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  • 2021-06-10 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第九章 第9讲 第2课时 定点、定值、探索性问题

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‎[基础题组练]‎ ‎1.已知直线l与双曲线-y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于M,N两点,则·的值为(  )‎ A.3           B.4‎ C.5 D.与P的位置有关 解析:选A.依题意,设点P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),其中x-4y=4,则直线l的方程是-y0y=1,题中双曲线的两条渐近线方程为y=±x.‎ ‎①当y0=0时,直线l的方程是x=2或x=-2.由,得,此时·=(2,-1)·(2,1)=4-1=3,同理可得当直线l的方程是x=-2时,·=3.‎ ‎②当y0≠0时,直线l的方程是y=(x0x-4).由,得(4y-x)x2+8x0x-16=0(*),又x-4y=4,因此(*)即是-4x2+8x0x-16=0,x2-2x0x+4=0,x1x2=4,·=x1x2+y1y2=x1x2-x1x2=x1x2=3.‎ 综上所述,·=3,故选A.‎ ‎2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,△ABC的顶点都在抛物线上,且满足++=0,则++=________.‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),F,由+=-,得y1+y2+y3=0.因为kAB==,所以kAC=,kBC=,所以++=++=0.‎ 答案:0‎ ‎3.(2020·平顶山模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点M在椭圆C上滑动,若△MF1F2的面积取得最大值4时,有且仅有2个不同的点M使得△MF1F2为直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C分别相交于A,B两点,与x轴交于点Q.设=λ,=μ,求证:λ+μ为定值,并求该定值.‎ 解:(1)由对称性知,点M在短轴端点时,‎ ‎△MF1F2为直角三角形且∠F1MF2=90°,且S△MF1F2=4,所以b=c且S=·2c·b=bc=4,‎ 解得b=c=2,a2=b2+c2=8,‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)证明:显然直线l的斜率不为0,设直线l:x=t(y-1),联立 消去x,得(t2+2)y2-2t2y+t2-8=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=.‎ 令y=0,则x=-t,所以Q(-t,0),‎ 因为=λ,所以y1=λ(y1-1),‎ 所以λ=.‎ 因为=μ,所以y2=μ(y2-1),所以μ=.‎ 所以λ+μ=+==.‎ ‎4.(2020·甘肃白银联考)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,下顶点为A,O为坐标原点,点O到直线AF2的距离为,△AF1F2为等腰直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)直线l与椭圆C分别相交于M,N两点,若直线AM与直线AN的斜率之和为2,证明:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.‎ 解:(1)由题意可知,直线AF2的方程为+=1,‎ 即-bx+cy+bc=0,则==.‎ 因为△AF1F2为等腰直角三角形,所以b=c,‎ 又a2=b2+c2,可得a=,b=1,c=1,‎ 所以椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)证明:由(1)知A(0,-1).‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+t(t≠±1),‎ 代入+y2=1,得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,‎ 所以Δ=16k2t2-4(1+2k2)(2t2-2)>0,即t2-2k2<1.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,‎ x1x2=.‎ 因为直线AM与直线AN的斜率之和为2,‎ 所以kAM+kAN=+=+=2k+=2k-=2,‎ 整理得t=1-k.‎ 所以直线l的方程为y=kx+t=kx+1-k=k(x-1)+1,显然直线y=k(x-1)+1经过定点(1,1).‎ 当直线l的斜率不存在时,设直线l的方程为x=m.‎ 因为直线AM与直线AN的斜率之和为2,设M(m,n),则N(m,-n),‎ 所以kAM+kAN=+==2,解得m=1,‎ 此时直线l的方程为x=1,显然直线x=1也经过该定点(1,1).‎ 综上,直线l恒过点(1,1).‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·湖南五市十校联考)已知动圆C过定点F(1,0),且与定直线x=-1相切.‎ ‎(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程;‎ ‎(2)过点M(-2,0)的任一条直线l与轨迹E分别相交于不同的两点P,Q,试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M),使得∠QNM+∠PNM=π?若存在,求点N的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解:(1)法一:由题意知,动圆圆心C到定点F(1,0)的距离与其到定直线x=-1的距离相等,又由抛物线的定义,可得动圆圆心C的轨迹是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其中p=2.‎ 所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x.‎ 法二:设动圆圆心C(x,y),由题意知=|x+1|,‎ 化简得y2=4x,即动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x.‎ ‎(2)假设存在点N(x0,0),满足题设条件.‎ 由∠QNM+∠PNM=π可知,直线PN与QN的斜率互为相反数,即kPN+kQN=0.①‎ 由题意知直线PQ的斜率必存在且不为0,设直线PQ的方程为x=my-2.‎ 联立得y2-4my+8=0.‎ 由Δ=(-4m)2-4×8>0,得m>或m<-.‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=8.‎ 由①式得kPN+kQN=+ ‎==0,‎ 所以y1(x2-x0)+y2(x1-x0)=0,‎ 即y1x2+y2x1-x0(y1+y2)=0.‎ 消去x1,x2,得y1y+y2y-x0(y1+y2)=0,‎ y1y2(y1+y2)-x0(y1+y2)=0,‎ 因为y1+y2≠0,所以x0=y1y2=2,‎ 所以存在点N(2,0).使得∠QNM+∠PNM=π.‎ ‎2.(2020·湖南郴州教学质量监测)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线分别交抛物线于A,B两点.‎ ‎(1)若以AB为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16,求抛物线C的标准方程;‎ ‎(2)过点A,B分别作抛物线的切线l1,l2,证明:l1,l2的交点在定直线上.‎ 解:(1)设AB中点为M,A到准线的距离为d1,B到准线的距离为d2,M到准线的距离为d,则d=yM+.‎ 由抛物线的定义可知,d1=|AF|,d2=|BF|,所以d1+d2=|AB|=8,‎ 由梯形中位线可得d==4,所以yM+=4.‎ 又yM=3,所以3+=4,可得p=2,‎ 所以抛物线C的标准方程为x2=4y.‎ ‎(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=2py,得y=,则y′=,所以直线l1的方程为y-y1=(x-x1),直线l2的方程为y-y2=(x-x2),‎ 联立得x=,y=,‎ 即直线l1,l2的交点坐标为.‎ 因为AB过焦点F,‎ 由题可知直线AB的斜率存在,故可设直线AB方程为y-=kx,‎ 代入抛物线x2=2py中,得x2-2pkx-p2=0,‎ 所以x1x2=-p2,y==-=-,‎ 所以l1,l2的交点在定直线y=-上.‎

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