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- 2021-06-10 发布
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专题05高考数学仿真押题试卷(五)
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足是虚数单位),则复数的模
A. B. C. D.
【解答】解:,
,
故,
【答案】.
2.已知集合,,则
A., B. C. D.
【解答】解:集合,
,
.
19
【答案】.
3.在等差数列中,前项和满足,则的值是
A.5 B.7 C.9 D.3
【解答】解:等差数列中,前项和,满足,
,
,
【答案】.
4.军训时,甲、乙两名同学进行射击比赛,共比赛10场,每场比赛各射击四次,且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩.数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图,并给出下列4个结论:(1)甲的平均成绩比乙的平均成绩高;(2)甲的成绩的极差是29;(3)乙的成绩的众数是21;(4)乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中,正确结论的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:由茎叶图得:
在(1)中,甲的成绩集中于茎叶图的左下方,乙的成绩集合于茎叶图的右上方,
甲的平均成绩比乙的平均成绩高,故(1)正确;
在(2)中,甲的成绩的极差是:,故(2)正确;
在(3)中,乙的成绩的众数是21,故(3)正确;
在(4)中,乙的成绩的中位数是:,故(4)错误.
【答案】.
5.从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人知识竞赛代表队,则不同的选法共有
A.15种 B.180种 C.360种 D.90种
【解答】解:先现从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,再从剩下的4人选2人,故有种,
【答案】.
19
6.实数,满足约束条件,则的最大值是
A. B. C.4 D.5
【解答】解:由实数,满足约束条件,作出可行域:
联立,解得,
化为,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最小,有最大值为:4.
【答案】.
7.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,且侧视图中的曲线都为圆弧线,则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
【解答】解:三视图定义的几何体的直观图如图:几何体是上下底面是半径为1的4段的圆弧,柱体的高为3,所以几何体的表面积为:.
19
【答案】.
8.勒洛三角形是由德国机械工程专家,机构运动学家勒洛首先发现,所以以他的名字命名.作法:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在勒洛三角形中随机取一点,此点取自正三角形的概率为
A. B. C. D.
【解答】解:如图,设,以为圆心的扇形的面积为,
的面积为,
勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积,
即为,
故勒洛三角形中随机取一点,此点取自正三角形的概率为,
【答案】.
9.已知双曲线的左焦点为,过点作圆的切线,切点为,且交双曲线右支于点.若,则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【解答】解:设双曲线的右焦点为,
若,可得为的中点,
又为的中点,可得,
19
由为切点,可得,
且,
由双曲线的定义可得,
由勾股定理可得,
化简可得,
则双曲线的渐近线方程为.
【答案】.
10.三棱锥中,棱是其外接球(多面体各顶点都在球面上)的直径,,平面平面,则该三棱锥的体积为
A. B.1 C.2 D.3
【解答】解:如图,,是球得直径,
,且,
.
平面平面,,
.
【答案】.
19
11.已知椭圆,直线,分别平行于轴和轴,交椭圆于,两点,交椭圆于,两点,,交于点,若,则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【解答】解:由,
不妨设,,,,
可得,.
代入椭圆方程可得:,.
联立解得,.
则该椭圆的离心率.
【答案】.
12.已知函数,给出三个命题:①的最小值为,②是轴对称图形,③.其中真命题的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:①若的最小值为等价为恒成立,且能取等号,
即恒成立,
设,则,
19
当时,,即0能取到,故①正确,
②是和共同的对称轴,
是的对称轴,即是轴对称图形,故②正确,
③,
,
只要证明,即可,
设,
当时不等式恒成立,
当时,即证明,
设,,即在上是减函数,
则,
即成立,
综上,成立,故③正确,
故三个命题都是真命题,
【答案】.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知实数,满足约束条件,则的最大值是 .
【解答】解:作出实数,满足约束条件对应的平面区域,
由,得,
19
平移直线,由图象可知当直线经过点时,
直线的截距最大,此时最大.
由,得,,
此时的最大值为,
故答案为:.
14.的展开式中的系数为9,则 1 .
【解答】解:的通项公式,
若第一括号是1,则第二个括号必须是,相乘,
若第一括号是,则第二个括号必须是相乘,
则项系数为,
即,得,
得或(舍,
故答案为:1.
15.已知点为抛物线的焦点,直线过点且与抛物线交于,两点,点在第一象限,,若,分别表示,的面积),则直线的斜率的取值范围为
19
.
【解答】解:,
设直线的方程为:.,,,,,.
联立,化为:,
解得:.
,,
,取,.
,
解得:,.
.
故答案为:,.
16.已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为 .
【解答】解:设正三棱锥的底面边长为,高为,如图,过顶点作底面的垂线,垂足为,过作垂直于,连接,
,.
底面,底面,
,,
19
又,,
平面,
又平面,
,即为侧面的斜高,
三棱锥体积,得,
又为底面中心,,
,
三棱锥的表面积,将代入得:.
,令,得,令,,上式可化为,解得,或(舍,
,得,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,故当时,表面积最小,
此时,
故填:.
19
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设函数.
(Ⅰ)当,时,求函数的值域;
(Ⅱ)的内角,,所对的边分别为,,,且(A),,,求的面积.
【解答】解:(Ⅰ)
,
,,,,
,
函数的值域为,;
(Ⅱ)(A),
,,,即,
19
由正弦定理,,
,
,
,则
.
,,
.
18.世界卫生组织的最新研究报告显示,目前中国近视患者人数多达6亿,高中生和大学生的近视率均已超过七成,为了研究每周累计户外暴露时间(单位:小时)与近视发病率的关系,对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查,得到如下数据:
每周累计户外暴露时间
(单位:小时)
,
,
,
,
不少于28小时
近视人数
21
39
37
2
1
不近视人数
3
37
52
5
3
(Ⅰ)在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中,随机抽取2名,求其中恰有一名学生不近视的概率;
(Ⅱ)若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”,根据以上数据完成如下列联表,并根据(Ⅱ)中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系?
近视
不近视
足够的户外暴露时间
不足够的户外暴露时间
附:
19
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【解答】解:(Ⅰ)设“随机抽取2名,其中恰有一名学生不近视”为事件,则(A)
故随机抽取2名,其中恰有一名学生不近视的概率为.
(Ⅱ)根据以上数据得到列联表:
近视
不近视
足够的户外暴露时间
40
60
不足够的户外暴露时间
60
40
所以的观测值,
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.
19.如图,在三棱锥中,与都为等边三角形,且侧面与底面互相垂直,为的中点,点在线段上,且,为棱上一点.
(Ⅰ)试确定点的位置使得平面;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角的余弦值.
【解答】解:(Ⅰ)在中,延长交于点,
,是等边三角形,为的重心,
,
平面,平面,且面面,
19
,,
即点为线段上靠近点的三等分点.
(Ⅱ)等边中,,平面,
面面,交线为,
平面,
如图,以为原点建立空间直角坐标系,
点在平面上,二面角与二面角为相同二面角.
设,则,,0,,,0,,,1,,
,,,,
设平面的法向量,,,
则,取,得,
又平面,,0,,
则,
又二面角为钝二面角,
所以二面角的余弦值为.
19
20.已知椭圆的左、右两个顶点分别为、,点为椭圆上异于、的一个动点,设直线、的斜率分别为、,若动点与、的连线斜率分别为、,且,记动点的轨迹为曲线
(Ⅰ)当时,求曲线的方程;
(Ⅱ)已知点,直线与分别与曲线交于、两点,设的面积为,的面积为,若,,求的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)设,,,则,
因为,,则,
设,则,
所以,
整理得,.
所以,当时,曲线的方程为,,
(Ⅱ)设,,,,由题意知,
直线的方程为:,直线的方程为.
由(Ⅰ)知,曲线的方程为,.
联立,消去,得,得,
联立,消去,得,得,
所以
19
设,则在,上递增
又(1),(3),
所以 的取值范围为,
21.已知为自然对数的底数),.
(Ⅰ)当时,求函数的极小值;
(Ⅱ)当时,关于的方程有且只有一个实数解,求实数的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当时,,
,令,解得:,
,,的变化如下:
0
0
递减
极小值
递增
;
(Ⅱ)设,
令,,,
,设,,
由得,,,,
,在单调递增,
即在单调递增,(1),
①当,即时,时,(1),在单调递增,
又(1),故当时,关于的方程有且只有一个实数解,
②当,即时,
19
(1),,又,
故,,当时,,单调递减,又(1),
故当,时,,
在,内,关于的方程有一个实数解,
又,时,,单调递增,
且(a),
令,
,,
故在单调递增,又(1),
故在单调递增,故(a)(1),故(a),
又,由零点存在定理可知,,,,
故在,内,关于的方程有一个实数解,
此时方程有两个解.
综上,.
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),直线的方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)曲线与直线交于,两点,若,求的值.
【解答】解:(Ⅰ),
所以曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)设直线的极坐标方程为,,,其中为直线的倾斜角,
代入曲线得,设,所对应的极径分别为,.
19
,,△
满足△或的倾斜角为或,
则或.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数,.
(Ⅰ)若不等式对恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值,若实数,,满足,求的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)因为,
所以,解得:.
故实数的取值范围为,;
(Ⅱ)由(1)知,,即,
根据柯西不等式
等号在即,,时取得.
所以的最小值为.
19
19