 a＝1，b＝ 3，则 S△ABC＝ ( )． A. 2 B. 3 C. 3 2 D．2 解析 ∵A，B，C 成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°. 又 a＝1，b＝ 3，∴ a sin A ＝ b sin B ， ∴sin A＝asin B b ＝ 3 2 × 1 3 ＝1 2 ， ∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝1 2 ×1× 3＝ 3 2 . 答案 C 4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC＝ 7，BC＝2，B＝60°，则 BC 边上的高等于 ( )． A. 3 2 B.3 3 2 C. 3＋ 6 2 D. 3＋ 39 4 解析 设 AB＝c，BC 边上的高为 h. 由余弦定理，得 AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos 60°，即 7＝c2＋4 －4ccos 60°，即 c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)． 又 h＝c·sin 60°＝3× 3 2 ＝3 3 2 ，故选 B. 答案 B 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝ 3ac， 则角 B 的值为________． 解析 由余弦定理，得a2＋c2－b2 2ac ＝cos B，结合已知等式得 cos B·tan B＝ 3 2 ，∴sin B＝ 3 2 ，∴B＝π 3 或2π 3 . 答案 π 3 或2π 3 6．(2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列，则其最大角的余弦 值为________． 解析 依题意得，△ABC 的三边长分别为 a， 2a,2a(a>0)，则最大边 2a 所对 的角的余弦值为：a2＋ 2a2－2a2 2a· 2a ＝－ 2 4 . 答案 － 2 4 三、解答题(共 25 分) 7．(12 分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.角 A，B， C 成等差数列． (1)求 cos B 的值； (2)边 a，b，c 成等比数列，求 sin Asin C 的值． 解 (1)由已知 2B＝A＋C，三角形的内角和定理 A＋B＋C＝180°，解得 B＝60°， 所以 cos B＝cos 60°＝1 2. (2)由已知 b2＝ac，据正弦定理，得 sin2B＝sin Asin C， 即 sin Asin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4. 8．(13 分)(2012·浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 cos A＝2 3 ，sin B＝ 5cos C. (1)求 tan C 的值； (2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积． 解 (1)因为 0＜A＜π，cos A＝2 3 ， 得 sin A＝ 1－cos2A＝ 5 3 . 又 5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C ＝ 5 3 cos C＋2 3sin C. 所以 tan C＝ 5. (2)由 tan C＝ 5，得 sin C＝ 5 6 ，cos C＝ 1 6. 于是 sin B＝ 5cos C＝ 5 6. 由 a＝ 2及正弦定理 a sin A ＝ c sin C ，得 c＝ 3. 设△ABC 的面积为 S，则 S＝1 2acsin B＝ 5 2 . B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 1．在△ABC 中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程 x2－7x＋11＝0 的两个 根，则第三边的长为 ( )． A．2 B．3 C．4 D．5 解析 由 A＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为 b，c，故 b＋c＝7， bc＝11. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16，∴a＝ 4. 答案 C 2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为 3 2 ，AC＝ 3，∠ABC＝π 3 ，则△ABC 的周长等于 ( )． A．3＋ 3 B．3 3 C．2＋ 3 D.3 3 2 解析 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，即 a2＋c2－ac＝3.又△ABC 的面 积为 1 2acsin π 3 ＝ 3 2 ，即 ac＝2，所以 a2＋c2＋2ac＝9，所以 a＋c＝3，即 a＋c ＋b＝3＋ 3，故选 A. 答案 A 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 3．在 Rt△ABC 中，C＝90°，且 A，B，C 所对的边 a，b，c 满足 a＋b＝cx，则 实数 x 的取值范围是________． 解析 x＝a＋b c ＝sin A＋sin B sin C ＝sin A＋cos A＝ 2sin A＋π 4 .又 A∈ 0，π 2 ，∴ π 4c2，则 C<π 3 ②若 a＋b>2c，则 C<π 3 ③若 a3＋b3＝c3，则 C<π 2 ④若(a＋b)c<2ab，则 C>π 2 ⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则 C>π 3 解析 ①由 ab>c2，得－c2>－ab，由余弦定理可知 cos C＝a2＋b2－c2 2ab >2ab－ab 2ab ＝1 2 ，因为 C∈(0，π)，函数 y＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以 C<π 3 ，即①正 确 ． ② 由 余 弦 定 理 可 知 cos C ＝ a2＋b2－c2 2ab > a2＋b2－ a＋b 2 2 2ab ＝ 4a2＋b2－a＋b2 8ab ＝3a2＋b2－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝1 2 ，所以 C<π 3 ，即②正确．③若 C 是直角或钝角，则 a2＋b2≤c2，即 a c 2＋ b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数 y＝ ax(0c2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a2＋ b2)c2<2a2b2，所以 c2< 2a2b2 a2＋b2 ≤2a2b2 2ab ＝ab，即 ab>c2，转化为命题①，故⑤错误． 答案 ①②③ 三、解答题(共 25 分) 5．(12 分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 (a，b)在直线 x(sin A－sin B)＋ysin B＝csin C 上． (1)求角 C 的值； (2)若 a2＋b2＝6(a＋b)－18，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意得 a(sin A－sin B)＋bsin B＝csin C， 由正弦定理，得 a(a－b)＋b2＝c2， 即 a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理，得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝1 2 ， 结合 0