高中数学人教a版选修4-1配套课件：2_3 圆的切线的性质及判定定理 28页

第 3 课时　圆的切线的性质及判定定理 【 课标要求 】 1 ． 理 解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题． 2 ．能归纳并正确表述由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理． 【 核心扫描 】 1 ． 圆的 切线的判定定理、性质定理的理解． ( 重点 ) 2 ． 用 切线的判定定理、性质定理解决问题． ( 难点 ) 自学导引 1 ． 圆的切线的性质定理及推论 (1) 定理 ：圆的切线垂直于经过切点的 ． (2) 推论 1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ． (3) 推论 2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过 ． 半径 切点 圆心 推敲引申 ： (1) 本定理及其两个推 论可以用一个定理叙述出来，即： 如果圆的一条直线满足以下三个 条件中的任意两条，那么就一定 满足第三条．它们是： ① 垂直于切线； ② 过切点； ③ 过圆心． (2) 本定理题设为：一条直线既过圆心又过切点，结论为：这条直线与圆的切线垂直．如图所示，若直线 l 切 ⊙ O 于 A ，直线 l ′ 经过点 O 、 A ，则直线 l ′ ⊥ l . 2 ．圆的切线的判定定理 (1) 判定定理：经过半径的外端并且垂直于 的直线是圆的切线． (2) 圆的切线的判断方法 这条半径 判断方法 语言描述 ① 定义法 和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线 ② 数量关系法 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 ③ 切线的判定定理 过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 推敲引申 ： (1) 圆的切线的判定定理还可表述为：如果一条直线经过圆的一条半径的外端点，并且垂直于这条半径，那么这条直线就是这个圆的切线． (2) 判断一条直线是否是切线的三种方法中： ②③ 是由 ① 推出的； ② 是用数量关系来判断； ③ 是用位置关系来判断． 名师点睛 1 ． 直线 与圆的位置关系的性质和判定 如果 ⊙ O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，那么 (1) 直线 l 和 ⊙ O 相交 ⇔ d < r ( 如图 (1) 所示 ) ； (2) 直线 l 和 ⊙ O 相切 ⇔ d ＝ r ( 如图 (2) 所示 ) ； (3) 直线 l 和 ⊙ O 相离 ⇔ d > r ( 如图 (3) 所示 ) ． 说明： (1) 命 题左边反映的是两个图形 ( 直线和圆 ) 的位置关系，右边反映的是两个数量的大小关系． (2) 对于两个图形 ( 直线 l 和⊙ O ) 的位置关系，或两个数 ( d 和 r ) 的大小关系，有且仅有一种情况是成立的． (3) 从左端推出右端是直线和圆的位置关系的性质，从右端推出左端是直线和圆的位置关系的判定． 2 ．圆的切线的性质与判定的综合运用 在解决有关圆的切线问题 ( 无论是计算还是证明 ) 时，通常需要添加辅助线．一般地，添加辅助线有以下规律： (1) 已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线． (2) 要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为 “ 连半径，证垂直 ” ；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为 “ 作垂直，证半径 ” ． 题型一　圆的切线的判断 【 例 1】 如 图所示，在 △ ABC 中， 已知 AB ＝ AC ，以 AB 为直径的 ⊙ O 交 BC 于点 D ， DE ⊥ AC 于 点 E . 求证： DE 是 ⊙ O 的切线． [ 思维启迪 ] 利用圆的切线的判定定理进行切线的证明，关键是找出定理的两个条件： ① 过半径的外端； ② 该直线与某一条半径所在的直线垂直． 证明　 连 接 OD 和 AD ，如图所示 ． ∵ AB 是 ⊙ O 的直径， ∴ AD ⊥ BC . ∵ AB ＝ AC ， ∴ BD ＝ CD . ∵ AO ＝ OB ， ∴ OD ∥ AC . ∵ DE ⊥ AC ， ∴ DE ⊥ OD ， ∴ DE 是 ⊙ O 的切线． 反思感悟　 判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法 ① 如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”； ② 若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径” ． 【 变式 1】 如 图所示，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ C ＝ 90° ，且 AD ＋ BC ＝ AB ， AB 为 ⊙ O 的直径． 求证： ⊙ O 与 CD 相切． 题型二　圆的切线性质定理的应用 【 例 2】 如图 所示， OA 和 OB 是 ⊙ O 的半径，并且 OA ⊥ OB ， P 是 OA 上任意一点， BP 的延长线交 ⊙ O 于 Q ， 过 Q 作 ⊙ O 的切线交 OA 的延长线于 R ， 求证： RP ＝ RQ . [ 思维启迪 ] 已知 QR 是 ⊙ O 的切线，可利用切线的性质定理，即 OQ ⊥ RQ . 另外，要证 RP ＝ RQ ，只要证 ∠ RPQ ＝ ∠ RQP 即可，只要证 ∠ BPO ＝ ∠ PQR 即可，再结合 OQ ⊥ RQ . 证明　 连 接 OQ . 因为 QR 是⊙ O 的切线，所以 OQ ⊥ QR . 因为 OB ＝ OQ ，所以∠ B ＝∠ OQB . 因为 BO ⊥ OA ， 所以 ∠ BPO ＝ 90° － ∠ B ＝ ∠ RPQ ， ∠ PQR ＝ 90° － ∠ OQP . 所以 ∠ RPQ ＝ ∠ PQR . 所以 RP ＝ RQ . 反思感悟　 题目中若有圆的切线，首先可以连接圆心和切点，出现垂直关系． 【 变式 2】 如图 所示，在 ⊙ O 中， AB 是 ⊙ O 的直径， AD 是弦，过点 B 的切线与 AD 的延长线交于点 C ，且 AD ＝ DC ，求 ∠ ABD 的度数． 解　 ∵ BC 是 ⊙ O 的切线， ∴ AB ⊥ BC . ∴△ ABC 是直角三角形． ∵ CD ＝ AD ， ∴ BD ＝ AD . ∵ AB 是 ⊙ O 的 直径， ∴ AD ⊥ BD . ∴△ ABD 是等腰直角三角形． ∴∠ ABD ＝ 45°. 反思感悟　 (1) 用切线的性质定理求解线段的长度时，应注意的问题 ①观察图形，作辅助线； ②利用相关知识，如圆周角定理、圆的切线性质定理、判定定理等． (2) 在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解时，如果已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的方法． 方法技巧　圆内接四边形与圆的切线综合的求解策略 【 示例 1】 如 图所示，已知 AP 是 ⊙ O 的切线， P 为切点， AC 是 ⊙ O 的割线，与 ⊙ O 交于 B 、 C 两点，圆心 O 在 ∠ PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点． (1) 证明： A 、 P 、 O 、 M 四点共圆； (2) 求 ∠ OAM ＋ ∠ APM 的大小． (1) 证明　 连 接 OP ， OM ， 因为 AP 与 ⊙ O 相切于点 P ，所以 OP ⊥ AP . 因为 M 是 ⊙ O 的弦 BC 的中点，所以 OM ⊥ BC . 于是 ∠ OPA ＋ ∠ OMA ＝ 180° ， 由圆心 O 在 ∠ PAC 的内部， 可知四边形 APOM 的对角互补， 所以 A ， P ， O ， M 四点共圆． (2) 解　 由 (1) 得， A ， P ， O ， M 四点共圆， 所以 ∠ OAM ＝ ∠ OPM . 由 (1) 得 OP ⊥ AP . 由圆心 O 在 ∠ PAC 的内部， 可知 ∠ OPM ＋ ∠ APM ＝ 90° ， 所以 ∠ OAM ＋ ∠ APM ＝ 90°. 单击此处进入 知能达标演练 单击此处进入 课后习题解答