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  • 2021-06-10 发布

2019年高考数学仿真押题试卷(五)(含解析)

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专题05高考数学仿真押题试卷(五)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数满足是虚数单位),则复数的模  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:,‎ ‎,‎ 故,‎ ‎【答案】. 2.已知集合,,则  ‎ A., B. C. D.‎ ‎【解答】解:集合,‎ ‎,‎ ‎.‎ 19‎ ‎【答案】. 3.在等差数列中,前项和满足,则的值是  ‎ A.5 B.7 C.9 D.3‎ ‎【解答】解:等差数列中,前项和,满足,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎【答案】. 4.军训时,甲、乙两名同学进行射击比赛,共比赛10场,每场比赛各射击四次,且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩.数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图,并给出下列4个结论:(1)甲的平均成绩比乙的平均成绩高;(2)甲的成绩的极差是29;(3)乙的成绩的众数是21;(4)乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中,正确结论的个数为  ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解答】解:由茎叶图得:‎ 在(1)中,甲的成绩集中于茎叶图的左下方,乙的成绩集合于茎叶图的右上方,‎ 甲的平均成绩比乙的平均成绩高,故(1)正确;‎ 在(2)中,甲的成绩的极差是:,故(2)正确;‎ 在(3)中,乙的成绩的众数是21,故(3)正确;‎ 在(4)中,乙的成绩的中位数是:,故(4)错误.‎ ‎【答案】. 5.从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人,组成4人知识竞赛代表队,则不同的选法共有  ‎ A.15种 B.180种 C.360种 D.90种 ‎【解答】解:先现从6名大学生中选出队长1人,副队长1人,再从剩下的4人选2人,故有种,‎ ‎【答案】. ‎ 19‎ ‎6.实数,满足约束条件,则的最大值是  ‎ A. B. C.4 D.5‎ ‎【解答】解:由实数,满足约束条件,作出可行域:‎ 联立,解得,‎ 化为,由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最小,有最大值为:4.‎ ‎【答案】.‎ ‎ 7.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,且侧视图中的曲线都为圆弧线,则该几何体的表面积为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:三视图定义的几何体的直观图如图:几何体是上下底面是半径为1的4段的圆弧,柱体的高为3,所以几何体的表面积为:.‎ 19‎ ‎【答案】.‎ ‎8.勒洛三角形是由德国机械工程专家,机构运动学家勒洛首先发现,所以以他的名字命名.作法:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在勒洛三角形中随机取一点,此点取自正三角形的概率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:如图,设,以为圆心的扇形的面积为,‎ 的面积为,‎ 勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积,‎ 即为,‎ 故勒洛三角形中随机取一点,此点取自正三角形的概率为,‎ ‎【答案】. 9.已知双曲线的左焦点为,过点作圆的切线,切点为,且交双曲线右支于点.若,则双曲线的渐近线方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:设双曲线的右焦点为,‎ 若,可得为的中点,‎ 又为的中点,可得,‎ 19‎ 由为切点,可得,‎ 且,‎ 由双曲线的定义可得,‎ 由勾股定理可得,‎ 化简可得,‎ 则双曲线的渐近线方程为.‎ ‎【答案】.‎ ‎ 10.三棱锥中,棱是其外接球(多面体各顶点都在球面上)的直径,,平面平面,则该三棱锥的体积为  ‎ A. B.1 C.2 D.3‎ ‎【解答】解:如图,,是球得直径,‎ ‎,且,‎ ‎.‎ 平面平面,,‎ ‎.‎ ‎【答案】.‎ ‎ ‎ 19‎ ‎11.已知椭圆,直线,分别平行于轴和轴,交椭圆于,两点,交椭圆于,两点,,交于点,若,则该椭圆的离心率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:由,‎ 不妨设,,,,‎ 可得,.‎ 代入椭圆方程可得:,.‎ 联立解得,.‎ 则该椭圆的离心率.‎ ‎【答案】.‎ ‎ 12.已知函数,给出三个命题:①的最小值为,②是轴对称图形,③.其中真命题的个数是  ‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【解答】解:①若的最小值为等价为恒成立,且能取等号,‎ 即恒成立,‎ 设,则,‎ 19‎ 当时,,即0能取到,故①正确,‎ ‎②是和共同的对称轴,‎ 是的对称轴,即是轴对称图形,故②正确,‎ ‎③,‎ ‎,‎ 只要证明,即可,‎ 设,‎ 当时不等式恒成立,‎ 当时,即证明,‎ 设,,即在上是减函数,‎ 则,‎ 即成立,‎ 综上,成立,故③正确,‎ 故三个命题都是真命题,‎ ‎【答案】.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.已知实数,满足约束条件,则的最大值是  .‎ ‎【解答】解:作出实数,满足约束条件对应的平面区域,‎ 由,得,‎ 19‎ 平移直线,由图象可知当直线经过点时,‎ 直线的截距最大,此时最大.‎ 由,得,,‎ 此时的最大值为,‎ 故答案为:.‎ ‎ 14.的展开式中的系数为9,则 1 .‎ ‎【解答】解:的通项公式,‎ 若第一括号是1,则第二个括号必须是,相乘,‎ 若第一括号是,则第二个括号必须是相乘,‎ 则项系数为,‎ 即,得,‎ 得或(舍,‎ 故答案为:1. 15.已知点为抛物线的焦点,直线过点且与抛物线交于,两点,点在第一象限,,若,分别表示,的面积),则直线的斜率的取值范围为 ‎ 19‎ ‎ .‎ ‎【解答】解:,‎ 设直线的方程为:.,,,,,.‎ 联立,化为:,‎ 解得:.‎ ‎,,‎ ‎,取,.‎ ‎,‎ 解得:,.‎ ‎.‎ 故答案为:,.‎ ‎ 16.已知正三棱锥的体积为,则其表面积的最小值为  .‎ ‎【解答】解:设正三棱锥的底面边长为,高为,如图,过顶点作底面的垂线,垂足为,过作垂直于,连接,‎ ‎,.‎ 底面,底面,‎ ‎,,‎ 19‎ 又,,‎ 平面,‎ 又平面,‎ ‎,即为侧面的斜高,‎ 三棱锥体积,得,‎ 又为底面中心,,‎ ‎,‎ 三棱锥的表面积,将代入得:.‎ ‎,令,得,令,,上式可化为,解得,或(舍,‎ ‎,得,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,故当时,表面积最小,‎ 此时,‎ 故填:.‎ 19‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设函数.‎ ‎(Ⅰ)当,时,求函数的值域;‎ ‎(Ⅱ)的内角,,所对的边分别为,,,且(A),,,求的面积.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)‎ ‎,‎ ‎,,,,‎ ‎,‎ 函数的值域为,;‎ ‎(Ⅱ)(A),‎ ‎,,,即,‎ 19‎ 由正弦定理,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,则 ‎.‎ ‎,,‎ ‎. 18.世界卫生组织的最新研究报告显示,目前中国近视患者人数多达6亿,高中生和大学生的近视率均已超过七成,为了研究每周累计户外暴露时间(单位:小时)与近视发病率的关系,对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查,得到如下数据:‎ 每周累计户外暴露时间 ‎(单位:小时)‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 不少于28小时 近视人数 ‎21‎ ‎39‎ ‎37‎ ‎2‎ ‎1‎ 不近视人数 ‎3‎ ‎37‎ ‎52‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎(Ⅰ)在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中,随机抽取2名,求其中恰有一名学生不近视的概率;‎ ‎(Ⅱ)若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”,根据以上数据完成如下列联表,并根据(Ⅱ)中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系?‎ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 附: ‎ 19‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设“随机抽取2名,其中恰有一名学生不近视”为事件,则(A)‎ 故随机抽取2名,其中恰有一名学生不近视的概率为.‎ ‎(Ⅱ)根据以上数据得到列联表:‎ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 ‎40‎ ‎60‎ 不足够的户外暴露时间 ‎60‎ ‎40‎ 所以的观测值,‎ 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 19.如图,在三棱锥中,与都为等边三角形,且侧面与底面互相垂直,为的中点,点在线段上,且,为棱上一点.‎ ‎(Ⅰ)试确定点的位置使得平面;‎ ‎(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角的余弦值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在中,延长交于点,‎ ‎,是等边三角形,为的重心,‎ ‎,‎ 平面,平面,且面面,‎ 19‎ ‎,,‎ 即点为线段上靠近点的三等分点.‎ ‎(Ⅱ)等边中,,平面,‎ 面面,交线为,‎ 平面,‎ 如图,以为原点建立空间直角坐标系,‎ 点在平面上,二面角与二面角为相同二面角.‎ 设,则,,0,,,0,,,1,,‎ ‎,,,,‎ 设平面的法向量,,,‎ 则,取,得,‎ 又平面,,0,,‎ 则,‎ 又二面角为钝二面角,‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎ ‎ 19‎ ‎20.已知椭圆的左、右两个顶点分别为、,点为椭圆上异于、的一个动点,设直线、的斜率分别为、,若动点与、的连线斜率分别为、,且,记动点的轨迹为曲线 ‎(Ⅰ)当时,求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点,直线与分别与曲线交于、两点,设的面积为,的面积为,若,,求的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设,,,则,‎ 因为,,则,‎ 设,则,‎ 所以,‎ 整理得,.‎ 所以,当时,曲线的方程为,,‎ ‎(Ⅱ)设,,,,由题意知,‎ 直线的方程为:,直线的方程为.‎ 由(Ⅰ)知,曲线的方程为,.‎ 联立,消去,得,得,‎ 联立,消去,得,得,‎ 所以 19‎ 设,则在,上递增 又(1),(3),‎ 所以 的取值范围为, 21.已知为自然对数的底数),.‎ ‎(Ⅰ)当时,求函数的极小值;‎ ‎(Ⅱ)当时,关于的方程有且只有一个实数解,求实数的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当时,,‎ ‎,令,解得:,‎ ‎,,的变化如下:‎ ‎0‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 ‎;‎ ‎(Ⅱ)设,‎ 令,,,‎ ‎,设,,‎ 由得,,,,‎ ‎,在单调递增,‎ 即在单调递增,(1),‎ ‎①当,即时,时,(1),在单调递增,‎ 又(1),故当时,关于的方程有且只有一个实数解,‎ ‎②当,即时,‎ 19‎ ‎(1),,又,‎ 故,,当时,,单调递减,又(1),‎ 故当,时,,‎ 在,内,关于的方程有一个实数解,‎ 又,时,,单调递增,‎ 且(a),‎ 令,‎ ‎,,‎ 故在单调递增,又(1),‎ 故在单调递增,故(a)(1),故(a),‎ 又,由零点存在定理可知,,,,‎ 故在,内,关于的方程有一个实数解,‎ 此时方程有两个解.‎ 综上,.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),直线的方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)曲线与直线交于,两点,若,求的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ), ‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)设直线的极坐标方程为,,,其中为直线的倾斜角,‎ 代入曲线得,设,所对应的极径分别为,.‎ 19‎ ‎,,△‎ 满足△或的倾斜角为或,‎ 则或.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若不等式对恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值,若实数,,满足,求的最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)因为,‎ 所以,解得:.‎ 故实数的取值范围为,;‎ ‎(Ⅱ)由(1)知,,即,‎ 根据柯西不等式 等号在即,,时取得.‎ 所以的最小值为.‎ 19‎ 19‎

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