湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学（文）（六）试卷 9页

湖南省娄底市双峰县第一中学2020届高三模拟考试数学（文）（六）试卷 测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．已知集合,，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．已知实数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题,，则命题的真假以及命题的否定分别为 （ ）‎ A．真，，‎ B．真，，‎ C．假，，‎ D．假，，‎ ‎4．已知向量，，若，且，则实数的值为 （ ）‎ A．2 B．4 C．或2 D．或4‎ ‎5．运行如下程序框图，若输出的的值为6，则判断框中可以填 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数，则下列说法正确的是 （ ）‎ A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于中心对称 D．函数的图象关于中心对称 ‎8．将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则当取到最小值时，函数的单调增区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知实数满足，若，且恒成立，则实数的取值不可能为 （ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎10．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎11．已知椭圆的离心率为，且是椭圆上相异的两点，若点满足，则的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为 （ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）‎ ‎13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：‎ 基于上述规律，可以推测，当时，从左往右第22个数为 .‎ ‎14．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：①双曲线的离心率为； ②双曲线与椭圆共焦点； ③双曲线右支上的一点到的距离之差是虚轴长的倍.‎ 请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线的方程为 .‎ ‎（注：以上三个条件得到的双曲线的方程一致）‎ ‎15．已知四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，且，，，，若平面平面，则四棱锥外接球的表面积为 .‎ ‎ ‎ ‎ 第15题图 第16题图 ‎16．如图所示，四边形被线段切割成两个三角形分别为和，若，，，则四边形面积的最大值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（12分）已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.‎ ‎（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”‎ 四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.‎ ‎（1）求甲参加围棋比赛的概率；‎ ‎（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.‎ ‎19．（12分）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，且，，为的交点，点在平面内的投影为点.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，若，点关于直线的对称点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程与离心率；‎ ‎（2）过点做直线与椭圆相交于两个不同的点；‎ 若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值点；‎ ‎（2）若时，证明：.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．‎ ‎22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）将曲线向左平移2个单位，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值.‎ ‎23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 文科数学答案与解析 ‎1．【答案】C【解析】依题意，集合，，‎ 故，故选C.‎ ‎2．【答案】A【解析】依题意，，故，故，故复数的共轭复数为，故选A.‎ ‎3．【答案】B【解析】不妨取，此时，故命题为真；特称命题的否定为全称命题，故，，故选B.‎ ‎4.【答案】C【解析】依题意，向量；因为，故，故；又，即或1，故或-2，故选C.‎ ‎5．【答案】B【解析】运行该程序，第一次，；第二次，；第三次，；第四次，；第五次；；第六次，；观察可知，判断框中可以填“”，故选B.‎ ‎6．【答案】A【解析】依题意，‎ ‎；‎ ‎；故原式的值为，故选A.‎ ‎7．【答案】D【解析】依题意，，将函数的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数的图象，这是一个奇函数，图象关于中心对称，故函数的对称中心为，故选D.‎ 8． ‎【答案】C【解析】依题意，将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象，此时，‎ 解得，故，故的最小值为 故；令，解得 ‎，即，故选C.‎ ‎9．【答案】A【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出；要使恒成立，需且仅需解得；‎ 故的取值不可能为7，故选A.‎ ‎10．【答案】B【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为或，均为，故选B.‎ ‎ ‎ ‎ 第9题答案图 第10题答案图 ‎11．【答案】A【解析】依题意，；因为，故；设，则，‎ 故，，可知，当时，有最大值25，当时，有小值；故的取值范围为，故选A.‎ ‎12．【答案】A【解析】依题意，，令，故；令，则，故当时，；故在上单调递减，故，故的最小值为1，故选A.‎ ‎13．【答案】253【解析】当时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.‎ ‎14．【答案】【解析】依题意，双曲线的渐近线方程为，即，故，即；‎ ‎①双曲线的离心率为，故；又，且，故，故双曲线的方程为 ‎；‎ ‎②椭圆的焦点坐标为，故；又，故，故双曲线的方程为；‎ ‎③依题意，设双曲线的左、右焦点分别为，故，故，故双曲线的方程为.‎ ‎15．【答案】【解析】因为四边形为等腰梯形，‎ ‎，故；因为,,‎ ‎,，‎ ‎，故；‎ 取CD的中点E，则E是等腰梯形外接圆圆心；‎ F是外心，作平面，平面，则O是四棱锥的外接球的球心，且；设四棱锥的外接球半径，则，所以四棱锥外接球的表面积是.‎ ‎16．【答案】【解析】因为，故，‎ 故，故是等腰直角三角形；在中，，‎ 由余弦定理，；；‎ 又，；‎ 易知当时，四边形的面积有最大值，最大值为．‎ ‎17．【解析】‎ ‎（1）依题意，，故，故；‎ 故数列是公比为3的等比数列，因为，故，‎ 解得；故数列的通项公式为；（6分）‎ ‎（2）依题意，，故数列是以1为首项，为公比的等比数列，‎ 故，‎ 故，即实数的取值范围为.（12分）‎ ‎18．【解析】‎ ‎（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，‎ 故甲参加围棋比赛的概率为；（4分）‎ ‎（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，‎ 则所有的可能为（1,2,1,2）,（1,2,1,3）,（1,2,1,4）,（1,2,2,3）,（1,2,2,4）,（1,2,3,4）,（1,3,1,2）,（1,3,1,3）,（1,3,1,4）,（1,3,2,3）,（1,3,2,4）,（1,3,3,4），‎ 其中满足条件的有（1,2,3,4）,（1,3,2,4）两种，故所求概率.（12分）‎ ‎19．【解析】‎ ‎（1）依题意，，，‎ 又,，（2分）‎ 在中，,，（3分）‎ 在中，，，即；‎ 平面,平面,；（6分）‎ 又,平面,平面,平面，‎ 因为平面，故，即；（8分）‎ ‎（2）依题意，.（12分）‎ ‎20．【解析】‎ ‎（1）依题意，点关于直线的对称点为，‎ 因为，故，故椭圆；‎ 将代入椭圆中，解得；‎ 所以椭圆的方程为故离心率；（4分）‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，，所以．‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 联立，消去整理得，‎ 由，可得，且，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故，综上实数的取值范围为．（12分）‎ ‎21．【解析】‎ ‎（1）依题意，，故；‎ 可知，当时，；时，；‎ 故函数的极小值点为，无极大值点；（4分）‎ ‎（2），令，故，‎ 可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 在时取得极大值，并且也是最大值，即．‎ 又，．‎ 设，则，‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，‎ 所以,,,，又，‎ ‎，即.（12分）‎ ‎22．【解析】‎ ‎（1）曲线：；直线:；（4分）‎ ‎（2）依题意，曲线；又曲线的参数方程为为参数)，‎ 设曲线上任一点，‎ 则(其中)，‎ 所以点到直线的距离的最小值为.（10分）‎ ‎23．【解析】‎ ‎（1）显然；故，‎ 故不等式的解集为；（5分）‎ ‎（2）依题意，当，，‎ 故，解得；‎ 当时，，‎ 故，解得；‎ 综上所述，实数的值为.（10分）‎