2021高考数学大一轮复习考点规范练30等差数列及其前n项和理新人教A版 5页

考点规范练30　等差数列及其前n项和 ‎　考点规范练B册第18页　 ‎ 基础巩固 ‎1.(2019河北唐山高三摸底考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a11=4,则S13=(　　)‎ A.13 B.26 C.39 D.52‎ 答案:B 解析:由等差数列的性质可知,a1+a13=a3+a11=4,则S13=‎13(a‎1‎+a‎13‎)‎‎2‎=26,故选B.‎ ‎2.记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(　　)‎ A.-12 B.-10 C.10 D.12‎ 答案:B 解析:因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.‎ ‎3.已知等差数列{an}的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为(　　)‎ A.110 B.200 C.210 D.260‎ 答案:C 解析:设{an}的前n项和为Sn.‎ ‎∵在等差数列{an}中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,‎ 又S4=30,S8=100,∴30,70,S12-100成等差数列,‎ ‎∴2×70=30+S12-100,解得S12=210.‎ ‎4.已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是(　　)‎ A.18 B.19 C.20 D.21‎ 答案:C 解析:a1+a3+a5=105⇒a3=35,a2+a4+a6=99⇒a4=33,‎ 则{an}的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.‎ 5‎ ‎5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=(　　)‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ 答案:D 解析:(方法一)由题知Sn=na1+n(n-1)‎‎2‎d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.‎ ‎(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.‎ ‎6.(2019广东汕头二模)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,2S3=2a4+S2,则a8=(　　)‎ A.8 B.9 C.16 D.15‎ 答案:D 解析:由2S3=2a4+S2,得2(3a1+3d)=2(a1+3d)+(2a1+d),即2a1=d,d=2,故a8=a1+7d=15.‎ ‎7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是　　　　　斤.(注:“斤”非国际通用单位) ‎ 答案:184‎ 解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,‎ 由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,‎ 即8a1+‎8×7‎‎2‎‎×‎17=996,解得a1=65.‎ 所以a8=65+7×17=184.‎ ‎8.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)求Sn,并求Sn的最小值.‎ 解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.‎ 由a1=-7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n-9.‎ 5‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.‎ 能力提升 ‎9.(2019河北衡水高三下学期大联考)已知等差数列{an}的首项a1=31,公差为d(d为整数),若数列{an}的前8项和最大,则d=(　　)‎ A.-2 B.-3 C.-4 D.-5‎ 答案:C 解析:由题意得a‎8‎‎≥0,‎a‎9‎‎<0,‎即‎31+7d≥0,‎‎31+8d<0,‎所以-‎31‎‎7‎‎≤‎d<-‎31‎‎8‎‎.‎又因为d为整数,所以d=-4.故选C.‎ ‎10.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论:‎ ‎①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S19=0.‎ 其中一定正确的结论是(　　)‎ A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④‎ 答案:B 解析:设等差数列{an}的公差为d,‎ 则2a1+3a1+6d=6a1+15d,‎ 即a1+9d=0,a10=0,故①正确;‎ 若a1>0,d<0,则S9=S10,‎ 且它们为Sn的最大值,故②错误;‎ S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,‎ 即S7=S12,故③正确;‎ S19=‎19(a‎1‎+a‎19‎)‎‎2‎=19a10=0,故④正确.‎ ‎11.设数列{an}的前n项和是Sn,若点Ann,‎Snn在函数f(x)=-x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)记bn=aan,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.‎ 5‎ 解:(1)因为点Ann,‎Snn在函数f(x)=-x+c的图象上运动,‎ 所以Snn=-n+c,所以Sn=-n2+cn.‎ 因为a1=3,所以c=4,所以Sn=-n2+4n,所以an=Sn-Sn-1=-2n+5(n≥2).‎ 又a1=3满足上式,所以an=-2n+5(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)知,bn=aan=-2an+5=-2(-2n+5)+5=4n-5,‎ 故数列{bn}为等差数列.‎ 当n=1时,a1=-1<0,当n≥2时,an>0,则Tn的最小值是T1=-1.‎ ‎12.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.‎ ‎(1)求通项公式an;‎ ‎(2)求Sn的最小值;‎ ‎(3)若数列{bn}是等差数列,且bn=Snn+c,求非零常数c.‎ 解:(1)∵数列{an}为等差数列,∴a3+a4=a2+a5=22.‎ 又a3·a4=117,‎ ‎∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.‎ 又公差d>0,∴a3