高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题二第3讲课时训练提能 6页

专题二 第3讲　平面向量 课时训练提能 ‎[限时45分钟，满分75分]‎ 一、选择题(每小题4分，共24分)‎ ‎1．(2012·黄冈模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝kc，则c可以是 A．(，－1)　　　　　　　 B．(－1，－)‎ C．(－，－1) D．(－1，)‎ 解析　a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)，‎ ‎∵a＋2b＝kc，‎ ‎∴k＝－时，c＝(－1，)．‎ 答案　D ‎2．(2012·滁州模拟)已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于 A．25　 　　 B．24‎ C．－25　 　　 D．－24‎ 解析　由勾股定理知△ABC是直角三角形，cos A＝，cos C＝，‎ 则·＋·＋· ‎＝0＋4×5×＋3×5×＝－25.‎ 答案　C ‎3．(2012·南昌模拟)若△ABC的面积S△ABC∈，且·＝3，则与夹角的取值范围是 A. B. C. D. 解析　设与的夹角为θ，则·＝||||cos θ＝3，‎ ‎∴|AB|||＝，‎ ‎∴S△ABC＝||||sin(π－θ)‎ ‎＝tanθ∈，‎ ‎∴tan θ∈.‎ 又θ∈[0，π]，∴θ∈.‎ 答案　D ‎4．(2012·大连模拟)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3,4)，若a⊥b，则tan 2θ等于 A. B. C．－ D．－ 解析　a·b＝3sin θ＋4cos θ＝0，∴tan θ＝－，‎ ‎∴tan 2θ＝＝.‎ 答案　A ‎5．(2012·福州模拟)在△ABC所在平面内有一点O，满足2＋＋＝0，||＝||＝||＝1，则·等于 A. B. C．3 D. 解析　如图所示，∵2＋＋＝0，‎ ‎∴2＝－(＋)，‎ ‎∴O是BC的中点．‎ 又∵||＝||＝||＝1，||＝1，‎ ‎∴∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，∠OCA＝30°，‎ 由余弦定理得AC＝，‎ ‎∴·＝||·||·cos ∠OCA ‎＝×2×＝3.‎ 答案　C ‎6．(2012·房山一模)如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则·的最大值是 A．2 B．1＋ C．π D．4‎ 解析　设∠BAx＝θ，则∠OAD＝∠CDy＝－θ，∠ADO＝θ，‎ ‎∴A点的坐标为(sin θ，0)，D点的坐标为(0，cos θ)，‎ 由此可知B(sin θ＋cos θ，sin θ)，C(cos θ，cos θ＋sin θ)，‎ ‎∴·＝cos θ(sin θ＋cos θ)＋sin θ(cos θ＋sin θ)‎ ‎＝sin 2θ＋1，‎ ‎∴当θ＝时，·的最大值为2.‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎7．(2012·台州模拟)设向量a＝(cos θ，1)，b＝(1，3cos θ)，且a∥b，则cos 2θ＝________.‎ 解析　∵a∥b，∴cos2θ＝，‎ ‎∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.‎ 答案　－ ‎8．(2012·南京师大附中模拟)在△ABC中，＝2，＝m＋n，则＝________.‎ 解析　＝＋＝＋ ‎＝＋(－)＝＋，‎ ‎∴m＝，n＝，∴＝.‎ 答案　 ‎9．(2012·安徽六校联考)给出下列命题，其中正确的命题是________(写出所有正确命题的编号)．‎ ‎①非零向量a、b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°；‎ ‎②已知非零向量a、b，则“a·b＞0”是“a、b的夹角为锐角”的充要条件；‎ ‎③命题“在三棱锥O－ABC中，已知＝x＋y－2，若点P在△ABC所在的平面内，则x＋y＝3”的否命题为真命题；‎ ‎④若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形．‎ 解析　①如图所示，＝a，＝b，‎ 则＝b－a，‎ ‎∵|a|＝|b|＝|a－b|，‎ ‎∴平行四边形ABCD为菱形，且△ABD是等边三角形，且∠BAC＝30°，‎ ‎∴＝a＋b，则a与a＋b的夹角为30°，故①正确；‎ ‎②当a、b的夹角为0°时，a·b＞0，故②错；‎ ‎③原命题的逆命题为“若x＋y＝3，则点P在△ABC所在的平面内”．‎ ‎∵x＋y＝3，∴y＝3－x，‎ ‎∴＝x＋(3－x)－2＝x＋3－x－2，‎ 即－＝x(－)＋2(－)，‎ ‎∴＝x－2，‎ 根据平面向量基本定理知P在△ABC所在的平面内，故③正确；‎ ‎④(＋)·(－)＝||2－||2＝0，‎ ‎∴||＝||，‎ 则△ABC为等腰三角形．‎ 答案　①③④‎ 三、解答题(每小题12分，共36分)‎ ‎10．(2012·西城一模)在△ABC中，已知sin(A＋B)＝sin B＋sin(A－B)．‎ ‎(1)求角A；‎ ‎(2)若||＝7，·＝20，求|＋|.‎ 解析　(1)原式可化为sin B＝sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B，‎ 因为B∈(0，π)，所以sin B＞0，所以cos A＝，‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝.‎ ‎(2)由余弦定理，得||2＝||2＋||2－2||||·cos A，‎ 因为||＝7，·＝||||·cos A＝20，‎ 所以||2＋||2＝89，‎ 因为|＋|2＝||2＋||2＋2·＝129，‎ 所以|＋|＝.‎ ‎11．已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥，求a与b的夹角．‎ 解析　因为(a＋b)⊥，所以a2－b2－a·b＝0.‎ 又因为|a|＝2，|b|＝1，所以a2＝4，b2＝1，‎ 所以4－－a·b＝0，所以a·b＝1.‎ 又a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝1，‎ 所以cos 〈a，b〉＝.‎ 又a与b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.‎ ‎12．已知向量a＝，b＝.‎ ‎(1)当a∥b，求cos2x－sin 2x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．‎ 解析　(1)∵a∥b，‎ ‎∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－，‎ ‎∴cos2x－sin 2x＝＝＝.‎ ‎(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 可得sin A＝，∴A＝.‎ f(x)＋4cos＝sin－，‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈.‎ ‎∴－1≤f(x)＋4cos≤－.‎