2018届二轮复习（文）专题五　立体几何专题五第1讲课件（全国通用） 50页

第 1 讲　空间几何体 专题五 　 立体几何 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　三视图与直观图 1. 一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正 ( 主 ) 视图的下面，长度与正 ( 主 ) 视图的长度一样，侧 ( 左 ) 视图放在正 ( 主 ) 视图的右面，高度与正 ( 主 ) 视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样 . 即 “ 长对正、高平齐、宽相等 ”. 2. 由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正 ( 主 ) 视图与侧 ( 左 ) 视图确定几何体 . 答案 解析 例 1 　 (1) 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧 ( 左 ) 视图 为 √ 解析　 所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧 ( 左 ) 视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧 ( 左 ) 视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，故选 D. (2) 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ( 如图所示 ) ， ∠ ABC ＝ 45° ， AB ＝ AD ＝ 1 ， DC ⊥ BC ，则这块 菜地 的 面积为 ________. 答案 解析 思维升华 解析　 如图，在直观图中，过点 A 作 AE ⊥ BC ，垂足为点 E ， 而四边形 AECD 为矩形， AD ＝ 1 ， 由此可还原原图形如图所示 . 且 A ′ D ′∥ B ′ C ′ ， A ′ B ′⊥ B ′ C ′ ， 且 A ′ D ′∥ B ′ C ′ ， A ′ B ′⊥ B ′ C ′ ， 思维升华　 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正 ( 主 ) 视图或侧 ( 左 ) 视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果 . 在还原空间几何体实际形状时，一般是以正 ( 主 ) 视图和俯视图为主，结合侧 ( 左 ) 视图进行综合考虑 . 跟踪演练 1 　 (1)(2017· 河北省武邑中学模拟 ) 已知某锥体的正 ( 主 ) 视图和侧 ( 左 ) 视图如图，则该锥体的俯视图不可能是 答案 解析 √ D 项，由于该图形不满足三视图原则 “ 宽相等 ” ，所以不可能是该锥体的俯视图，故 D 项不符合题意 . 故选 D. (2)(2017· 衡阳联考 ) 如图所示，三棱锥 V － ABC 的底面是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面 VAC 与底面 ABC 垂直，若以垂直于平面 VAC 的方向作为正 ( 主 ) 视图的方向，垂直于平面 ABC 的方向为俯视图的方向，已知其正 ( 主 ) 视图的面积为 2 ， 则其侧 ( 左 ) 视图的面积是 答案 解析 √ 故选 B. 热点二　几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧 . 例 2 　 (1 ) 右 图画 出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，则该几何体的体积 为 A.48 － π B.96 － π C.48 － 2π D.96 － 2π 答案 解析 思维升华 √ 解析　 由已知中的三视图可知，该几何体是一个长方体挖掉两个圆锥所得的组合体，所以几何体的体积为 4 × 4 × 6 － 2 × × π × 1 2 × 3 ＝ 96 － 2π ，故选 D. 思维升华　 求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和 . (2)(2017· 山东 ) 由一个长方体和两 个 圆柱 构成 的几何体 的三视图如图 ， 则 该几何体的体积为 _______. 答案 解析 思维升华 思维升华　 求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 . 答案 解析 √ (2)(2017 届云南省师范大学附属中学月考 ) 如图，是某组合体的三视图，则外部几何体的表面积 为 A.4π B.12π C.24π D.36π 答案 解析 √ 热点三　多面体与球 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接 . 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图 . 如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径 . 球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径 . 球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心 ( 或 “ 切点 ”“ 接点 ” ) 作出截面图 . 例 3 　 (1) 一个三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积为 答案 解析 √ 解析　 由三视图可知该三棱锥为棱长为 5,4,3 的长方体切去四个小棱锥得到的几何体， ∴ 该三棱锥的外接球和长方体的外接球相同 . 设该三棱锥的外接球半径为 R ， (2)(2017 届咸阳二模 ) 已知一个三棱锥的所有棱长均 为 ， 则该三 棱锥 的 内切球的体积为 ______. 答案 解析 思维升华 解析　 由题意可知，该三棱锥为正四面体，如图所示 . 设内切球的半径为 r ，则 思维升华　 三棱锥 P － ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1) 点 P 可作为长方体上底面的一个顶点，点 A ， B ， C 可作为下底面的三个顶点 . (2) P － ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线 . 跟踪演练 3 　 (1) 若在三棱锥 P － ABC 中， AB ＝ AC ＝ 1 ， AB ⊥ AC ， PA ⊥ 平 面 ABC ，且直线 PA 与平面 PBC 所成角的正切值 为 ， 则三棱锥 P － ABC 的 外 接球的表面积 为 A.4π B.8π C.16π D.32π 答案 解析 √ 解析　 如图，取 BC 的中点 D ，连接 AD ， PD, ∵ AB ＝ AC ， ∴ AD ⊥ BC ，又 ∵ PA ⊥ 平面 ABC ， ∴ BC ⊥ PA ，又 PA ， AD ⊂ 平面 PAD ， PA ∩ AD ＝ A ， ∴ BC ⊥ 平面 PAD ，过 A 作 AH ⊥ PD 于点 H ，易知 AH ⊥ 平面 PBC ， ∴∠ APD 是直线 PA 与平面 PBC 所成的角， ∵ AB ， AC ， AP 相互垂直， ∴ 以 AB ， AC ， AP 为棱的长方体的外接球就是三棱锥 P － ABC 的外接球， (2)(2017 届石家庄质检 ) 四棱锥 P － ABCD 的底面 ABCD 是边长为 6 的正方形，且 PA ＝ PB ＝ PC ＝ PD ，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是 答案 解析 √ 解析　 由题意知，四棱锥 P － ABCD 是正四棱锥，球的球心 O 在四棱锥的高 PH 上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图， 其中 PE ， PF 是斜高， G 为球面与侧面的切点 . 设 PH ＝ h ， 易知 Rt △ PGO ∽ Rt △ PHF ， Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 北京改编 ) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 _____. 答案 解析 1 2 3 4 10 解析　 由三视图画出如图所示的三棱锥 P － ACD ，过点 P 作 PB ⊥ 平面 ACD 于点 B ，连接 BA ， BD ， BC ， 根据三视图可知，底面 ABCD 是矩形， AD ＝ 5 ， CD ＝ 3 ， PB ＝ 4 ， 1 2 3 4 2.(2017· 全国 Ⅱ ) 长方体的长、宽、高分别为 3,2,1 ，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ______. 1 2 3 4 答案 解析 解析　 ∵ 长方体的顶点都在球 O 的球面上， ∴ 长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 . 14π 3.(2017· 全国 Ⅰ ) 已知三棱锥 S — ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径 . 若平面 SCA ⊥ 平面 SCB ， SA ＝ AC ， SB ＝ BC ，三棱锥 S — ABC 的体积为 9 ，则球 O 的表面积为 ________. 36π 答案 解析 1 2 3 4 解析　 如图，连接 OA ， OB . 由 SA ＝ AC ， SB ＝ BC ， SC 为球 O 的直径知 ， OA ⊥ SC ， OB ⊥ SC . 由平面 SCA ⊥ 平面 SCB ，平面 SCA ∩ 平面 SCB ＝ SC ， OA ⊥ SC 知， OA ⊥ 平面 SCB . 设球 O 的半径为 r ， 则 OA ＝ OB ＝ r ， SC ＝ 2 r ， 1 2 3 4 1 2 3 4 答案 解析 解析　 设球 O 的半径为 R ， ∵ 球 O 与圆柱 O 1 O 2 的上、下底面及母线均相切， ∴ 圆柱 O 1 O 2 的高为 2 R ，底面半径为 R . 押题预测 答案 解析 押题依据　 求空间几何体的表面积或体积是 立 体 几何的重要内容之一，也是高考命题的热点 . 此 类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积 . 1 2 3 1. 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为 √ 押题依据 因为 PD ⊥ 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 是正方形， 易得 BC ⊥ PC ， BA ⊥ PA ， 1 2 3 2. 在正三棱锥 S － ABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AM ⊥ SB ，底面边长 AB ＝ 2 ， 则正三棱锥 S － ABC 的外接球的表面积为 A.6π B.12π C.32π D.36π 答案 解析 押题依据　 灵活运用正三棱锥中线与线之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点 . 1 2 3 √ 押题依据 解析　 因为三棱锥 S － ABC 为正三棱锥， 所以 SB ⊥ AC ，又 AM ⊥ SB ， AC ∩ AM ＝ A ， 所以 SB ⊥ 平面 SAC ，所以 SB ⊥ SA ， SB ⊥ SC ，同理 SA ⊥ SC ，即 SA ， SB ， SC 三线两两垂直，且 AB ＝ 2 ， 所以 SA ＝ SB ＝ SC ＝ 2 ， 所以 (2 R ) 2 ＝ 3 × 2 2 ＝ 12 ， 所以球的表面积 S ＝ 4π R 2 ＝ 12π ，故选 B. 1 2 3 答案 解析 押题依据　 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积 . 本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注 . 1 2 3 3. 已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的 体 积 与圆柱的体积的比值为 ______. 押题依据 解析　 如图所示，设圆柱的底面半径为 r ， 1 2 3 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com