数学文卷·2018届广东省普宁市第二中学高二下学期第一次月考（2017-02） 8页

普宁市第二中学 2016-2017 学年度高二级下学期第一次月考 文科数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。 2.用 2B 铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相 应位置上；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卷的整洁。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知集合 A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B={C|C⊆A}，则集合 B 中元素的个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．4 2．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 iz=3+4i，则|z|=（　　） A．25 B．7 C．5 D．1 3．命题 p：“非零向量 ， ，若 • ＜0，则 ， 的夹角为钝角”，命题 q：“对函数 f （x），若 f′（x0）=0，则 x=x0 为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（　　） A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q） 4．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+5a1，a7=2，则 a5=（ 　　） A． B．﹣ C．2 D．﹣2 5．已知非零向量 ， 满足 4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（t + ），则实数 t 的 值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D．﹣ 6．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第 2 天 开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织 5 尺布，一月（按 30 天计）共织 390 尺布，则从第 2 天起每天比前一天多织（　　）尺布． A． B． C． D． 7．若一个α角的终边上有一点 P（﹣4，a）且 sinα•cosα= ，则 a 的值为（　　） A．4 B．±4 C．﹣4 或﹣ D． 8．已知 f（x）= x2+sin ，f′（x）为 f（x）的导函数，则 f′（x）的图象是（　　） A． B． C． D． 9．已知函数：y=anx2（an≠0，n∈N*）的图象在 x=1 处的切线斜率为 2an﹣1+1（n≥2，n∈ N*），且当 n=1 时其图象过点（2，8），则 a7 的值为（　　） A． B．7 C．5 D．6 10．函数 f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意 x1，x2 都有|f（x1）﹣f（x2）| ≤t，则实数 t 的最小值是（　　） A．20 B．18 C．3 D．0 11．已知 f（x）= 则 f（﹣2016）的值为（　　） A．810 B．809 C．808 D．806 12．f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x＜0 时，f′ （x）g（x）＜f（x）g′（x），且 f（﹣3）=0， ＜0 的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） 　 二、填空题：本大题共四小题，每小题 5 分． 13．若 tan（α+ ）=2，则 sin2α的值为　　． 14．定义行列式运算： =a1a4﹣a2a3．若将函数 f（x）= 的图象向左 平移 m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则 m 的最小值是　　． 15．设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，对任意 x∈R 有 f（ +x）=﹣f（ ﹣x），若 f（1） =2，则 f（2）+f（3）=　　． 16．已知函数 f（x）=|x﹣2|+1，g（x）=kx．若方程 f（x）=g（x）有两个不等实数根，则 实数 k 的取值范围是　　． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知 a，b 为常数， 且 a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0． （1）若函数 y=f（x）﹣x 有唯一零点，求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值； （3）当 x≥2 时，不等式 f（x）≥2﹣a 恒成立，求实数 a 的取值范围． 18．已知函数 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x． （1）求 f（ ）的值； （2）若函数 f（x）在区间[﹣m，m]上是单调递增函数，求实数 m 的最大值． 19．如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求 B 点在 AM 上，D 点在 AN 上，且对角线 MN 过 C 点，已知 AB=3 米，AD=2 米． （Ⅰ）要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 DN 的长应在什么范围内？ （Ⅱ）当 DN 的长度是多少时，矩形花坛 AMPN 的面积最小？并求出最小值． 20 ． 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知 a （ tanB ﹣ 1 ） = ． （1）求角 C 的大小； （2）若三角形的周长为 20，面积为 10 ，且 a＞b，求三角形三边长． 21．已知函数 f（x）=xlnx+ax2﹣（2a+l）x+1，其中 a＞0． （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）对于任意的 x∈[a，+∞），都有 f（x）≥a 3﹣a﹣ ，求实数 a 的取值范围． 22．设函数 f（x）=ex﹣ax﹣2． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间；【来源：全,品…中&高*考+网】 （Ⅱ）若 a=1，k 为整数，且当 x＞0 时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求 k 的最大值． 　 【来源：全,品…中&高*考+网】 数学参考答案 1．D． 　 2．C． 　 3．D． 　 4．A． 　 5．B． 　 6．D． 　 7．C． 　 8．A 9．C． 　 10．B． 　 12．C． 13． ． 　 14． ． 　 15．﹣2． 　 16． ． 17．解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x2﹣2x） （1）函数 y=f（x）﹣x 有唯一零点，即方程 ax2﹣（2a+1）x=0 有唯一解， ∴（2a+1）2=0，解得 a=﹣ ∴f（x）=﹣ x2+x … （2）∵f（x）=a（x2﹣2x）=a[（x﹣1）2﹣1]，x∈[﹣1，2]… 若 a＞0，则 f（x）ma x=f（﹣1）=3a … 若 a＜0，则 f（x）max=f（1）=﹣a … （3）当 x≥2 时，不等式 f（x）≥2﹣a 成立，即： a≥ 在区间[2，+∞）， 设 g（x）= ， ∵函数 g（x）在区间[2，+∞）为减函数，g（x）max=g（2）=2 当且仅当 a≥g（x）max 时，不等式 f（x）≥2﹣a 2 在区间[2，+∞）上恒成立， 因此 a≥2 … 　 18．解：（1）∵f（x）= sin2x+cos2x+1 =2（ sin2x+ cos2x）+1 =2sin（2x+ ）+1， ∴f（ ）=2sin（ + ）+1=2sin +1= ， （2）由 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，得 k ≤x≤kπ+ ，k∈Z， ∴f（x）在区间[k ，kπ+ ]，k∈Z 上是增函数， ∴当 k=0 时，f（x）在区间[﹣ ， ]上是增函数， 若函数 f（x）在区间[﹣m，m]上是单调递增函数，则[﹣m，m]⊆[﹣ ， ]， ∴ ，解得 0＜m≤ ， ∴m 的最大值是 ． 　 19．解：（Ⅰ）设 DN 的长为 x（x＞0）米，则 AN=（x+2）米【来源：全,品…中&高*考+网】 ∵DN：AN=DC：AM， ∴AM= ，… ∴SAMPN=AN•AM= ． 由 SAMPN＞32，得 ＞32，又 x＞0， 得 3x2﹣20x+12＞0，解得：0＜x＜1 或 x＞4， 即 DN 长的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）． … （Ⅱ）矩形花坛 AMPN 的面积为 y= =3x+ +12≥2 +12=24…【来源：全,品…中&高*考+网】 当且仅当 3x= ，即 x=2 时，矩形花坛 AMPN 的面积取得最小值 24． 故 DN 的长为 2 米时，矩形 A MPN 的面积最小，最小值为 24 平方米．… 　 20．解：（1）∵a（ tanB﹣1）= ， ∴可得：sinA（ tanB﹣1）= ， ∴tanA（ tanB﹣1）=tanB+tanC， ∴tanA+tanB+tanC= tanAtanB， ∴tanC= ， ∴C=60°． （2）由面积公式：S= absinC=10 ，解得 ab=40， 由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=ab=40， 而 a+b+c=20， 可得 c=20﹣a﹣b，代入上式，化简整理可得 a+b=13，【来源：全,品…中&高*考+网】 所以 a，b 是方程 x2﹣13x+40=0 的两根， 所以 a=8，b=5，c=7． 　 21．解：（1）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数 f′（x）=lnx+1+2ax﹣2a﹣1=lnx+2a（x﹣1）， ∵a＞0， ∴当 0＜x＜1 时，lnx＜0，2a（x﹣1）＜0，此时 f′（x）＜0，函数 f（x）在（0，1）上 单调递减， 当 x＞1 时，lnx＞0，2a（x﹣1）＞0，此时 f′（x）＞0，函数 f（x）在（1，+∞）上单调 递增， ∴函数 f（x）的单调递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）； （2）①当 0＜a＜1 时，由（1）知，f（x）在[a，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）上 单调递增， ∴对任意的 x∈[a，+∞），都有 f（x）≥f（1）=﹣a， ∵对于任意的 x∈[a，+∞），都有 f（x）≥a3﹣a﹣ ， ∴﹣a≥a3﹣a﹣ ，即 a3≤ ，得 a≤ ， ∴当 0＜a≤ 时，对于任意的 x∈[a，+∞），都有 f（x）≥a3﹣a﹣ ， ②求当 a≥1 时，[a，+∞）⊆[1，+∞）， 由（1）得 f（x）在[a，+∞）上单调递增， ∴对于任意的 x∈[a，+∞），有 f（x）≥f（a）=alna+a3﹣2a2﹣a+1， ∵对于任意的 x∈[a，+∞），都有 f（x）≥a3﹣a﹣ ， ∴alna+a3﹣2a2﹣a+1≥a3﹣a﹣ ， 即 alna﹣2a2+ ≥0 设 g（a）=alna﹣2a2+ ，a≥1， 则 g′（a）=lna﹣4a+1， 设 h（a）=lna﹣4a+1，a≥1， 则 h′（a）= ﹣4＜0， ∴h（a）在[1，+∞）上单调递减， 则当 a≥1 时，g′（a）=h（a）≤h（1）=﹣3＜0， 则 g（a）在[1，+∞）上单调递减， ∴当 a≥1 时，g（a）≤g（1）=﹣ ＜0， 此时不等式 alna﹣2a2+ ≥0 不成立， 综上①②，所求 a 的取值范围是（0， ]． 　 22．解：（I）函数 f（x）=ex﹣ax﹣2 的定义 域是 R，f′（x）=ex﹣a， 若 a≤0，则 f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数 f（x）=e x﹣ax﹣2 在（﹣∞，+∞）上单调递 增． 若 a＞0，则当 x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0； 当 x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0； 所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增． （II）由于 a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1 故当 x＞0 时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0 等价于 k＜ （x＞0）① 令 g（x）= ，则 g′（x）= 由（I）知，当 a=1 时，函数 h（x）=ex﹣x﹣2 在（0，+∞）上单调递增， 而 h（1）＜0，h（2）＞0， 所以 h（x）=ex﹣x﹣2 在（0，+∞）上存在唯一的零点， 故 g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2） 当 x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当 x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0； 所以 g（x）在（0，+∞）上的最小值为 g（α）． 又由 g′（α）=0，可得 eα=α+2 所以 g（α）=α+1∈（2，3） 由于①式等价于 k＜g（α），故整数 k 的最大值为 2．