山东省青岛市2021届高三数学上学期调研试题（Word版附解析） 23页

‎2020年高三年级期初调研检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集和补集的运算即可求出．‎ ‎【详解】由题意可得，，所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查交集和补集的运算，属于容易题．‎ ‎2. 已知（其中为虚数单位），则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数代数形式的除法法则计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，所以 故选：B ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.‎ ‎3. 已知平面内三点，，，则向量在的方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，，得到，，再结合投影的概念，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，平面内三点，，，‎ 可得，，则，，‎ 所以向量在的方向上的投影为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的投影的定义及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式和投影的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力.‎ ‎4. 正方体棱长为2，是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（ ）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出示意图，设为的中点，连接，易得平面截该正方体所得的截面为，再计算其面积.‎ ‎【详解】如图所示，设为的中点，连接，设为的中点，连接，‎ 由且，得是平行四边形，则且，‎ 又且，得且，则共面，‎ 故平面截该正方体所得的截面为.‎ 又，，，，‎ 故的面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了正方体中线面位置关系，截面问题，属于中档题 ‎5. 地铁某换乘站设有编号为，，，的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：‎ 安全出口编号 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 疏散乘客时间（）‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎190‎ ‎160‎ 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出比快，再求出比快，然后求出比快，即可得是疏散乘客最快的一个安全出口.‎ ‎【详解】同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为120（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为140（），得比快；‎ 同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为190（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（），得比快，‎ 同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为140（），同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（），得比快，‎ 综上所述：疏散乘客最快的一个安全出口的编号是，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，考查推理论证能力，属于基础题.‎ ‎6. 已知为任意角，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 说明命题和是否为真即可．‎ ‎【详解】，则，因此“”是“”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，是的必要条件．‎ ‎7. 一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，答案采取四舍五入精确到）‎ A. 2.3小时 B. 3.5小时 C. 5.6小时 D. 8.8小时 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数模型列出方程，解之可得．‎ ‎【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．‎ 则，，，，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查对数的运算，根据已知模型列出方程是解题关键．‎ ‎8. 若为偶函数，满足，，则的值为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 1010 D. 2020‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知式变形，得出周期性，然后计算函数值．‎ ‎【详解】函数为偶函数，∴，又，‎ ‎∴，∴同周期函数，且周期为6，‎ 又，‎ ‎∴．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性，一般地函数满足，，是常数，则是函数的一个周期．‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 设函数，则( )‎ A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 最大值为2 D. 其图象关于点对称 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式、诱导公式化简函数的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】.‎ 选项A：，它是偶函数，正确；‎ 选项B：，所以，因此是单调递减，错误；‎ 选项C：的最大值为，错误；‎ 选项D：函数的对称中心为，，当，图象关于点对称，‎ 错误. ‎ 故选：AD ‎【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题.‎ ‎10. 在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ）‎ A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 的渐近线与圆相切 D. 满足的直线仅有1条 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知求得曲线的方程，求得曲线的离心率，其渐近线与圆的位置关系，以及弦长AB，逐一判断选项即可.‎ ‎【详解】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；‎ 又离心率，故B不正确；‎ 圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，‎ 又圆的半径为1，故C正确；‎ 直线与曲线的方程联立整理得，‎ 设， ，且，‎ 有，所以，‎ 要满足，则需，解得，此时，而曲线E上，故D不正确，‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】本题考查求点的轨迹方程，双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，以及直线与双曲线相交的弦长，属于中档题.‎ ‎11. 若，则下列不等式,其中正确的有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据基本不等式相关知识分别检验证明或举出反例即可的出选项.‎ ‎【详解】由题：‎ 由基本不等式可得：，所以A正确；‎ 当时，，所以B错误；‎ ‎，所以，‎ 即，所以C正确；‎ 因为，所以 即，所以D正确.‎ 故选：ACD ‎【点睛】此题考查基本不等式的应用，注意适用范围，对每个选项依次验证，必须要么证明其成立，要么举出反例，能够熟记常用的基本不等式的变形对提升解题速度大有帮助.‎ ‎12. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（ ）‎ 附：若随机变量服从正态分布，则.‎ A. 若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为 B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D. 白玫瑰日销售量范围在的概率约为 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正态分布的知识点，代表平均数，图像关于对称，代表标准差，越小图像越集中，选出正确答案.‎ ‎【详解】对于选项A：，正确；‎ 对于选项B C：利用越小越集中，小于，B正确，C不正确；‎ 对于选项D：，正确.‎ 故选：ABD.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正态分布曲线解决实际问题.属于较易题.‎ 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，再把三个座位放在其中的3个空隙中，结合组合数的运算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，‎ 可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，‎ 再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有种不同方法.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了组合的应用，其中解答中熟记组合的概念，以及组合数的计算公式，合理应用插空法求解是解答的关键，其中本题的解答中注意座位是相同元素，防止出错，着重考查分析问题和解答问题的能力.‎ ‎14. 棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是 _________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可.‎ ‎【详解】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，‎ 则外接球的半径，‎ 则外接球的表面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15. 已知直线：与抛物线：在第一象限的交点为，过的焦点，，则抛物线的准线方程为_______；_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线方程求得焦点坐标，得准线方程，利用焦半径公式得点横坐标，结合图形可得直线斜率，‎ ‎【详解】易知直线与轴的交点为，即抛物线的焦点为，∴准线方程为，‎ 设，则，，作轴于点，如图，‎ 则，，∴，‎ ‎∴直线的斜率为．‎ 故答案为：；．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的准线方程和焦半径公式，掌握抛物线的定义是解题关键．涉及到抛物线　上的点到焦点的距离时利用焦半径公式可以很快的求解．‎ ‎16. 把数列中各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______.‎ ‎【答案】1992‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，得到前个括号内的数字个数，再由所有括号内的数字构成等差数列，首项为，公差为；即可求解.‎ ‎【详解】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第个括号内共4个数；‎ 故前个括号内共有数字个数为；‎ 又因为所有括号内的数字构成等差数列，首项为，公差为；‎ 因此第个括号内的数字分别为，‎ 所以.‎ 故答案为：1992.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可，属于中档题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，，，点，是边上的两个三等分点，，____________，求的长和外接圆半径.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若选择条件①，，用余弦定理，求得，再用余弦定理求得，，最后由正弦定理可得外接圆半径；‎ 若选择条件②，由三角形面积求得，得，然后用余弦定理求得，，利用正弦定理求得外接圆半径；‎ 若选择条件③，设，用余弦定理表示出后解得，然后同样由余弦定理求得，用正弦定理求得外接圆半径．‎ ‎【详解】若选择条件①‎ 因为，所以，‎ 设，所以；又，，‎ 所以在中，，‎ 即，‎ 即：，‎ 所以或-4（舍去）.‎ 在中，，‎ 所以，‎ 同样，‎ 所以，‎ 由正弦定理可得：，‎ 所以外接圆半径为.‎ 若选择条件②‎ 因为点，是边上的三等分点，且，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以.‎ 在中，，‎ 所以，‎ 同样，‎ 所以，‎ 由正弦定理可得：，‎ 所以外接圆半径为.‎ 若选择条件③‎ 设，则，‎ 在中，‎ ‎，‎ 同样在中，‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 在中，，‎ 所以，‎ 同样，‎ 所以，‎ 由正弦定理可得：，‎ 所以外接圆半径为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，掌握两个定理的应用是解题关键．属于中档题．‎ ‎18. 已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用得出的递推关系，同时判断与的关系也与这个相同，从而得数列是等比数列，由等比数列通项公式可得结论；‎ ‎（2）由（1）可得，写出，两两配对后易得和．‎ ‎【详解】（1）因为，，，‎ 所以，，‎ 因为，，，依次成等差数列，所以，得，‎ 所以，‎ 所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，所以.‎ ‎（2）由题意知：，所以，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 当为偶数时，‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查由求，求等比数列的通项公式，考查分组（并项）求和法．在由的转化中注意，因此后面的关系式、结论需验证时是否成立，否则易出错．在出现正负相间的数列求和时常常相邻项并项后再求和．‎ ‎19. 随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增.根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：‎ 年度周期 ‎1995~2000‎ ‎2000~2005‎ ‎2005~2010‎ ‎2010~2015‎ ‎2015~2020‎ 时间变量 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 纯增数量 ‎（单位：万辆）‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎15‎ ‎27‎ 其中，时间变量对应的机动车纯增数据为，且通过数据分析得到时间变量与对应的机动车纯增数量（单位：万辆）具有线性相关关系.‎ ‎（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量的回归方程，并预测2025~2030年间该市机动车纯增数量的值；‎ ‎（2）该市交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的列联表：‎ 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 有私家车 ‎70‎ ‎40‎ ‎110‎ 合计 ‎160‎ ‎60‎ ‎220‎ 根据上面的列联表判断，能否有的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车”有关.‎ 附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.‎ 附：，.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），34.8万辆；（2）有把握.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据所给数据计算出回归方程的系数，得回归方程，然后令可得预测值；‎ ‎（2）计算后可得结论．‎ ‎【详解】（1）由 年度周期 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 纯增数量（单位：万辆）‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎15‎ ‎27‎ 所以，，‎ ‎.‎ 所以.‎ 因为过点，所以，‎ ‎，所以.‎ ‎2025~2030年时，，所以，‎ 所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.‎ ‎（2）根据列联表，计算得观测值为 ‎，‎ ‎，‎ 所以有的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.‎ ‎【点睛】本题考查求线性回归直线方程及回归方程的应用，考查独立性检验，旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力．属于中档题．‎ ‎20. 如图，正方形和所在平面互相垂直，且边长都是1，，，分别为线段，，上的动点，且，平面，记.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当的长最小时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面垂直的性质定理证明线面垂直；‎ ‎（2）求出的长最小时点的位置，然后分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．‎ ‎【详解】（1）因为平面，‎ 且平面，平面平面，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 又因为平面平面，‎ 且平面，平面平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎，当且仅当时等号成立，‎ 分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为，，‎ 则，取，得，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为，，‎ 则，取，得，‎ 所以，则二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角，解题关键是是建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量的夹角得二面角，注意观察二面角是锐二面角还是钝二面角．‎ ‎21. 已知函数，.‎ ‎（1）当时，求的零点；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）0；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导数，确定函数的单调性，求得最小值，从而得零点；‎ ‎（2）求出导函数，然后分类讨论，时，求得，然后令，利用导数证得，不合题意；时，令，再求，由确定的单调性，确定零点，从而得的最小值为，然后根据和的关系可证，从而得证结论成立．‎ ‎【详解】（1）由题知：当时，，，‎ 令，所以，‎ 所以在上单调递增，且，‎ 所以，当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增.‎ 所以，所以的零点为.‎ ‎（2）因为，‎ 当时，，令，‎ 因为；所以在上单调递增，‎ 所以，即，所以不合题意，‎ 当时，令，则，‎ 所以在上单调递增，‎ 且，，‎ 所以存在，使得，‎ 即，，‎ 所以，当时，设，在上单调递减；‎ 当时，设，在单调递增；‎ 所以 ‎.‎ 综上，所求的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的零点，研究不等式恒成立问题，解题思路是用导数求得函数的最小值，证明最小值不小于0，为此需要对导函数再次求导，确定单调性，确定零点，得原函数的最小值．式子中含有两个字母时，需根据它们的关系消元化为一元函数．‎ ‎22. 已知为坐标原点，椭圆：的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为4，四边形的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点，为椭圆上的两个动点，的面积为1．证明：存在定点，使得为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由两个四边形面积得两个关于的等式，再结合可解得，得椭圆 方程；‎ ‎（2）设，，在直线斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，求得弦长，再求出到直线的距离，求出面积，利用面积为1，可得的关系式，计算，并代入，化简后再代入的关系式得定值，直线斜率不存在时可由三角形面积求出的坐标，同样计算出等于上面的定值．结论得证．‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距，则①‎ 由题意知：，得②‎ 由题意知：，得③‎ 由①②③解得：，，，‎ 所以椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）定点为原点时，为定值5.‎ 证明如下：‎ 设，，‎ 当直线斜率不存在时，，，所以，‎ 所以，所以，，‎ 所以.‎ 当直线斜率存在时，设直线：，代入可得：‎ ‎，‎ 所以，.‎ 设点到直线的距离为，则，‎ ‎，‎ 因此，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理，求出弦长，求出原点到直线的距离，得三角形面积，韦达定理的结论代入后可得参数的关系．‎