2017-2018学年安徽省蚌埠市高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版 19页

绝密★启用前 安徽省蚌埠市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的点位于复平面内的（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求出复数z,再得到复数z对应的点所在的象限.‎ 详解：由题得，所以复数z对应的点为（2，-1），‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数 对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.‎ ‎2．“指数函数是增函数，函数是指数函数，所以函数是增函数”，以上推理（ ）‎ A. 大前提不正确 B. 小前提不正确 C. 结论不正确 D. 正确 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用三段论和指数函数的单调性分析判断.‎ 详解：由三段论可知“指数函数是增函数”是大前提，但是指数函数不一定是增函数，对于指数函数，当a>1时，指数函数是增函数，当0＜a＜1时，指数函数是减函数.所以大前提不正确，故答案为：A.‎ 点睛：本题主要考查三段论和指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平.‎ ‎3．曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求出切点，再利用导数求切线的斜率，再写出切线的方程.‎ 详解：由题得所以切点为（0,-1）,‎ 由题得 所以切线方程为 故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和求切线的方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 ‎4．已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（ ）‎ A. 5 B. 2 C. 1 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求当x=3时，的值5，再用4-5=-1即得方程在样本处的残差.‎ 详解：当x=3时，，4-5=-1，所以方程在样本处的残差为-1.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查残差的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)残差=实际值-预报值，不要减反了.‎ ‎5．用数学归纳法证明不等式“”的过程中，归纳递推由到时，不等式的左边（ ）‎ A. 增加了一项 B. 增加了两项 C. 增加了两项，又减少了一项 D. 增加了一项，又减少了一项 ‎【答案】C ‎【解析】分析：先求出n=k时左边的式子，再求出n=k+1‎ 时左边的式子，再比较两个式子得解.‎ 详解：当n=k时，左边=, (1)‎ 当n=k+1时，左边=,(2)‎ 所以增加了两项，又减少了一项，故答案为：C.‎ 点睛：本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的掌握水平.‎ ‎6．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次取到的是奇数”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用条件概率公式求.‎ 详解：由条件概率得=故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查条件概率的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 条件概率的公式: =.‎ ‎7．已知，，均为正实数，则，，的值（ ）‎ A. 都大于1 B. 都小于1‎ C. 至多有一个不小于1 D. 至少有一个不小于1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解.‎ 详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则，所以选项A是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则，所以选项B是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则 ‎ ‎，所以选项C是错误的.对于选项D,假设，则 ‎，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D是正确的.故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数至少有一个不小于1的否定是 ‎8．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）‎ ‎（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.）‎ A. 17 B. 23 C. 34 D. 46‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数.‎ 详解：由题得 所以，‎ 所以，‎ 所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.‎ ‎9．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由导函数的图象可知，函数在，单调递增；在，单调递减，在，单调递增，故选C.‎ ‎10．下列等式中，错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：计算每一选项的左右两边，检查它们是否相等.‎ 详解：通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.‎ 对于选项C,,所以选项C是错误的.故答案为：C.‎ 点睛：本题主要考查排列组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本计算能力.‎ ‎11．将3颗相同的红色小球和2颗相同的黑色小球装入四个不同盒子，每个盒子至少1颗，不同的分装方案种数为（ ）‎ A. 40 B. 28 C. 24 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：分两类讨论，其中一类是两个黑球放在一个盒子中的，其中一类是两个黑球不在一个盒子中的，最后把两种情况的结果相加即得不同的分装方案种数.‎ 详解：分两种情况讨论，‎ 一类是两个黑球放在一个盒子中的有种，‎ 一类是两个黑球不放在一个盒子中的:如果一个黑球和一个白球在一起，则有种方法；如果两个黑球不在一个盒子里，两个白球在一个盒子里，则有种方法.‎ 故不同的分装方案种数为4+12+12=28.故答案为：B.‎ 点睛：（1）本题主要考查排列组合综合应用题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时，要注意审题，黑球是一样的，红球是一样的，否则容易出错.‎ ‎12．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，则 当时，，单调递减 当时，，单调递增 存在，成立 ‎，‎ ‎，‎ 故选 点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．计算：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： ．‎ 考点：定积分．‎ ‎14．2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：‎ 感染 未感染 总计 注射 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 未注射 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 参照附表，在犯错误的概率最多不超过__________的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．‎ ‎（参考公式：.）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】0.05‎ ‎【解析】分析：直接利用独立性检验公式计算即得解.‎ 详解：由题得,‎ 所以犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．‎ 故答案为：0.05.‎ 点睛：本题主要考查独立性检验和的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.‎ ‎15．已知多项式的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的系数为__________（用数字作答）.‎ ‎【答案】4860‎ ‎【解析】分析：先根据多项式的展开式中二项式系数之和为64得到求出n的值，再利用二项式定理的通项求展开式中的系数.‎ 详解：因为多项式的展开式中二项式系数之和为64，∴，∴n=6.‎ 所以二项式展开式的通项为，‎ 令6-r=2得r=4,所以展开式中的系数为 故答案为：4860.‎ 点睛：（1）本题主要考查二项式定理和二项式展开式指定项的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 展开式中的系数为，不是.是展开式的第5项的二项式系数，某一项的系数和某一项的二项式系数是两个不同的概念，不要混淆.‎ ‎16．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第行、第行的数记为，如，.若，则__________．‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得的值.‎ 详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，，第n行有n个偶数，则前n行共有个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位，‎ 所以 当n=44时，第44个偶数为，所以第44行结束时最右边的偶数为1980,‎ 由题得2018排在第45行的第27位，所以45+27=72.‎ 故答案为：72.‎ 点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式找到2018所在的行.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，均为正实数，求证：.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】分析：直接利用作差法比较和的大小得解.‎ 详解： ‎ ‎.‎ 所以.‎ 点睛：（1）本题主要考查不等式的证明，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)不等式的证明常用的有比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，本题运用的是比较法，也可以利用综合法.‎ ‎18．如图1，已知中，，点在斜边上的射影为点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先分析得到，再由勾股定理得到，再化简即得 ‎.( Ⅱ)先类比猜想得到猜想：.再利用（Ⅰ）的结论证明.‎ 详解：（Ⅰ）由条件得，，所以，‎ 由勾股定理，，所以，‎ 所以 .‎ ‎（Ⅱ）猜想：.‎ 证明如下：‎ 连接延长交于点，连接，‎ 因为，，‎ 点，所以平面，又平面，得，‎ 平面，平面，则.‎ 在直角三角形中，由（Ⅰ）中结论，.‎ 平面，则，又平面，所以，‎ 而点，平面，所以平面，.‎ 又，由（Ⅰ）中结论，得.‎ 所以.‎ 点睛：（1）本题主要考查几何证明和类比推理及其证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键有两个，其一是连接延长交于点，连接，证明，其二是证明都用到第1问的结论.‎ ‎19．小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间 ‎（分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.‎ ‎（分钟）‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 频数（次）‎ ‎50‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过的天数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先由题得到x=15,20,25,30，再求出其对应的概率，最后得到X的分布列和期望. （Ⅱ）利用二项分布求的分布列及数学期望.‎ 详解：（Ⅰ），，，，‎ 的分布列为 ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 所以 .‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用时间不超过的概率为，‎ 依题意，，‎ 分布列为，，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎.‎ 点睛：（1）本题主要考查随机变量的分布列和数学期望，考查二项分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若～则利用该公式可以提高计算效率.‎ ‎20．我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图：‎ 定价（元/）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ 年销售 ‎1150‎ ‎643‎ ‎424‎ ‎262‎ ‎165‎ ‎86‎ ‎14.1‎ ‎12.9‎ ‎12.1‎ ‎11.1‎ ‎10.2‎ ‎8.9‎ 图（1）为散点图，图（2）为散点图.‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断与，与哪一对具有较强的线性相关性（不必证明）；‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果和参考数据，建立关于的回归方程（线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字）；‎ ‎（Ⅲ）定价为多少时，年销售额的预报值最大？（注：年销售额定价年销售）‎ 参考数据：，，，，， ‎ ‎，，，‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)定价为20元/时，年销售额的预报值最大.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由于图（2）的点更集中在一条直线附近，所以与具有的线性相关性较强.（Ⅱ）利用最小二乘法求关于的回归方程为. （Ⅲ）先得到，，再利用导数求定价为多少时年销售额的预报值最大.‎ 详解：（Ⅰ）由散点图知，与具有的线性相关性较强.‎ ‎（Ⅱ）由条件，得，‎ ‎，所以，‎ 又，得，‎ 故关于的回归方程为.‎ ‎（Ⅲ）设年销售额为元，令，，‎ ‎，‎ 令，得；令，得，‎ 则在单调递增，在单调递减，在取得最大值，‎ 因此，定价为20元/时，年销售额的预报值最大.‎ 点睛：（1）本题主要考查两个变量的相关性和最小二乘法求回归直线方程，考查利用导数求函数的最值.(2)本题的难点在第3问，这里要用到导数的知识先求函数的单调区间，再求最大值.‎ ‎21．函数，.‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：当时，.‎ ‎【答案】(Ⅰ)有极小值，无极大值.(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2）不等式等价于，由（1）得，可得，设，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得，进而可得结果.‎ 试题解析：（1）函数的定义域为，，‎ 由得， 得，所以函数在单调递减，‎ 在上单调递增，所以函数只有极小值.‎ ‎（2）不等式等价于，由（1）得：.‎ 所以，，所以 . ‎ 令，则，当时，，‎ 所以在上为减函数，因此，，‎ 因为，所以，当时，，所以，而，所以.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的极坐标方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，与的交点为，，求的面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.(Ⅱ).‎ ‎【解析】分析：（1）利用恒等式消参法得到的普通方程，再把极坐标公式代入求其极坐标方程,可以直接写出的直角坐标方程.(2) 设，，再求得，，再利用面积公式求得的面积.‎ 详解：（Ⅰ）消去参数，曲线的普通方程为，‎ 即，把，代入方程得 ‎，所以的极坐标方程为.‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，，分别将，代入，‎ 得，，‎ 则的面积为 ‎ .‎ 点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和转化分析能力.(2)本题解答的难点在第2问，直接用极坐标比较快捷，如果化成直角坐标就比较麻烦，注意灵活选择.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用分类讨论法解绝对值不等式.( Ⅱ）先放缩得到 ，再利用绝对值三角不等式得到 详解：（Ⅰ）当时，不等式，即，‎ 当时，不等式可化为，解得，所以，‎ 当时，不等式可化为，解得，所以无解，‎ 当时，不等式可化为，解得，所以，‎ 综上可知，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎.‎ ‎：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力.(2)解答第2问的关键一是先要放缩 ，其二是要利用绝对值三角不等式 ‎.‎