【数学】2019届一轮复习人教A版理第4章第3节　平面向量的数量积与平面向量应用举例教案 10页

第三节 平面向量的数量积与平面向量应 用举例 [考纲传真] (教师用书独具)1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个 平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量 方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． (对应学生用书第 73 页) [基础知识填充] 1．向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA→ ＝a，OB→ ＝b，则∠AOB 就是向量 a 与 b 的 夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b 投影 |a|cos θ叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cos θ叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何 意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ a·b |a||b| cos θ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的 关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21· x22＋y22 [知识拓展] 两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向 量．( ) (2)由 a·b＝0，可得 a＝0 或 b＝0.( ) (3)向量 a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.( ) (4)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角．( ) (5)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( ) [答案](1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA→＝ 1 2 ， 3 2 ，BC→＝ 3 2 ，1 2 ，则∠ABC＝( ) A．30° B．45° C．60° D．120° A [因为BA→＝ 1 2 ， 3 2 ，BC→ ＝ 3 2 ，1 2 ，所以BA→·BC→ ＝ 3 4 ＋ 3 4 ＝ 3 2 .又因为 BA→ · BC→ ＝ | BA→ || BC→ |cos∠ABC ＝ 1×1×cos∠ABC ， 所 以 cos∠ABC ＝ 3 2 . 又 0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选 A.] 3．向量 a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 C [法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴a2＝2，a·b＝－3， 从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选 C.] 4．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为________． －2 [由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－ 2.] 5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量 a＋b 与 a 垂直， 则 m＝________. 7 [∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又 a＋b 与 a 垂直，∴(a＋b)·a＝0， 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得 m＝7.] (对应学生用书第 74 页) 平面向量数量积的运算 (1)(2017·南宁二次适应性测试)线段 AD，BE 分别是边长为 2 的等边三 角形 ABC 在边 BC，AC 边上的高，则AD→ ·BE→＝( ) A．－3 2 B．3 2 C．－3 3 2 D．3 3 2 (2)(2017·北京高考)已知点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，点 A 的坐标为(－2,0)，O 为 原点，则AO→ ·AP→的最大值为________. 【导学号：97190156】 (1)A (2)6 [(1)由等边三角形的性质得|AD→ |＝|BE→|＝ 3，〈AD→ ，BE→〉＝120°， 所以AD→ ·BE→＝|AD→ ||BE→|cos〈AD→ ，BE→〉＝ 3× 3× －1 2 ＝－3 2 ，故选 A. (2)法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)． 由点 P 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 Q，则点 Q 的坐标为(x,0)． AO→ ·AP→＝|AO→ ||AP→|cos θ， |AO→ |＝2，|AP→|＝ x＋22＋y2， cos θ＝AQ AP ＝ x＋2 x＋22＋y2 ， 所以AO→ ·AP→＝2(x＋2)＝2x＋4. 点 P 在圆 x2＋y2＝1 上，所以 x∈[－1,1]． 所以AO→ ·AP→的最大值为 2＋4＝6. 法二：如图所示，因为点 P 在圆 x2＋y2＝1 上， 所以可设 P(cos α，sin α)(0≤α<2π)， 所以AO→ ＝(2,0)，AP→＝(cos α＋2，sin α)， AO→ ·AP→＝2cos α＋4≤2＋4＝6， 当且仅当 cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．] [规律方法] 向量数量积的两种计算方法 1当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos θ. 2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝x1，y1，b＝x2，y2，则 a·b＝x1x2＋y1y2. 易错警示：1要有“基底”意识，关键是用基向量表示题目中所求相关向量. 2注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形. [跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))已知 a＝(2,1)，b＝(－1,1)，则 a 在 b 方 向上的投影为( ) A．－ 2 2 B． 2 2 C．－ 5 5 D． 5 5 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则DE→ ·CB→的值为 ________；DE→ ·DC→ 的最大值为________． (1)A (2)1 1 [由题意，得|b|＝ 2，a·b＝－1，所以 a 在 b 方向上的投影 为|a|cos θ＝a·b |b| ＝－ 2 2 ，故选 A. 法一：以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(1,0)，C(1,1)，D(0，1)，设 E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→ ＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)， 所以DE→ ·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC→ ＝(1,0)，所以DE→ ·DC→ ＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1， 故DE→ ·DC→ 的最大值为 1. 法二：由图知，无论 E 点在哪个位置，DE→ 在CB→方向上的投影都是 CB＝1， 所以DE→ ·CB→＝|CB→|·1＝1， 当 E 运动到 B 点时，DE→ 在DC→ 方向上的投影最大，即为 DC＝1， 所以(DE→ ·DC→ )max＝|DC→ |·1＝1.] 平面向量数量积的性质 ◎角度 1 平面向量的模 (2018·合肥二检)设向量 a，b 满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝( ) A．2 B．2 3 C．3 D．2 5 B [由|a＋b|＝4 两边平方可得|a|2＋|b|2＝16－2a·b＝14，则|a－b|＝ |a－b|2＝ |a|2－2a·b＋|b|2＝ 12＝2 3， 故选 B．] ◎角度 2 平面向量的夹角 (2018·济南一模)设向量 a 与 b 的夹角为θ，若 a＝(3，－1)，b－a＝(－ 1,1)，则 cos θ＝________. (2)已知平面向量 a，b 的夹角为 120°，且 a·b＝－1，则|a－b|的最小值为 ( ) A. 6 B． 3 C. 2 D．1 (1)3 10 10 (2)A [(1)由题意得向量 b＝(b－a)＋a＝(2,0)，所以 cos θ＝ a·b |a||b| ＝ 3×2＋－1×0 10×2 ＝3 10 10 . (2)由题意可知：－1＝a·b＝|a|·|b|cos 120°，所以 2＝|a|·|b|≤|a|2＋|b|2 2 .即|a|2 ＋|b|2≥4， |a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＋2≥4＋2＝6， 所以|a－b|≥ 6.] ◎角度 3 平面向量的垂直 (2018·深圳二调)已知平面向量 a，b，若|a|＝ 3，|b|＝2，a 与 b 的夹 角θ＝π 6 ，且(a－mb)⊥a，则 m＝( ) A.1 2 B．1 C. 3 D．2 B [由(a－mb)⊥a 可得(a－mb)·a＝a2－ma·b＝3－m× 3×2×cosπ 6 ＝0，解 得 m＝1，故选 B．] [规律方法] 平面向量数量积性质的应用类型与求解策略 (1)求两向量的夹角：cos θ＝ a·b |a|·|b| ，要注意θ∈[0，π]． (2)两向量垂直的应用：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有 ①a2＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. ②|a±b|＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2. ③若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2. (4)射影的数量(投影) a 在 b 上的投影|a| cos〈a，b〉＝a·b |b| . [跟踪训练] (1)(2017·山西四校联考)已知|a|＝1，|b|＝ 2，且 a⊥(a－b)，则 向量 a 与向量 b 的夹角为( ) A.π 6 B．π 4 C.π 3 D．2π 3 (2)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a，b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b| ＝________. (3)已知向量AB→与AC→的夹角为 120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→， 且AP→⊥BC→，则实数λ的值为________. 【导学号：97190157】 (1)B (2)2 3 (3) 7 12 [∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－ 2cos〈a，b〉 ＝0，∴cos〈a，b〉＝ 2 2 ，∴〈a，b〉＝π 4. (2)法一：|a＋2b|＝ a＋2b2 ＝ a2＋4a·b＋4b2 ＝ 22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝ 12＝2 3. 法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱 形 OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→ |.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2 3. (3)BC→＝AC→－AB→，由于AP→⊥BC→， 所以AP→·BC→＝0， 即(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→) ＝－λAB→ 2＋AC→ 2＋(λ－1)AB→·AC→ ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2× －1 2 ＝0，解得λ＝ 7 12.] 平面向量与三角函数的综合问 题 (2017· 湖 北 仙 桃 一 中 期 中 ) 已 知 向 量 a ＝ cos3x 2 ，sin3x 2 ， b ＝ cosx 2 ，－sinx 2 ，且 x∈ －π 3 ，π 4 . (1)求 a·b 及|a＋b|； (2)若 f(x)＝a·b－|a＋b|，求 f(x)的最大值和最小值． [解] (1)a·b＝cos3x 2 cosx 2 －sin3x 2 ·sinx 2 ＝cos 2x. ∵a＋b＝ cos3x 2 ＋cosx 2 ，sin3x 2 －sinx 2 ， ∴|a＋b| ＝ cos3x 2 ＋cosx 2 2 ＋ sin3x 2 －sinx 2 2 ＝ 2＋2cos 2x＝2|cos x|. ∵x∈ －π 3 ，π 4 ，∴cos x＞0，∴|a＋b|＝2cos x. (2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1 ＝2 cos x－1 2 2 －3 2. ∵x∈ －π 3 ，π 4 ，∴1 2 ≤cos x≤1， ∴当 cos x＝1 2 时，f(x)取得最小值－3 2 ； 当 cos x＝1 时，f(x)取得最大值－1. [规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等 式成立的方法等，得到三角函数的关系式，然后求解. 2给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形 式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域 等. [跟踪训练] 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m＝ 2 2 ，－ 2 2 ，n＝(sin x，cos x)，x∈ 0，π 2 . (1)若 m⊥n，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为π 3 ，求 x 的值． [解] (1)因为 m＝ 2 2 ，－ 2 2 ， n＝(sin x，cos x)，m⊥n. 所以 m·n＝0，即 2 2 sin x－ 2 2 cos x＝0， 所以 sin x＝cos x，所以 tan x＝1. (2)因为|m|＝|n|＝1，所以 m·n＝cosπ 3 ＝1 2 ， 即 2 2 sin x－ 2 2 cos x＝1 2 ，所以 sin x－π 4 ＝1 2 ， 因为 0＜x＜π 2 ，所以－π 4 ＜x－π 4 ＜π 4 ， 所以 x－π 4 ＝π 6 ，即 x＝5π 12. 平面向量与三角形的“四心” O 是平面上一点，动点 P 满足OP→ ＝OA→ ＋λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| ，λ∈[0，＋∞)， 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 A [∵| AB→ |AB→||＝| AC→ |AC→||＝1， ∴λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| 表示与∠A 的平分线共线的向量． 又OP→ ＝OA→ ＋λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| ， ∴OP→ －OA→ ＝λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| 即AP→＝λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| ， ∴P 一定在∠A 的平分线上，即 P 点一定通过△ABC 的内心．] [规律方法] 1.要注意弄清向量的线性运算所表达的几何意义，即利用向量加， 减法的平行四边形法则或三角形法则，明确向量所代表的意义. 2.要注意等式的等价转化和三角形“四心”的特征. [跟踪训练] 已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，在平面上一点 O 满足OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＝0，则 O 是△ABC 的________． 重心 [设线段 AB 的中点 D ∵OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＝0，∴OA→ ＋OB→ ＝2OD→ ＝－OC→ ，∴OD→ ，OC→ 共线，∴OC→ 经 过 AB 的中点 D 同理OA→ 过 BC 的中点，OB→ 过 AC 的中点， 故 O 是△ABC 的重心．]