数学理卷·2017届河北省邯郸一中石家庄一中张家口一中保定一中唐山一中高三上学期第二次模拟考试（2017 10页

邯郸一中石家庄一中张家口一中保定一中唐山一中 河北省“五个一名校联盟”2017届高三教学质量监测（二）‎ 理科数学试卷 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求 ‎（1）已知是虚数单位，若，则z＝‎ ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（2）已知全集={1,2,3, 4,5,6,7}，集合={1,3,7}，={，}，则()∩()=‎ ‎　 （A）{1,3} （B） {5,6} （C）{4,5,6} （D）{4,5,6,7}‎ ‎（3）已知命题是简单命题，则“是假命题”是“是真命题”的 ‎ ‎ （A） 充分不必要条件 （B） 必要不充分条件 ‎（C） 充要条件 （D） 既不充分又不必要条件 ‎ ‎（4）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 ，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（6）设函数是定义在上的奇函数，且，则=‎ ‎（A）－2 （B）－1 （C）1 （D）2 ‎ ‎（7）函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为 ‎（A） （B） （C） 2 （D） ‎ ‎（8）设变量满足约束条件，则 的最大值为 ‎（A） （B） （C）0 （D）‎ ‎（9）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值为2，则输出v的值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（10）如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是 ‎ 某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ‎（A） （B） （C） （D） 4‎ ‎（11）已知椭圆：的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆 上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（12）若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．‎ ‎（13）已知正实数x,y满足2x＋y＝2，则＋的最小值为_________.‎ ‎（14）已知点A(1,0) , B(1,) ,点C在第二象限，且∠AOC＝150°,＝－4＋λ，则 λ＝_________. ‎ ‎（15）在平面直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积圆锥. 据此类比：将曲线与直线及轴、轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积________．‎ ‎（16）已知数列的前项和为，，，数列 的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是__________.‎ 三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若c＝，角B的平分线BD＝，求a．‎ ‎（18）（本小题满分12分） 空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染； 151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染．‎ 一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如下．‎ ‎（Ⅰ）利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个 月总共30天计算)‎ ‎（Ⅱ）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，‎ 求ξ的概率分布列和数学期望．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE＝ 2BF＝2，平面BFED⊥平面ABCD.‎ ‎（Ⅰ）求证： AD⊥平面BFED；‎ ‎（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE 所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出点P的位置；‎ 若不存在，说明理由.‎ ‎（20）（本小题满分12分） ‎ 已知椭圆C1：＋＝1 (a>b>0)的离心率为,P(－2,1)是C1上一点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C1的方程；‎ ‎（Ⅱ）设A、B、Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点,平行于AB的直线l与C1相交于不同于P、Q的两点C、D,点C关于原点的对称点为E. 证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数f (x)＝alnx＋x2－ax (a为常数)．‎ ‎（Ⅰ）试讨论f (x)的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f (x)有两个极值点分别为x1,x2.不等式f (x1)＋f (x2) ＜λ(x1＋x2)恒成立,求λ的最小值．‎ 请考生在第（22），（23）二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)=．l与C交于A、B两点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P(0,－2),求|PA|＋|PB|的值.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x的不等式|x－3|＋|x－m|≥2m的解集为R．‎ ‎（Ⅰ）求m的最大值；‎ ‎（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝m, 求4a2＋9b2＋c2的最小值及此时a，b，c的值．‎ 河北省“五个一名校联盟”2017届高三教学质量监测（二）‎ 理科数学参考答案 一、 选择题：‎ ACAC ABCC DBDB 二、填空题：‎ ‎（13） （14）1 （15） （16）‎ 三、解答题：‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）2acosC－c＝2b，‎ 由正弦定理得 2sinAcosC－sinC＝2sinB， …2分 ‎2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C) ＝２sinAcosC＋2cosAsinC，‎ ‎∴－sinC＝2cosAsinC，‎ ‎∵sinC≠0，∴cosA＝－， ‎ 而A∈(0, π)，∴A＝. …6分 ‎（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理得，＝ ‎∴ sin∠ADB＝＝，‎ ‎ ∴ ∠ADB＝， …9分 ‎∴∠ABC＝，∠ACB＝，AC＝AB＝ ‎ 由余弦定理， BC＝＝. …12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2,空气质量良的天数为4,故该样本中空气质量优良的频率为＝, …2分 估计该月空气质量优良的频率为,从而估计该月空气质量优良的天数为30×＝18. ‎ ‎…4分 ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）估计某天空气质量优良的概率为，‎ ξ的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝＝,‎ P(ξ＝1)＝C＝,‎ P(ξ＝2)＝C＝,‎ P(ξ＝3)＝＝, …8分 故ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 显然ξ～B，Eξ＝3×＝1.8. …12分 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）在梯形ABCD中，‎ ‎∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°,‎ ‎∴故 AB＝2，‎ ‎∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3，‎ ‎∴ AB2＝AD2＋BD2‎ ‎∴BD⊥AD，‎ ‎∵平面BFED⊥平面ABCD, 平面BFED∩平面ABCD＝BD，‎ ‎∴ AD⊥平面BFED. …5分 ‎（Ⅱ）∵AD⊥平面BFED∴AD⊥DE，‎ 以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，2)，F(0，，1)‎ ＝(0，，－1)，＝(－1，，0)，＝(－1，0，2)‎ 设＝λ＝(0，λ，－λ) (0≤λ≤1),‎ 则＝＋λ＝(－1，λ，2－λ) …7分 取平面EAD的一个法向量为n＝(0，1，0)，‎ 设平面PAB的一个法向量为m＝(x，y，z)，‎ 由·m＝0，·m＝0得：‎ 令y＝2－λ，得m＝(2－λ，2－λ,－λ)，‎ ‎…9分 ‎∵ 二面角A－PD－C为锐二面角，‎ ‎∴ cosám，nñ＝＝，‎ 解得λ＝ ，即P为线段EF靠近点E的三等分点. …12分 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）由题意可得解得 故椭圆C的方程为＋＝1． …5分 ‎（Ⅱ）由题设可知A (－2，－1)、 B(2， 1)‎ 因此直线l的斜率为，设直线l的方程为：y＝x＋t.‎ 由得x2＋2tx＋2t2－4＝0．（Δ＞0）‎ 设C (x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－2t，x1·x2＝2t2－4 …7分 ‎∴kPD＋kPE＝＋ ‎＝ 而(y2－1)(2－x1) －(2＋x2) (y1＋1)‎ ‎＝2(y2－y1)－(x1 y2＋x2y1)＋x1－x2－4‎ ‎＝x2－x1－x1·x2－t (x1＋x2) ＋x1－x2－4‎ ‎＝－x1·x2－t (x1＋x2)－4‎ ‎＝－2t2＋4＋2t2－4‎ ‎＝0‎ 即直线PD、PE与y轴围成一个等腰三角形． …12分 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）f′(x)＝＋x－a＝ (x>0)，‎ ‎①当a＜0时，解f′(x)＝0得，x＝, ‎ f(x)的单调减区间为(0，,单调增区间为(，+∞)； …2分 ‎②当0≤a≤4时，x2－ax＋a＝0的Δ＝a2－4a≤0，所以f′(x)≥0，f(x)的增区间为(0,+∞),无减区间； …4分 ‎③当a＞4时，Δ＝a2－4a＞0，解f′(x)＝0得，x1,2＝,‎ f(x)的单调增区间为(0，, (，+∞)，单调减区间为(，).‎ ‎…6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)有两个极值点时，设为x1，x2，‎ 则 a＞4，x1＋x2＝a ,x1x2＝a 故f(x1)＋f(x2)＝alnx1＋x－a x1＋alnx2＋x－ax2‎ ‎＝aln(x1x2)＋(x＋x)－a(x1＋x2)‎ ‎＝aln(x1x2)＋ (x1＋x2)2－x1x2－a(x1＋x2)＝a 于是＝lna－a－1，a∈. …9分 令φ(a)＝lna－a－1，则φ′(a)＝－.‎ 因为a>4，所以φ′(a) ＜0.‎ 于是φ(a)＝lna－a－1在上单调递减．‎ 因此＝φ(a) ＜φ(4)＝ln4－3. ‎ 且可无限接近ln4－3.‎ 又因为x1＋x2>0，故不等式f (x1)＋f (x2) ＜λ(x1＋x2)等价于＜λ.‎ 所以λ的最小值为ln4－3. …12分 ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：‎ ‎（Ⅰ）C：＋y2＝1；l：y＝x－2． …4分 ‎（Ⅱ）点P(0,－2)在l上，l的参数方程为 (t为参数)‎ 代入＋y2＝1整理得，3t2－10t＋15＝0， …7分 ‎ 由题意可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝ …10分 ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：‎ ‎（Ⅰ）因为|x－3|＋|x－m|≥|(x－3)－(x－m)|＝|m－3| …2分 当3≤x≤m,或m≤x≤3时取等号，‎ 令|m－3|≥2m，所以m－3≥2m，或m－3≤－2m． 解得m≤－3，或m≤1‎ ‎∴m的最大值为1 …5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）a＋b＋c＝1．‎ 由柯西不等式，(＋＋1)( 4a2＋9b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1， …7分 ‎∴4a2＋9b2＋c2≥，等号当且仅当4a＝9b＝c，且a＋b＋c＝1时成立．‎ 即当且仅当a＝，b＝，c＝时，4a2＋9b2＋c2的最小值为． …10分 ‎ ‎