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- 2021-06-10 发布
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1
2.1.1
离散型随机变量
高二数学 选修
2-3
2
复习引入：
1
、什么是随机事件？什么是基本事件？
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。
2
、什么是随机试验？
凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。
如果试验具有下述特点：
试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现
哪一个结果。它被称为一个
随机试验
。简称
试验
。
3
思考
1
：
掷一枚骰子，出现的点数可以用数字
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
正面向上
1
反面向上
0
又如：一位篮球运动员
3
次投罚球的得分结果可以用数字表示吗？
问：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？
本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。
4
1
、随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。常用 字母 表示。
问题：
1
、对于掷骰子试验，可以定义不同的随机变量来表示这个试验结果吗？
2
、在掷骰子试验中，如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数，应如何定义随机变量？
Y=
0,
掷出奇数点
1,
掷出偶数点
附
:
随机变量
ξ
或
η
的特点：
(1)
可以用数表示；
(2)
试验之前可以判断其可能出现的所有值
;(3)
在试验之前不可能确定取何值。
5
思考
2
：
随机变量与函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。
例如，在含有
10
件次品的
100
件产品中，任意抽取
4
件，可能含有的次品件数
X
将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量。其值域是
{0,1,2,3,4}.
6
另外注意，如，瓶中有
8
个红球，
4
个白球，从中摸
2
个球，若摸到红球得
2
分，摸到白球不得分，则摸到红球的个数 是一个随机变量，最后的得分 也是一个随机变量，且 ，可见 也为随机变量。
利用随机变量可以表达一些事件。
你能说出
{X<3}
在这里表示什么事件吗？“抽出
3
件以上次品”又如何用
X
表示呢？
例如
{X=0}
表示“抽出件次品”；
{X=4}
表示“抽出
4
件次品”；
7
2
、离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为
离散型随机变量。
如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做
连续型随机变量
.
思考
3
：
（
1
）电灯泡的寿命
X
是离散型随机变量吗？
（
2
）如果规定寿命在
1500
小时以上的灯泡为一等品，寿命在
1000
到
1500
小时之间的为二等品，寿命在
1000
小时以下的为不合格品。如果我们关心灯泡是否为合格品，应如何定义随机变量？如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，又如何定义随机变量？
8
例
1
、
(1)
某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为 ；
(2)
某网站中歌曲
《
爱我中华
》
一天内被点击的次数为 ；
(3)
一天内的温度为 ；
(4)
射手对目标进行射击，击中目标得
1
分，未击中目标得
0
分，用 表示该射手在一次射击中的得分。上述问题中的 是离散型随机变量的是（ ）
A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4) C.(1)(3)(4) D.(2)(3)(4)
例
2
、写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
（
1
）一个袋中装有
2
个白球和
5
个黑球，从中任取
3
个，其中所含白球的个数 ；
（
2
）一个袋中装有
5
个同样大小的球，编号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，现从中随机取出
3
个球，被取出的球的最大号码数 。
9
课堂练习：
1
、把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得
5
分，出现两个反面得
-3
分，其他结果得
0
分，用
X
表示得分的分值，列表写出可能出现的结果与对应的
X
值。
2
、写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：
（
1
）从一个装有编号为
1
号到
10
号的
10
个球的袋中，任取
1
球，被取出的球的编号为
X
；
（
2
）一个袋中装有
10
个红球，
5
个白球，从中任取个
4
球，其中所含红球的个数为
X
；
（
3
）投掷两枚骰子，所得点数之和为
X
，所得点数之和是偶数为
Y
。
10
例
3
、小王参加一次比赛，比赛公设三关，第一、第二关各有两个必答题，如果每关两个题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功。每过一关可一次性获得价值分别为
1000
元，
3000
元，
6000
元（不得重复
得奖），小王对三关中的问题回答正确的概率依次为
且每个问题回答正确与否相互独立，用 表示小王所获奖品的
价值，写出 的所有可能取值。
11
例
4
、某城市出租车的起步价为
10
元，行驶路程不超过
4km
则按
10
元的标准收费。若行使路程超过
4km
，则按每超出
1km
加收
2
元计费（超出不足
1km
的部分按
1km
计）。从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为
15km
。某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程收费（这个城市规定：每停车
5
分钟按
1km
路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程 （依题意取整数）是一个随机变量，他所收的费用也是一个随机变量。
（
1
）求费用 关于行车路程 的关系式；
（
2
）已知某旅客实付车费
38
元，问出租车在途中因故停车累
计最多几分钟？
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