高中数学北师大版新教材必修一同步课件：4-1　对数的概念 36页

第四章　对数运算与对数函数 §1 　对数的概念 必备知识 · 自主学习 1. 对数的概念 (1) 定义 : 一般地 , 如果 a(a>0, 且 a≠1) 的 b 次幂等于 N, 即 a b =N, 那么数 b 称为以 a 为底 N 的对数 , 记作 log a N=b, 其中 a 叫作对数的底数 ,N 叫作真数 . (2) 特殊对数 : 常用对数 : 以 10 为底 , 记作 _____;  自然对数 : 以 e 为底 , 记作 _____.  lg N ln N (3) 指数与对数的关系 : 当 a>0, 且 a≠1 时 ,a b =N ⇔ __________. (4) 对数恒等式 : =N. b=log a N 【 思考 】 对数式 log a N 是不是 log a 与 N 的乘积 ? 提示 : 不是 ,log a N 是一个整体 , 其运算结果是一个实数 . 2. 对数的性质 (1) 负数和 0 没有对数 ; (2)log a 1=__; (3)log a a=__. 0 1 【 思考 】 你能否推导出对数的性质 (2)(3)? 提示 : 因为 a 0 =1, 所以 log a 1=0; 因为 a 1 =a, 所以 log a a=1. 3. 对数恒等式 : =__. N 【 思考 】 对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系 ? 提示 : 指数的底数与对数的底数相等 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 因为 (-4) 2 =16, 所以 log (-4) 16=2. ( 　　 ) (2) 因为 3 x =81, 所以 log 81 3=x. ( 　　 ) (3)log 2 3=log 3 2. ( 　　 ) 提示 : (1)×. 对数的底数不能为负值 . (2)×. 应为 log 3 81=x. (3)×.log 2 3≠log 3 2, 两个是不同的对数值 . 2. 把对数式 x=log 2 32 改写为指数式 　　　　 .  【 解析 】 对数式 x= lo g 2 32 改写为指数式为 2 x =32. 答案 : 2 x =32 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 若 ln e -2 =-x, 则 x= 　　　　 .  【 解析 】 因为 ln e -2 =-x, 所以 e -x =e -2 , 所以 x=2. 答案 : 2 关键能力 · 合作学习 类型一　对数的概念及应用 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 若 a 2 020 =b(a>0 且 a≠1), 则 ( 　　 ) 　 A.log a b=2 020 B.log b a=2 020 C.log 2 020a=b D.log 2 020 b=a 2. 在 M=log (x-3) (x+1) 中 , 要使式子有意义 ,x 的取值范围为 ( 　　 ) A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞) C.(4,+∞) D.(3,4) 3.( 多选题 ) 下列指数式与对数式的互化中 , 正确的是 ( 　　 ) A.10 0 =1 与 lg 10=1 B. C.log 3 9=2 与 =3 D.log 5 5=1 与 5 1 =5 【 解析 】 1. 选 A. 若 a 2 020 =b(a>0 且 a≠1), 则 2 020=log a b. 2. 选 B. 由函数的解析式可得 解得 34. 3. 选 BD. 在 A 中 ,10 0 =1⇔lg 1=0, 故 A 错误 ; 在 B 中 , , 故 B 正确 ; 在 C 中 ,log 3 9=2⇔3 2 =9, 故 C 错误 ; 在 D 中 ,log 5 5=1⇔5 1 =5, 故 D 正确 . 【 解题策略 】 关于指数式的范围 　利用式子 log a b⇒ 求字母的范围 . 【 补偿训练 】 在 b=log a (5-a) 中 , 实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) 　　　　　 A.a>5 或 a<0 B.00, 所以 x= , 所以②正确 ; 由 log 10 100=x 得 ,10 x =100. 所以 x=2, 所以③错误 ; 由 -ln e 2 =x 得 ,x=-2, 所以④正确 ; 所以正确的题号是②④ . 角度 2 　对数性质的应用  【 典例 】 已知 log 2 [log 4 (log 3 x)]=log 3 [log 4 (log 2 y)]=0, 则 x+y= 　　　　 .  【 思路导引 】 由外向内求出 x,y 后求和 . 【 解析 】 由题意可得 log 4 (log 3 x)=1, 所以 log 3 x=4, 所以 x=3 4 =81; 同理可得 log 4 (log 2 y)=1, 所以 log 2 y=4, 所以 y=2 4 =16, 所以 x+y=97. 答案 : 97 【 变式探究 】 将等式变为 log 2 [log 4 (log 3 x)]=log 3 [log 4 (log 2 y)]=1, 试求 x+y. 【 解析 】 由题意 ,log 4 (log 3 x)=2, 得 log 3 x=16, 得 x=3 16 ;log 4 (log 2 y)=3, 得 log 2 y=64, 得 y=2 64 . 所以 x+y=3 16 +2 64 . 【 解题策略 】 1. 关于指数式与对数式的互化 指数式与对数式的互化关键是掌握以下的对应关系 : 2. 对数性质在求值中的应用 此类题目一般都有多层 , 解题方法是利用对数的性质 , 从外向里逐层求值 . 【 题组训练 】 1.(2020· 乌鲁木齐高一检测 ) 设 m=log a 3,log a π=n, 则 a 2m-n = ( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 因为 m=log a 3,log a π=n. 所以 a m =3,a n = π . 所以 a 2m-n = 2. 计算 log 3 [log 3 (log 2 8)] 等于 ( 　　 ) A.1 B.16 C.4 D.0 【 解析 】 选 D. 令 log 2 8=x, 则 2 x =8, 所以 x=3. 所以 log 3 [log 3 (log 2 8)]=log 3 [log 3 3]=log 3 1=0. 【 补偿训练 】 若 log 2 [log 2 (log 2 x)]=0, 则 x= ( 　　 ) 　　　 A.2 B.4 C.1 D. 【 解析 】 选 B. 若 log 2 [log 2 (log 2 x)]=0, 则 log 2 (log 2 x)=1, 则 log 2 x=2, 解得 :x=4. 类型三　对数恒等式的应用 ( 数学运算 ) 【 典例 】 1. = ( 　　 ) 　　　　 2. 若 x=log 4 3, 则 2·4 x +4 -x = 　　　　 .  【 思路导引 】 1. 先利用指数运算性质拆分 , 再利用对数恒等式求值 . 2. 利用指数对数互化表示出 x, 再代入利用对数恒等式求值 . 【 解析 】 1. 选 A. 2. 由 x=log 4 3, 则 2 · 4 x +4 -x =2 · =6+ 答案 : 【 解题策略 】 关于对数恒等式的应用 首先利用指数运算性质变形 , 变形为 的形式 , 再利用对数恒等式计算求值 . 【 跟踪训练 】 (2020· 绍兴高一检测 ) 若 a=log 2 3, 则 2 a +2 -a = 　　　　 .  【 解析 】 因为 a=log 2 3, 所以 2 a +2 -a = 答案 : 课堂检测 · 素养达标 1. +log 2 2 等于 ( 　　 ) A. B.3 C.4 D.5 【 解析 】 选 D. 原式 =4+1=5. 2.(2020· 杭州高一检测 ) 已知 log x 8=3, 则 x 的值为 ( 　　 ) A. B.2 C.3 D.4 【 解析 】 选 B. 因为 lo g x 8=3, 所以 x 3 =8, 解得 x=2. 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 若 10 m = , 则 m= 　　　　 .  【 解析 】 因为 10 m = , 则 m= lg . 答案 : lg 4.ln(lg 10)= 　　　　 .  【 解析 】 ln ( lg 10)= ln 1=0. 答案 : 0 5. 若对数 ln(x 2 -5x+6) 存在 , 则 x 的取值范围为 　　　　 .  【 解析 】 因为对数 ln(x 2 -5x+6) 存在 , 所以 x 2 -5x+6>0, 所以解得 x>3 或 x<2, 即 x 的取值范围为 :(-∞,2)∪(3,+∞). 答案 : (-∞,2)∪(3,+∞)