数学理卷·2017届四川省成都市九校高三下学期期中联考（2017 12页

‎2016～2017学年度（下期）高2014级第一次联考试卷 理科数学 考试时间共120分，满分150分 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。‎ ‎2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。‎ ‎3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.关于复数，下列说法中正确的是（ ）‎ ‎ A. B.的虚部为 ‎ ‎ C.的共轭复数位于复平面的第三象限 D.‎ ‎3.已知是平面外的一条直线，过作平面，使，这样的（ ）‎ ‎ A.恰能作一个 B.至多能作一个 C.至少能作一个 D.不存在 ‎4.已知二项式的展开式中常数项为，则（ ）‎ ‎ A.8 B. C. D.‎ ‎ A B C D ‎5.函数的图象是（ ）‎ ‎6.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等.”，则其中分得钱数最多的是（ ）‎ ‎ A.钱 B.1钱 C.钱 D.钱 ‎7.将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是（ ）‎ ‎ A.60 B.90 C.120 D.180‎ ‎8.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的值为4，则的值不可能是（ ）‎ ‎ A.3 B.6 C.8 D.11‎ ‎9.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与的图象交于两点，则（ ）‎ ‎ A.32 B.16 C.-16 D.-32‎ ‎10.三棱锥及其正视图和侧视图如右图所示，且顶点均在球的表面上，则球的表面积为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎11.已知双曲线的右顶点为，若双曲线右支上存在两点使得为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设函数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知满足不等式，则的最大值 .‎ ‎14.已知向量，则向量在向量方向上的投影为 .‎ ‎15.斜率为的直线经过点交抛物线于两点，若的面积是面积的2倍，则 .‎ ‎16.已知数列满足，，则的整数部分是 ‎ .‎ 三、解答题（本大题共小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中，已知，.‎ ‎ (1)求的值；‎ ‎ (2)若，为的中点，求的长.‎ ‎18.(本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面 ‎，‎ 直线与平面所成角的正切为.‎ ‎ (1)设为直线上任意一点，求证：；‎ ‎ (2)求二面角的正弦值.‎ 分组 ‎[70,80）‎ ‎[80,90）‎ ‎[90,100）‎ ‎[100,110）‎ 频数 ‎2‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎10‎ 分组 ‎[110,120）‎ ‎[120,130）‎ ‎[130,140）‎ ‎[140,150]‎ 频数 ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下：‎ 分组 ‎[70,80）‎ ‎[80,90）‎ ‎[90,100）‎ ‎[100,110）‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ 分组 ‎[110,120）‎ ‎[120,130）‎ ‎[130,140）‎ ‎[140,150]‎ 频数 ‎15‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎3‎ 甲校：‎ 乙校：‎ 以抽样所得样本数据估计总体 ‎ (1)比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；‎ ‎ (2)若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共人，求的分布列及数学期望.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆，圆经过椭圆的焦点.‎ ‎ (1)设为椭圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，求面积的取值范围，其中为坐标原点；‎ ‎ (2)过点的直线与曲线自上而下依次交于点，若 ‎,求直线的方程.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎ (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎ (2)设有两个极值点，且，求证：.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是 ‎（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎ (1)求圆和的极坐标方程；‎ ‎ (2)射线：与圆交于点，与圆交于点，求的最大值.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 设函数.‎ ‎ (1)求不等式的解集；‎ ‎ (2)若，恒成立，求实数的取值范围.‎ 高2014级期中联考试题 数学（理）参考答案 ‎1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.D 7.B 8.D 9.A 10.A 11.C 12.B ‎13、2 14、 15、 16、3‎ ‎17、解：（1）且， ·‎ ‎······2分 ‎. ·········6分 ‎（2）由（1）得，‎ 由正弦定理得，即，解得. ·········9分 由余弦定理，，所以.·····12分 ‎18、解：（1）设为线段的中点，由知，由知，从而三点共线，即为与的交点. ········2分 又平面，所以 又，所以平面 因为为直线上任意一点，所以平面，所以 ········5分 ‎（2）以所在方向为轴，所在方向为轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系 由题意，‎ 又平面故直线与平面所成角即为， ‎ 所以，所以 ‎ ··········8分 设平面的法向量，由，有 解得 ···········10分 由（1），取平面的法向量 所以 所以二面角的正弦值为 ·············12分 ‎19、解：（1）‎ ‎ ········2分 ‎ ········4分 所以乙校学生的数学平均成绩高于甲校 ········5分 ‎（2）由上表可知，甲、乙两校学生的优秀率分别为， ······6分 ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ··········10分 ‎ ·········12分 ‎20、解：（1）椭圆的焦点坐标为，所以 ·········1分 设，则 ‎ ············3分 所以的面积 ··········5分 ‎（2）设直线的方程为 联立，消去，得 设，则 ·········7分 联立，消去，得 设，则 ·········9分 又，所以即 ·········10分 从而，即，解得 所以直线的方程为 ··········12分 ‎21、解：（1）‎ 由题意，解得 ············4分 ‎（2）由题意，为的两根，，···6分 由知 结合单调性有. ········8分 又 ‎ ·········9分 设 则 ‎，故在递增，又 时，，‎ ‎，当时，递减，当时，递增 综上， ·········12分 ‎22、解：（1）圆和的普通方程分别是和··2分 ‎∴圆和的极坐标方程分别为，. ·······5分 ‎（2）依题意得点的极坐标分别为， ······7分 ‎∴，，从而.‎ 当且仅当，即时，上式取“=”，取最大值是4.··10分 ‎23、解：（1）， ··········3分 当时， ， ‎ 当时，，得，‎ 当时，，得，‎ 综上所述不等式的解集为. ··········6分 ‎（2）由（1）易得 ··········8分 若，恒成立，则只需 解得：.‎ 所以实数的取值范围为 ··········10分