数学理卷·2018届福建省福州市2018届高三下学期质量检测（3月）（2018 6页

‎2018 年福州市高中毕业班质量检测 数 学 （ 理 科 ） 试 卷 本试卷共 4 页，23 题。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上 书写作答。在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。‎ 第 Ⅰ 卷 ‎ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。‎ ‎(1) 已知复数 z 满足 (i + 1) z = -2 ，则在复平面内， z 对应的点位于 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎(2) 为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调 查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较 大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的 抽样方法是 ‎（A）简单随机抽样 （B）按性别分层抽样 ‎（C）按年龄段分层抽样 （D）系统抽样 ‎(3) 已知双曲线 E ： mx 2 - y 2 = 1 的两顶点间的距离为 4，则 E 的渐近线方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎ (4) 若角a 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线 ‎ 上，则cos 2a = ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎ (5) 已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， PA ^ 平面 ABC ， AB ^ BC ，且 PA = 8 ．若平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9p ，则球 O 的表面积为 ‎（A）10p （B） 25p （C） 50p （D）100p ‎(6) 函数 f ( x ) = x2 + ln (e - x ) ln (e + x ) 的图象大致为 y y y y ‎1‎ ‎-e O ‎1‎ e x -e O ‎‎ e x -e O ‎‎ ‎1‎ e x -e O e x ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(7) 右面程序框图是为了求出满足1 + 1 + 1 + + 1 < 1 000 的最大正整数 n ‎2 3 n 的值，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入 ‎（A）“ S < 1 ‎000 ”‎和“输出 i - ‎‎1 ”‎ ‎（B）“ S < 1 ‎000 ”‎和“输出 i - ‎‎2 ”‎ ‎开始 i = 1, S = 0‎ S = S + 1‎ i i = i + 1‎ ‎（C）“ S ‎（D）“ S ‎1 ‎000 ”‎和“输出 i - ‎1 ”‎ 否 是 ‎1 ‎000 ”‎和“输出 i - ‎‎2 ”‎ ‎(8) 福州西湖公园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要求 结束 甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有 ‎（A）90 种 （B）180 种 （C）270 种 （D）360 种 ‎(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎(10) 设函数 f ( x) =,则满足 f ( x2 - ‎2) ‎> f ( x ) 的 x 的取值范围是 ‎（A） (-¥, -1) (2, +¥)‎ ‎（B） (-¥, - ‎2 ) ( 2 , +¥)‎ ‎（C） (-¥, - ‎2 ) (2, +¥)‎ ‎（D） (-¥, -1) ( 2 , +¥)‎ ‎(11) 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ，准线为 l ．过 F 的 直线交 C 于 A, B 两点，交 l 于点 E ，直线 AO 交 l 于点 D .若 BE = 2 BF ，且 ‎AF = 3 ，‎ 则 BD =‎ ‎（A）1 （B）3 （C）3 或 9 （D）1 或 9‎ ‎(12) 已知函数 f ( x ) = sin 2 x 的图象与直线 2kx - 2 y - k π = 0 ( k > 0) 恰有三个公共点，这三 个点的横坐标从小到大分别为 x1 , x2 , x3 ，则 ( x1 - x3 ) tan ( x2 - 2 x3 ) = ‎（A） - 2‎ ‎（B） -1‎ ‎（C）0 （D）1‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 ‎ ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第 (13)～(21) 题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第 (22) 、(23) 题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．‎ ‎(13) 已知集合 A = {1, 3, 4, 7}, B = {x x = 2k + 1, k Î A} ，则集合 A B 中元素的个数为 .‎ ‎(14) 在钝角三角形 ABC 中， AB = 3, BC = ‎3, A = 30° ，则△ABC 的面积为 .‎ ì y x,‎ í ‎(15) 设变量 x, y 满足约束条件 ï x + 2 y 3,‎ ‎则 z = 2 x + 2 y 的取值 A 范围为 .‎ ‎ï 2 x + y 6,‎ î B ‎(16) 如 图 ， 在 平 面 四 边 形 ABCD 中， ÐABC = 90° ，‎ ÐDCA = 2ÐBAC ．若 BD = xBA + y BC ( x, y Î R ) ，则 x - y 的 D C 值为 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎(17) （本小题满分 12 分） ‎ 已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ， a1 = 2 ，且 ‎（1）求 an ；‎ ‎（2）若求数列{b n} 的前 n项的和Tn ‎ ‎， C ‎ ‎ (18) （本小题满分 12 分）‎ 在直三棱柱 ABC - A1 B‎1C1 中，△ABC 为正三角形，点 D 在棱 BC 上，且 CD = 3BD ，点 E , F 分别为棱 AB , BB1 的中点.‎ ‎（1）证明： A‎1C∥平面 DEF ；‎ ‎（2）若 A‎1C ^ EF ，求直线 A‎1C1 与平面 DEF 所成的角的正弦值．‎ ‎(19) （本小题满分 12 分）‎ ‎‎ 从某技术公司开发的某种产品中随机抽取 200 件，测量这些产品的一项质量指标值（记 为 Z ），由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎（ Z ）‎ ‎（1）公司规定：当 Z ‎95 时，产品为正品；当 Z < 95 时，产品为次品．公司每生产 一件这种产品，若是正品，则盈利 90 元；若是次品，则亏损 30 元．记x 为生产一件这种 产品的利润，求随机变量x 的分布列和数学期望；‎ ‎（2）由频率分布直方图可以认为， Z 服从正态分布 N ( m ,s 2 ) ，其中 m 近似为样本平 均数 x ，s 2 近似为样本方差 s 2 （同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．‎ ‎①利用该正态分布，求 P (87.8 < Z < 112.2 ) ；‎ ‎②某客户从该公司购买了 500 件这种产品，记 X 表示这 500 件产品中该项质量指标值 位于区间 (87.8,112.2 ) 的产品件数，利用①的结果，求 E ( X ) ．‎ 附： 150 » 12.2.‎ 若 Z ～ N (m ,s 2 ) ，则 P(m - s < Z < m + s ) =0.6826， P(m - 2s < Z < m + 2s ) =0.9544. (20) （本小题满分 12 分）‎ 设点 A 为圆 C : x2 + y 2 = 4 上的动点，点 A 在 x 轴上的投影为 Q ．动点 M 满足 ‎2MQ = AQ ，动点 M 的轨迹为 E .‎ ‎（1）求 E 的方程；‎ ‎（2）设 E 与 y 轴正半轴的交点为 B，过点 B 的直线 l 的斜率为 k (k ¹ 0) ， l 与 E 交 于另一点为 P.若以点 B 为圆心，以线段 BP 长为半径的圆与 E 有 4 个公共点，求 k 的 取值范围.‎ ‎(21) （本小题满分 12 分） ‎ ‎（1）求函数 f (x) = x ln x + a(a < 0) 的零点个数； ‎ ‎（2）证明：当 a Î [-4e, 0 ) ，函数 g ( x) = 2 x 2 ln x - x 2 + ax 有最小值.设 g ( x) 的最小值为 ‎ h(a) ，求函数 h(a) 的值域. 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做， 则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎(22) （本小题满分 10 分）选修 4 - 4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 ‎1 ç 线 C 的极坐标方程为 r cos æq - è ‎‎ p ö ø ‎6 ÷ = 2 .已知点 Q 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OQ 上，‎ 且满足 OQ × OP = 4 ，动点 P 的轨迹为 C2 ．‎ （1） 求 C2 的直角坐标方程；‎ ‎ (2)设点 A 的极坐标为(2, )，点 B 在曲线 C 2 上，求△AOB 面积的最大值．‎ ‎(23) （本小题满分 10 分）选修 4 - 5 ：不等式选讲 已知函数 f ( x ) = x2 - x + 1 .‎ ‎（1）求不等式 f ( x ) 2 x 的解集；‎ ‎（2）若关于 x 的不等式 f ( x) 在[0, +¥ ) 上恒成立，求 a 的取值范围.‎