专题3-3+导数的综合应用（测）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 14页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【测】第三章 导数 第03节 导数的综合应用 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1.若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．∪‎ ‎【答案】A ‎2.如图所示，连结棱长为2的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，注满为止.已知顶点到水面的高度以每秒1匀速上升，记该容器内水的体积与时间的函数关系是，则函数的导函数的图像大致是（ ） ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体，棱长为，高为2，‎ 设时间为t时，当t≤1时，此时水面的边长为b，，则，则水面的面积为 ‎，该容器内水的体积，当t＞1时，此时水面的边长为c，，则，则水面的面积为，该容器内水的体积，‎ ‎∴‎ ‎3．定义在上的可导函数满足，且，则的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎4. 对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴当时，，则函数在上单调递减，当时，，则函数在上单调递增，即函数在处取最小值，∴，，则将两式相加得．故选Ｃ．‎ ‎5.设函数其中θ∈，则导数f′（1）的取值范围是 （ ）‎ A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎6.已知函数则方程恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，设切点为，∴切线方程为，‎ ‎∴，与相同，∴，，∴，∴.‎ 当直线与平行时，直线为，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，所以与在，上有2个交点，所以直线在和之间时与函数有2个交点，所以，故选B.‎ ‎7. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经探究发现，任意一个三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是该函数的对称中心，若，则（ ）‎ A．4032 B．4030 C．2016 D．2015‎ ‎【答案】B ‎8．设函数在（0，＋∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数，若函数，且恒有，则（ ）‎ A．K的最大值为 ‎ B．K的最小值为 C．K的最大值为2 ‎ D．K的最小值为2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以在区间上恒成立，即，由得，令，当时，，当时，，所以在区间上，，函数单调递增，在区间上，函数单调递减，所以当时，函数有最大值，即，所以，即的最小值为，故选B．‎ ‎9.【2017安徽马鞍山二模】已知函数， ，若存在使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎10. 若函数有两个零点，则的取值范围（ ）‎ A. 　 B. C. 　 　 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】考查函数，则问题转化为曲线与直线有 两个公共点，‎ 则，则，‎ 当时，，‎ 当时，，，，则，‎ 当，，，，则，‎ 此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 同理，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 因此函数在处取得极小值，亦即最小值，即，‎ 由于函数有两个零点，‎ 结合图象知，解得，故选A.‎ ‎11. 对任意实数，定义运算：，设，则的值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）不确定 ‎【答案】A ‎【解析】题中所定义运算即为取最大值.设，则 ‎，当时，单调递减，所以最大，选A.‎ ‎12.已知函数的两个极值点分别为，，且， ，点表示的平面区域为，若函数（）的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意知，有两根，且，，所以，即表示的平面区域为点右上方阴影区域．函数的图象只要在点的上方即可，所以，解得，，故选C．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13.已知函数，若不等式的解集为，则的值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，整理为的解集是，所以，即，，所以，故填：.‎ ‎14.已知函数在区间内单调,则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求导得：，由此可知在递减，在内递增，所以的最大值为.‎ ‎15.函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是_____‎ ‎【答案】．‎ ‎16.【2017山西三区八校二模】定义在上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以,即的周期为6；‎ 因为，所以，因为是奇函数，所以;‎ 构造函数,则,即在上单调递减,‎ ‎， ，所以,故答案为.‎ 三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.【【百强校】2017广东惠州一调】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间； ‎ ‎（Ⅱ）求证：，不等式恒成立．‎ ‎【答案】（Ⅰ）时，在上单调递增，时，当时，在单调递减．‎ 在单调递增；（Ⅱ）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）的定义域为，‎ ‎①若，在上单调递增 ‎ ‎②若，当时，，在单调递减．‎ 当时，，在单调递增．‎ ‎（Ⅱ）等价于 令，则 由（Ⅰ）知，当时，，即.‎ 所以，则在上单调递增，所以 即 ‎ ‎18.【2017山西孝义二模】设函数，，其中，‎ 为自然对数的底数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）证明：当时，；‎ ‎（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立.‎ ‎【答案】（1）当时单调递减；当时，单调递增；（2）详见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先对求导，然后对进行讨论，从而判断函数的单调性；（2）利用导数判断函数的单调性，从而证明结论；（3）构造函数（），利用导数判断函数的单调性，从而求解的值．‎ ‎（2）证明：要证，即，即证，也就是证.‎ 令，则，∴在上单调递增，则，‎ 即当时，，∴当时，；‎ ‎（3）由，得.‎ 设，由题意知，在内恒成立.‎ ‎∵，∴有在内恒成立.‎ 令，则，‎ 当时，，‎ 令，，函数在上单调递增.∴.‎ 又，，∴，.‎ 综上所述，，，在区间单调递增，‎ ‎∴，即在区间单调递增，∴.‎ ‎19．【2017江西九江三模】已知函数 恰有两个极值点，且.‎ ‎（1）求实数 的取值范围；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1) ,依题意得为方程的两不等正实数根, ,令.当时， ；当时， ， 在 上单调递增，在上单调递减，且， ，当时， ，解得，故实数 的取值范围是.‎ ‎(2)由（1）得, 两式相减得,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎，令，即，令，则需满足在上恒成立， ，令，则.‎ ‎①当时， 上单调递减, 在上单调递增 , , 符合题意 ； ②当时， 上单调递增, 在上单调递减, , 不符合题意；③当时， 在 上单调递增， 在上单调递减, , 不符合题意，综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎20.【2017河北唐山二模】已知函数的图象与轴相切， ．‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）若，求证： ‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.‎ 试题解析：（Ⅰ） ， 设的图象与轴相交于点，‎ 则即 解得．‎ 所以，‎ 等价于．‎ 设，则，‎ 当时， ， 单调递增；‎ 当时， ， 单调递减，‎ 所以，‎ 即，（*），所以．‎ ‎（Ⅱ）设，则，‎ 由（Ⅰ）可知，当时， ，‎ 从而有，所以单调递增，‎ 又，所以，‎ 从而有，即，‎ 所以，即，‎ ‎ ，‎ 又，所以，‎ 又，所以．‎ 综上可知， ．‎ ‎ ‎