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- 2021-06-10 发布
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2019高二年级期末考试
数学试卷（理科）
时量：120分钟 总分：150分 命题人：
班级__________ 姓名___________ 考号___________
一．选择题 （每小题5分，共60分）
1．已知复数，则“”是“为纯虚数”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
2．已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3．已知，如果，，则( )
A. B. C. D.
4．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（ ）
A. B. C. D.
5．命题， ，命题，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）.
A. B. C. D.
6．已知若三个向量共面，则实数（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．5
7．学校艺术节对同一类的
15
四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是：（ ）
A. B. C. D.
8.若函数f（x）=，则是（ ）
A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数
C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数
9．直三棱柱中， ， ，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为，则等于( )
A. B. C. D.
11．已知函数f（x）=，给出下列结论：
①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间；
②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点；
③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
15
12．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题 （每小题5分，共20分）
13．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则_____
14．由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积是__________．
15．点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为__________．
16．已知函数满足，且的导函数，则的解集为_____________
三．解答题 （ 17题10分，18题至22题每小题12分，共 70分）
17．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）， 恒成立，求实数的取值范围.
15
18．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．
（1）试用表示方盒的容积，并写出的范围；
（2）求方盒容积的最大值及相应的值．
19．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程为
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.
(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.
20．如图在棱锥中， 为矩形， 面， ， 与面成角， 与面成角.
（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；
（2）当为中点时，求二面角的余弦值.
15
21.已知椭圆经过点，离心率。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，0为坐标原点，求的面积的最大值。
22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a为实常数）．
（1）若a=﹣2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．
15
2019高二年级期末考试
数学试卷参考答案
一选择题。
1．已知复数，则“”是“为纯虚数”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
【答案】D
2．已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】C
3．已知，如果，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
4．用数学归纳法证明等式，当时，等式左端应在的基础上加上（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．命题， ，命题，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
6．已知若三个向量共面，则实数（ ）
15
A．-1 B．0 C．1 D．5
【答案】D
7．学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说:“是或作品获得一等奖”;
乙说:“作品获得一等奖”;
丙说:“两项作品未获得一等奖”;
丁说:“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是
A. B. C. D.
【答案】B
8．若函数f（x）=，则是（ ）
A．仅有最小值的奇函数 B．仅有最大值的偶函数
C．既有最大值又有最小值的偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】C
9．直三棱柱中， ， ，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
10．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
15
11．已知函数f（x）=，给出下列结论：
①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间；
②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点；
③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
12．如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
二.填空题
13．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则_____【答案】
14．由函数，的图象及两坐标轴围成的图形（如图中的阴影部分）的面积是__________．
15
【答案】
15．点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为__________．
【答案】2
16．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
【答案】
三．解答题
17．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）， 恒成立，求实数的取值范围.
【答案】 (1) f(x)= ,当x<-1时，解得x<-6;
当时，解得；
当x>2时，x>2.
综上：x。 ……………………5分
（2）由（1）f（x）最小值为f(-1)=-3,即： 解得
……………………10分
15
18．如图，有一边长为6的正方形铁片，在铁片的四角各截去一个边长为的小正方形后，沿图中虚线部分折起，做成一个无盖方盒．
（1）试用表示方盒的容积，并写出的范围；
（2）求方盒容积的最大值及相应的值．
【答案】（1），；（2）方盒容积的最大值为16，相应的值为1.
试题解析：
（1）由题意，无盖方盒底面是边长为的正方形，高为，从而有：
其中，满足：， ……………………6分
（2）由（1）知：，
若，则；若，则
在上单调递增，在上单调递减
在处取得极大值，也是最大值
故方盒容积的最大值为16，相应的值为1。……………………12分
19．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲 线C2的极坐标方程为
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.
(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P坐标.
【答案】(1) (2) ，
15
试题解析：
(1) 对于曲线有
，即的方程为： ；
对于曲线有
，所以的方程为. ……………………6分
(2) 显然椭圆与直线无公共点，椭圆上点到直线的距离为： ，
当时， 取最小值为，此时点的坐标为.…………12分
20．如图在棱锥中， 为矩形， 面， ， 与面成角， 与面成角.
（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；
（2）当为中点时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：
15
（1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在点E为PC中点
法二：建立如图所示的空间直角坐标系D－XYZ，
由题意知PD＝CD＝1，，
设， ，
,
由，得，
即存在点E为PC中点。 ……………………6分
（2）由（Ⅰ）知， ， ，
， ， ，
设面ADE的法向量为，面PAE的法向量为
由的法向量为得， 得
同理求得 所以
故所求二面角P－AE－D的余弦值为. ……………………12分
15
21．已知椭圆经过点，离心率。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值。
试题解析：
（Ⅰ）由点在椭圆上得， ①
②
由①②得，故椭圆的标准方程为………………4分
……………………12分
22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx（a为实常数）．
（1）若a=﹣2，求曲线 y=f（x）在x=1处的切线方程；
15
（2）讨论函数f（x）在[1，e]上的单调性；
（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）y﹣1=0；
（2）见解析；
（3）a≥﹣1
解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，∴f′（x）=2x﹣2•，
∴f′（1）=0，又f（1）=1，∴，所求切线方程为y﹣1=0；……………………2分
（2）求导数可得，x∈[1，e]，
当即a≤2时，x∈[1，e]，f′（x）≥0，此时，f（x）在[1，e]上单调增；
当即2＜a＜2e时，时，f′（x）＜0，f（x）上单调减；
时，f′（x）＞0，f（x）在上单调增；
当即a≥2e时，x∈[1，e]，f′（x）≤0，此时，f（x）在[1，e]上单调减；…7分
（3）当a≤2时，∵f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）的最小值为f（1）=﹣a﹣1，∴﹣1≤a≤2
当2＜a＜2e时，f（x）在上单调减，在上单调增，
∴f（x）的最小值为，
∵，
∴，∴2＜a＜2e
当a≥2e时，f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）的最小值为f（e）=e2﹣（a+2）e+a，
∵，∴f（e）＜0，∴a≥2e
15
综上可得a≥﹣1． ……………………12分
15
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