内蒙古包头市第四中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题 17页

包头四中2018-2019学年度第二学期期中考试 高二年级数学（理科）试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的乘法运算展开即可．‎ ‎【详解】解： ‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．‎ ‎2.已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3,则点P到另一个焦点的距离为( )‎ A. 3 B. ‎5 ‎C. 7 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件求出a＝6；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．‎ ‎【详解】设所求距离为d，由题得：a＝6．‎ 根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于‎2a得：‎2a＝3+d⇒d＝‎2a﹣3＝9．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．‎ ‎3.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. （0,1） B. （，0） C. （1,0） D. （0，）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线焦点的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】抛物线开口向上，焦点为（0，），‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线焦点坐标的求解，解题的关键是将抛物线的方程写出标准方程，注意开口，属于基础题.‎ ‎4.已知曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入双曲线的渐近线方程，由此求得的值，进而求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线方程为，将点代入双曲线的渐近线方程得，，故，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.‎ ‎5.曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故切线为.‎ 考点：导数与切线．‎ ‎6.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.‎ ‎7.若直线的方向向量为，平面a的法向量为，则可能使的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若，则，因此只需向量数量积为0即可.‎ ‎【详解】A中，所以排除A；B中，所以排除B；‎ C中，所以排除C；D中，所以，能使.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查空间向量的方法判断线面平行，由向数量积为0即可，属于基础题型.‎ ‎8.已知的导函数为，且满足，则（ ）‎ A. -2 B. ‎2 ‎C. -1 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得的值，再由此求得的值.‎ 详解】依题意，故，，所以，，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数值的求法，属于基础题.‎ ‎9.如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆+y2=1有公共点,那么直线l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆方程联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，进而利用根的判别式能求出直线l的斜率k的取值范围 ‎【详解】设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），‎ 联立 ，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，‎ ‎∵过点M（-2，0）的直线l与椭圆有公共点，‎ ‎∴△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）≥0，‎ 整理，得k2≤ 解得 ‎ ‎∴直线l的斜率k的取值范围是 故选D ‎【点睛】直线与椭圆有交点，通常联立方程，得一元二次方程组，将问题转化为一元二次方程组有解.‎ ‎10.若函数在 上是减函数，则 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.‎ 详解：因为在上是减函数，‎ 所以在上恒成立，‎ 即，即，‎ ‎，故选A 点睛：本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式 或恒成立问题求参数范围.‎ ‎11.在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面D1EF的距离,N到面的距离是M到该面距离的一半．‎ ‎【详解】解：以D原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），‎ ‎＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），‎ 设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），‎ 则 ，取x＝1，得＝（1，0，2），‎ ‎∴点M到平面D1EF的距离为：‎ d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为 ，选D．‎ ‎【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，以及数形结合思想．‎ ‎12.若函数在区间内有极大值，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由，‎ ‎∴导数 ，‎ 因为函数在区间内有极大值，‎ ‎∴方程 在在区间内有解，‎ 即：方程在区间内有解，‎ ‎∴在区间内有解，‎ 故 ，‎ 则的取值范围是 .‎ 选C.‎ 点睛：对于涉及函数的极值问题时，往往要使用导数这个解题的工具，在解题时要注意运用等价转化的解题思想，把函数 在区间内有极大值的问题转化为导函数对应的方程在区间内有解的问题，然后再通过分离参数的方法求出参数a的范围.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知抛物线的准线经过椭圆的焦点，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b．‎ ‎【详解】解：依题意可得抛物线的准线为，又因为椭圆焦点为 所以有．即b2＝3故b．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．‎ ‎14.________．‎ ‎【答案】18 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理即可得出答案．‎ ‎【详解】.‎ ‎ ‎ ‎ =18‎ ‎【点睛】本题主要考察微积分基本定理的应用，属于基础题 ‎15.双曲线(，)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为四边形是正方形，所以，所以直线的方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意知，所以，．故答案为2．‎ ‎【考点】双曲线的性质 ‎【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.‎ 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.‎ ‎16.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化条件得有两个不同实数根，令 ‎，通过导数画出函数草图后数形结合即可得解.‎ ‎【详解】函数的定义域为，‎ 函数，‎ 函数有两个不同的零点即为有两个不同实数根，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ ‎，‎ 可画出函数的草图，如图：‎ 由图可知，要使有两个不同实数根，则.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的应用，考查了数形结合思想，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.考生根据要求作答.‎ ‎17.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线AE和平面OBC的所成角.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，通过直线方向向量夹角的余弦值得到异面直线所成角的余弦值.‎ ‎（2）通过直线的方向向量与平面的法向量所成的角计算线面角.‎ ‎【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，‎ ‎（1），，故 ‎，所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）平面的法向量为，，故 ‎，因，故，故与平面所成的角为.‎ ‎【点睛】立体几何中空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.注意求线面角 时，直线的方向向量与平面的法向量的夹角的关系是.‎ ‎18.已知焦点为的抛物线：过点，且.‎ ‎（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用抛物线的定义，结合抛物线：过点，且.‎ 列出方程组，即可求出；‎ ‎（2）由得所以斜率为，进而求得直线方程为得，由此可求的面积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得 ，；‎ ‎（2）由得所以斜率为 直线方程为得，所以的面积是.‎ ‎19.已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求在上的单调区间；‎ ‎（2）求在上的最大值.‎ ‎【答案】（1）增区间为，；减区间为.（2）13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得，由题意得，，解方程组即可得解；‎ ‎（2）求出函数在的极值和端点值，比较即可得解.‎ ‎【详解】（1）函数的导数为，‎ 曲线在点处的切线斜率为，‎ 切点为，‎ 由切线方程为，可得，，‎ 解得，.‎ 函数的导数，‎ 由，可得或；由，可得.‎ 则的增区间为，；减区间为.‎ ‎（2）由（1）可得的两极值点分别为-2，，‎ ‎，，‎ 又， .‎ 故在上的最大值为13.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的最值，属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴，离心率，短轴长为4，（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，求AB的中点坐标及其弦长|AB|．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）AB的中点为，‎ ‎【解析】‎ 解：（1），………2分 设 ‎………5分 ‎………6分 ‎(2)椭圆的右焦点为（1，0），设A() B()‎ 解得………9分 设AB中点坐标为，则 所以AB的中点为………11分 法一：……13分 法二：‎ ‎21.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且，，， ，点，，分别为、、的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后即可得，，由即可得证；‎ ‎（2）分别求出平面、平面的一个法向量后，根据即可得解.‎ ‎【详解】（1）在直角中，∵，，∴，‎ ‎∵棱柱的侧棱与底面垂直，且，‎ 以点为原点，以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）依题意得，，，，，，，‎ ‎∴，，，，‎ 设平面的一个法向量为， ‎ 由得，令得，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由得，令得，‎ 故二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，且时有极大值.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若为的导函数，不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（注：）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据在时f(x)有极大值得或，再检验舍去，即得函数f(x)的解析式；（Ⅱ）原命题等价于，记，证明，原命题等价于等价于，记，求出k的最大值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，因为在时f(x)有极大值，‎ 所以，从而得或， ‎ 时，，此时，当时，，当时，‎ ‎，∴在时f(x)有极小值，不合题意，舍去； ‎ 时，，此时，符合题意．‎ ‎∴所求 . ‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，所以等价于等价于 ‎，即， ‎ 记，则,‎ 由，得x＞k+1，所以在(0,k+1)上单调递减，在(k+1,+∞)上单调递增，‎ 所以，‎ 对任意正实数恒成立，等价于，‎ 即， ‎ 记因为在(0,+∞)上单调递减，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故k的最大值为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎