2020届二轮复习直接证明与间接证明课时作业（全国通用） 7页

直接证明与间接证明 ‎1．理解综合法和分析法的概念及区别，能熟练地运用它们证题．‎ ‎2．理解反证法的概念，掌握反证法的证题步骤．‎ ‎ 知识梳理 ‎1．综合法 一般地，利用　已知条件和某些数学定义、定理、公理等　，经过一系列的　推理论证　，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．‎ 综合法是由已知推导出未知的证明方法，又叫顺推证法或由因导果法．可用框图表示为：‎ →→…→ 其中，P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论．‎ ‎2．分析法 从要　证明的结论　出发，逐步寻求使它成立的　充分条件　，直至最后，要把证明的结论归结为　判定一个明显成立的条件　(已知条件、定义、定理、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．‎ 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：‎ ‎ →→→…→ ‎3．反证法 一般地，假设　原命题的结论不成立　，经过　正确的推理　，最后得出　矛盾　，因此说明　假设错误　，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．‎ ‎ 热身练习 ‎1．下面的两个不等式：‎ ‎①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；‎ ‎②＋2<2＋.‎ 其中恒成立的有(C)‎ A．只有① B．只有② ‎ C．①和② D．①和②都不成立 ‎　 ①成立．‎ 用综合法证明：a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加除2即得；‎ ‎②成立．用分析法证明：要证＋2<2＋，‎ 只需证(＋2)2<(2＋)2，‎ 即证11＋4<11＋4，‎ 即证<，‎ 即证6<7，而6<7成立，所以原不等式成立．‎ 故选C.‎ ‎2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(D)‎ A．2ab－1－a2b2≤0‎ B．a2＋b2－1－≤0‎ C.－1－a2b2≤0‎ D．(a2－1)(b2－1)≥0‎ ‎　 用分析法证明不等式，每一步都是寻找结论成立的充分条件(当然也可是充要条件)，上述A，B，C都是结论成立的必要条件，不是充分条件，D是充要条件．故选D.‎ ‎3．如果a>0，b>0，则有(B)‎ A.>2b－a B.≥2b－a C.<2b－a D.≤2b－a ‎　 要比较与2b－a的大小，因为a>0，即比较b2与2ab－a2的大小，因为a2＋b2≥2ab，所以b2≥2ab－a2，‎ 从而≥2b－a.‎ ‎4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的反设是(A)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 ‎ C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 ‎　 “方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根” ⇔ “方程x3＋ax＋b ‎＝0的实根个数大于或等于1”，因此，要作的反设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．‎ ‎5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f(x)＝0的根的情况为(A)‎ A．至多有一个实根 B．至少有一个实根 C．有且只有一个实根 D．无实根 ‎　 假设方程有两个实根x1，x2，不妨设x1f(x2)，矛盾，故假设不成立，所以方程至多有一个实根．‎ ‎ 综合法 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C 成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．‎ ‎ 由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①‎ 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②‎ 由①②，得B＝.‎ 由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，③‎ 由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.‎ 再由③，得a2＋c2－ac＝ac.‎ 即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.‎ 所以A＝B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．‎ ‎ 综合法又叫顺推法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法．‎ ‎1．(2018·山东聊城模拟)当定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件时，称f(x)为“友谊函数”：‎ ‎(1)对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；‎ ‎(2)f(1)＝1；‎ ‎(3)若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．‎ 则下列判断正确的是　①②③　.(填序号)‎ ‎①若f(x)为“友谊函数”，则f(0)＝0；‎ ‎②函数g(x)＝x在区间[0,1]上是“友谊函数”；‎ ‎③若f(x)为“友谊函数”，且0≤x1b>e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba>ab.‎ ‎ 因为ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，‎ 只需证aln b>bln a，‎ 只需证>.‎ 记f(x)＝，‎ 因为f′(x)＝，‎ 所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上是单调递减函数，‎ 所以a>b>e时，有f(b)>f(a)，即>.‎ 故原不等式成立．‎ ‎ 反证法 设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎ (1)设{an}的前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1，①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②‎ ‎①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ 所以Sn＝.‎ 所以Sn＝ ‎(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，‎ ‎(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，‎ a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，‎ 因为a1≠0，所以2qk＝qk－1＋qk＋1，‎ 又q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1.这与已知矛盾．‎ 故假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．‎ ‎ (1)当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型的命题时，常用反证法．‎ ‎(2)用反证法的一般步骤：‎ ‎①反设—— 否定结论；②归谬——推导矛盾；②结论——结论成立．‎ ‎3．已知数列{an}的前n项的和为Sn，且满足an＋Sn＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．‎ ‎ (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，所以a1＝1，‎ 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，‎ 两式相减，得an＋1＝an，‎ 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以an＝.‎ ‎(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p