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  • 2021-06-10 发布

数学(理)卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三(实验班)第三次质检(2018

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衡阳八中2018届高三年级实验班第三次质检试卷 理科数学(试题卷)‎ 注意事项:‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次质检试卷,分两卷。其中共23题,满分150分,考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后,应检查试卷是否有缺页漏页,重影模糊等妨碍答题现象,如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后,考生禁止入场,监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上,选择题部分请用2B铅笔填涂,非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后,试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题(每题5分,共60分)‎ 本卷共12题,每题5分,共60分,在每题后面所给的四个选项中,只有一个是正确的。‎ ‎1.已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∪∁RB=(  )‎ A.{x|2<x≤5} B.{x|x<4或x>5} C.{x|2<x<3} D.{x|x<2或x≥5}‎ ‎2.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占用非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e﹣i表示的复数在复平面中位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知函数y=f(x),将f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位,这样得到的是的图象,那么函数y=f(x)的解析式是(  )‎ A. B.C. D.‎ ‎4.已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(log2),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a ‎5.已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=1,a2=3,数列{anan+1}是公比为2的等比数列,则S10=(  )‎ A.1364 B. C.118 D.124‎ ‎6.执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为(  )‎ ‎ ‎ A.105 B.16 C.15 D.1‎ ‎7.篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含两名中锋,两名控球后卫,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋,至少包含一名控球后卫,则休斯顿火箭队的主教练一共有(  )种出场阵容的选择.‎ A.16 B.28 C.84 D.96‎ ‎8.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=()x﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是(  )‎ A.(,2) B.(,2) C.[,2) D.(,2]‎ ‎9.已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内.当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于,则球O的体积等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)﹣f(x)<﹣2,f(0)=3,则不等式f(x)>ex+2的解集是(  )‎ A.(﹣∞,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(﹣∞,0)‎ ‎11.椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥‎ BF,设∠ABF=a,且a∈[,],则该椭圆离心率的取值范围为(  )‎ A.[,1] B.[,] C.[,1) D.[,]‎ ‎12.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨,硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨,硝酸盐15吨.现库存磷酸盐10吨,硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元,生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元,那么可产生的最大利润是(  )‎ A.29 000元 B.31 000元 C.38 000元 D.45 000元 第II卷 非选择题(共90分)‎ 二.填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13.已知向量=(2m,3),=(m﹣1,1),若,共线,则实数m的值为   .‎ ‎14.已知(x+a)2(x﹣1)3的展开式中,x4的系数为1,则a=   .‎ ‎15.已知三棱锥的顶点都在球的球面上,是边长为2的正三角形,为球的直径,且,则此三棱锥的体积为________.‎ ‎16.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数T,对任意n∈N满足an+T=an,则称{an}是周期数列,T叫做它的周期.已知数列{xn}满足x1=1,x2=a(a≤1),xn+2=|xn+1﹣xn|,若数列{xn}的周期为3,则{xn}的前100项的和为  .‎ 三.解答题(共8题,共70分)‎ ‎17.(本题满分12分)‎ 已知数列{an}中,a1=2,,数列{bn}中,,其中n∈N;‎ ‎(1)求证:数列{bn}是等差数列;‎ ‎(2)若Sn是数列{bn}的前n项和,求的值.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 在如图所示的圆锥中,OP是圆锥的高,AB是底面圆的直径,点C是弧AB的中点,E是线段AC的中点,D是线段PB的中点,且PO=2,OB=1.‎ ‎(1)试在PB上确定一点F,使得EF∥面COD,并说明理由;‎ ‎(2)求点A到面COD的距离.‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 某高中毕业学年,在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算,排出前n名学生,并对这n名学生按成绩分组,第一组[75,80),第二组[80,85),第三组[85,90),第四组[90,95),第五组[95,100],如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数为60.‎ ‎(Ⅰ)请在图中补全频率分布直方图;‎ ‎(Ⅱ)若Q大学决定在成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.‎ ‎①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官,规定获得两位考官的认可即面试成功,且面试结果相互独立,已知甲同学已经被抽中,并且通过这三位考官面试的概率依次为、,,求甲同学面试成功的概率;‎ ‎②‎ 若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试,第3组中有ξ名学生被考官B面试,求ξ的分布列和数学期望.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 如图,椭圆的离心率为,x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长.C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B,直线MA,MB分别与C1相交于点D、E.‎ ‎(1)求C1、C2的方程;‎ ‎(2)求证:MA⊥MB.‎ ‎(3)记△MAB,△MDE的面积分别为S1、S2,若,求λ的取值范围.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知函数f(x)=(k>0).‎ ‎(1)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥恒成立,求实数k的取值范围;‎ ‎(2)若对任意的a,b,c∈R+,均存在以,,为三边边长的三角形,求实数k的取值范围.‎ 选做题:考生从22、23题中任选一题作答,共10分。‎ ‎22.(选修4-4.坐标系与参数方程)‎ 在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数),以Ο为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知曲线C1上的点M(2,)对应的参数φ=.θ=与曲线C2交于点D(,).‎ ‎(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+)是曲线C1上的两点,求+的值.‎ ‎23.(选修4-5.不等式选讲)‎ 设函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)>2的解集;‎ ‎(2)设g(x)=,若对于任意的x1,x2∈[3,5]都有f(x1)≤g(x2)恒成立,求正实数m的取值范围.‎ 衡阳八中2018届高三年级实验班第三次质检参考答案理科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D C D C B B B D B C ‎13.3‎ ‎14.2‎ ‎15.‎ ‎16.67‎ ‎17.‎ ‎(1)证明:数列{an}中,a1=2,an+1=2﹣,数列{bn}中,bn=,其中n∈N.‎ ‎∴b1=1,∵bn+1===.(2分)‎ ‎∴bn+1﹣bn═﹣=1=常数,(4分)‎ ‎∴数列{bn}是等差数列,首项为1,等差为1.(6分)‎ ‎(2)解:bn=1+n﹣1=n,(7分)‎ Sn=(1+2+3+4+…n)=,∴==2(),(9分)‎ ‎∴=++…+‎ ‎=2=.(12分)‎ ‎18.‎ ‎(1)连接BE,设BE∩OC=G,由题意G为△ABC的重心,∴ =2,‎ 连接DG,‎ ‎∵EF∥平面COD,EF⊂平面BEF,平面BEF∩平面COD=DG,‎ ‎∴EF∥DG,‎ ‎∴==2,‎ 又BD=DP,∴DF=PF=PB.‎ ‎∴点F是PB上靠近点P的四等分点. (6分)‎ ‎(2)由PO⊥平面ABC,OC⊂平面ABC,‎ ‎∴OC⊥PO,又点C是弧AB的中点,OC⊥AB,∴OC⊥平面POB.‎ OD⊂平面POB,∴OC⊥OD.‎ S△COD=OC•OD==.(8分)‎ ‎∵VA﹣OCD=VD﹣AOC,∴ •S△COD•d=•PO,‎ ‎∴d=,‎ ‎∴点A到面COD的距离.(12分)‎ ‎19.‎ ‎(Ⅰ)∵第四组的人数为60,‎ ‎∴总人数为:5×60=300,‎ 由直方图可知,第五组人数为:0.02×5×300=30人,‎ 又为公差,‎ ‎∴第一组人数为:45人,第二组人数为:75人,第三组人数为:90人。(3分)‎ ‎(Ⅱ)①设事件A=甲同学面试成功,‎ 则P(A)=。(6分)‎ ‎②由题意得,ξ=0,1,2,3,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎(12分)‎ ‎20.‎ ‎(1)椭圆C1的离心率e=,∴a2=2b2‎ 又∵x轴被曲线截得的线段长等于C1的短轴长.‎ ‎∴,得b=1,a2=2,可得椭圆C1的方程为 而抛物线C2的方程为y=x2﹣1;(3分)‎ ‎(2)设直线AB方程为y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则由消去y,得x2﹣kx﹣1=0‎ ‎∴x1+x2=k,x1x2=﹣1,可得y1+y2=k(x1+x2)=k2,y1y2=kx1•kx2=k2x1x2=﹣k2‎ ‎∵M坐标为(0,﹣1),可得,‎ ‎∴=x1x2+y1y2+y1+y2+1=﹣1﹣k2+k2+1=0‎ 因此,,即MA⊥MB(7分)‎ ‎(3)设直线MA方程为y=k1x﹣1,直线MB方程为y=k2x﹣1,且满足k1k2=﹣1‎ ‎∴,解得,同理可得 因此, =‎ 再由,解得,‎ 同理可得 ‎∴‎ ‎=‎ ‎,即λ=的取值范围为[,+∞)‎ ‎(12分)‎ ‎21.‎ ‎(1)函数f(x)=(k>0),‎ 对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥恒成立,‎ 即有x2+2kx+1≤2x2+2,‎ 即为2k≤x+对x>0恒成立,‎ 由x+≥2=2,(x=1取得等号),‎ 则0<2k≤2,即0<k≤1.‎ 则实数k的取值范围为(0,1];(5分)    ‎ ‎(2)=‎ ‎=1+=1+,‎ 由x+≥2=2,(x=1取得等号),‎ 可得∈(1,1+k].‎ 对任意的a,b,c∈R+,均存在以,,为三边边长的三角形,‎ 即有+>恒成立,‎ 即有2<+≤2k+2,1<≤k+1,‎ 所以2≥k+1,即k≤1,‎ 则0<k≤1.‎ 则实数k的取值范围为(0,1].(12分)‎ ‎22.‎ ‎(1)将曲线C1上的点M(2,)对应的参数φ=.‎ 代入曲线C1的参数方程为(a>b>0,φ为参数),得:‎ 解得:,‎ ‎∴曲线C1的方程为:(φ为参数),即:.(3分)‎ 设圆C2的半径R,则圆C2的方程为:ρ=2Rcosθ,将点D(,)‎ 代入得: =2R×,‎ ‎∴R=1‎ ‎∴圆C2的方程为:ρ=2cosθ即:(x﹣1)2+y2=1.(6分)‎ ‎(2)将A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+)代入C1得:,‎ ‎∴+=()+()=.(10分)‎ ‎23.‎ ‎(1)函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|=,如图所示:‎ 令=2,求得x=,‎ 故结合图象,由f(x)>2可得x<,或x>3.(5分)‎ ‎(2)设g(x)=,若对于任意的x1,x2∈[3,5],‎ 都有f(x1)≤g(x2)恒成立,‎ 故当x∈[3,5]时,f(x)max≤g(x)min.‎ 由于当x∈[3,5]时,f(x)max=5﹣2=3,故g(x)的最小值大于或等于3.‎ ‎∵m>0,g(x)=x+≥2,当且仅当x=∈[3,5]时取等号,‎ 显然满足2≥3,故有m∈[9,25].‎ 当∈(0,3),即0<m<9时,<3,g(x)=x+在[3,5]上单调递增,‎ g(x)的最小值为g(3)=3+>3,满足条件.‎ 当>5,即m>25时,>5,g(x)=x+在[3,5]上单调递减。(10分)‎

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