【数学】2019届一轮复习人教A版数列学科素养与能力突破学案 10页

专题6 数列 学 思想 训练题组 分类讨论思想 若等比数列的公比的值不确定，求其前项和时，要分和两种情况讨论；由前项和公式求通项时，应分和两种情况求解．这些都是分类讨论思想在本章的运用．‎ 例 设等比数列的公比为，前项和．学 ]‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设，记的前项和为，试比较与的大小．‎ ‎【思路分析】‎ ‎（1）利用列不等式可求的取值范围；‎ ‎1．已知数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则数列{an}的通项公式为（　　）‎ A．an＝2n＋1 ‎ B．an＝ C．an＝2n ‎ D．an＝2n＋2‎ ‎2．设函数f（x）＝＋sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}，{xn}的前n项和为Sn，则sinSn不可能取的值是（　　）‎ A．0 B． ‎ C．– D． ‎3． 已知数列{an}的通项公式是an＝2·3n–1＋（–1）n·‎ ‎（ln 2–ln 3）＋（–1）nnln 3，求其前n项和Sn．‎ ‎（2）由递推公式构造与的关系式，作差，按的取值范围分类讨论．‎ ‎【点评】在求解数列问题时，注意对n=1的验证，数列的增减性，公比的取值都是需要注意的问题．‎ ‎4．若公比为的等比数列的首项，且满足．‎ ‎（1）求的值； 学 ‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎ 学 ]‎ 数形结合思想 例 已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）都在二次函数y=f（x ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若=a2+a2017，且A，B，C三点共线（该直线不过原点 ‎）的图象上（如图）．已知函数y=f（x）的图象的对称轴方程是x=．若点（n，an）在函数y=g（x）的图象上，则函数y=g（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【思路分析】设公差不为零的等差数列{an}的通项an=an+b（a≠0）可得g（x）=ax+b，Sn ═ n2+（b+）n，即f（x）=x2+（b+）x，结合图象可得a＜0，﹣=．化简可得a＜0，b=﹣2a＞0，且经过定点（2，0），由此可得直线g（x）=ax+b 在坐标系中的位置．‎ ‎【解析】设公差不为零的等差数列{an}的通项an=an+b（a≠0），则 y=g（x）=ax+b，‎ Sn ==n2+（b+）n．‎ 再由点（n，Sn）都在二次函数y=f（x）的图象上可得 f（x）= x2+（b+）x．‎ 结合图象可得a＜0，﹣=．‎ O），则S2018的值为（　　）‎ A．1 007 B．2 018 C．1 009 D．2 007‎ ‎6．数列an =，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（　　）‎ A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9‎ ‎7．如图，抛物线y=上的点与x轴上的点构成等边三角形OP1Q1，O1P2Q2，…Qn﹣1PnQn，…其中点Pn在抛物线上，点Qn的坐为（xn，0），猜测数列{xn}的通项公式为___________．‎ ‎8．已知数列{an}（n=1，2，3，…，2016），圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y=0，圆C2：x2+y2﹣2anx﹣2a2017﹣ny=0，若圆C2平分圆C1的周长，则数列{an}的所有项的和为___________．‎ 化简可得 a＜0，b=﹣2a＞0，‎ 即直线g（x）=ax+b=ax﹣2a，它的斜率小于0，在y轴上的截距大于0，且经过定点（2，0），故选B．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列与一次函数的关系，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，体现了数形结合的数学思想．‎ 整体的思想 数列的运算往往比较繁杂，所以在解决某些数列问题时，往往把某一局部结构看成一个整体，进行整体运算．这样可以起到减少变量，简化结构，从而简化运算的作用．‎ 例 在等比数列中，已知，，求．‎ ‎【思路分析】‎ ‎【解析】方法一：∵，‎ ‎∴．‎ 由已知，得 ‎②÷①，得，‎ 即．③‎ ‎③代入①，得，‎ ‎∴．‎ ‎9．在各项均为正数的等比数列{an}中，若=9，则（ ）‎ A．12 B．10 ‎ C．8 D．2+log35 ‎ ‎10．某等差数列的前四项之和为，最后四项之和为，且所有项的和为，则此数列共有（　　）‎ A．项 B．项 C．项 D．项 ‎11．（2018•凉山州模拟）已知各项为正的等比数列{an}中，a2a3=16，则数列{log2an}的前四项和等于___________．‎ ‎12．在等比数列中，a3•a4•a5=3，a6•a7•a8=24，求a9•a10•a11=___________．‎ 方法二：∵为等比数列．‎ ‎∴，，也成等比数列．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】把已知条件或要求的结论作为一个整体，直接代入或组合后代入所求的结论．‎ 函数方程思想 数列是特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域，因此在研究数列时，常借助函数的思想来分析，如本章中等差数列的单调性同一次函数单调性的关系，等比数列的有关性质同指数函数性质间的关系等等．‎ 例 已知函数f （x） 的部分对应值如表所示．数列{an}满足a1=1，且对任意n∈N ，点（an，an+1）都在函数f（x）的图象上，则a2019的值为（　　）‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎3 学 ]‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ ‎【思路分析】an+1=f（an），a1=1．可得：an+3=an．即可得出．‎ ‎【点评】本题考查了数列的递推关系、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎13．数列{an}的通项an＝，则数列{an}中的最大项是（　　）‎ A．3 B．19 C． D． ‎14．等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式x2+（a1﹣）x+c≥0的解集为[0，22]，则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是__________．‎ ‎15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{an}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于__________．‎ ‎16．已知是一次函数，且成等比数列，如果，求的表达式．‎ ‎1．【答案】B 学 ]‎ ‎【解析】由题意可知，数列{an}满足条件a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则a1＋a2＋a3＋…＋an–1＝2（n–1）＋5，n>1，两式相减可得，＝2n＋5–2（n–1）–5＝2，∴an＝2n＋1，n>1，n∈N ．当n＝1时，＝7，∴a1＝14，综上可知，数列{an}的通项公式为：，故选B．‎ ‎2．【答案】B ‎3．【解析】Sn＝2（1＋3＋…＋3n–1）＋[–1＋1–1＋…＋（–1）n]·（ln 2–ln 3）＋[–1＋2–3＋…＋‎ ‎（–1）nn]ln 3，‎ 所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3–1； 学 …… ‎ 当n为奇数时，Sn＝2×–（ln 2–ln 3）＋（–n）ln 3＝3n–ln 3–ln 2–1．‎ 综上所述，Sn＝ ‎4．【解析】（1）由题设，当时，，，则．‎ 由题设条件可得，因此，即，解得或．‎ ‎（2）由（1）知，需要分两种情况讨论．‎ 当时，数列是一个常数列，即．‎ 这时，数列的前项和．‎ 当时，数列是一个公比为的等比数列，即．‎ 这时，数列的前项和为：．①‎ ‎①式两边同乘，得：‎ ‎．‎ 所以．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】∵A、B、C三点共线，∴a2+a2017=1，∴a1+a2018=1，∴S2018=（a1+a2018）=1009，故选C．‎ ‎6．【答案】B ‎7．【答案】xn= 学, , ]‎ ‎【解析】OP1的方程为y=x，代入抛物线y=可得P1（，），|OQ1|=．‎ 同理可得P2（，），P3（3，），|Q1Q2|=，|Q2Q3|=，‎ 可猜测|Qn﹣1Qn|=，∴xn﹣xn﹣1=，‎ ‎∴xn﹣x1=+…+，∴xn=（1+2+…+n）=．‎ ‎8．【答案】4032‎ ‎【解析】设圆C1与圆C2交于A，B，则直线AB的方程为：‎ x2+y2﹣4x﹣4y﹣（x2+y2﹣2anx﹣2a2017﹣ny）=0，‎ 化简得：（an﹣2）x+（a2017﹣n﹣2）y=0，‎ ‎∵圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y=0的标准方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，‎ ‎∴圆心C1：（2，2）．又圆C2平分圆C1的周长，则直线AB过C1：（2，2）．，‎ 代入AB的方程得：2（an﹣2）+2（a2017﹣n﹣2）=0，即an+a2017﹣n=4，‎ ‎∴{an}的所有项的和为a1+a2+…+a2017=（a1+a2016）+（a2+a2015）+…+（a1008+a1009）=1008×4=4032．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】∵，故应选B．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】根据题意，得故∴，∴．故选C．‎ ‎14．【答案】11‎ ‎【解析】∵关于x的不等式++c≥0的解集为[0，22]，‎ ‎∴22=，且＜0，即＞0，则a11=a1+10d＞0，a12=a1+11d＜0，故使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是11．故答案为：11． 学 ‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由f（x）=，f（﹣x）=，可知f（x）+f（﹣x）=1，‎ ‎∵正项等比数列{an}满足a50=1，‎ 根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，‎ ‎∴lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，lna50=ln1=0且f（lna50）=f（ln1）=f（0）=，‎ 根据f（x）+f（﹣x）=1得 f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）‎ ‎=[f（lna1）+f（lna99）]+[f（lna2）+f（lna98）]+…+[f（lna49）+f（lna51）]+f（lna50）=49+=．‎ 故答案是．‎ ‎16．【解析】由是一次函数，可设，‎