2020年河南省开封市高三二模文科数学试题（含答案） 11页

‎2020年河南省开封市高三二模文科数学试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数（为复数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降；相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（ ）‎ A．月工资增长率最高的为8月份 B．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元 C．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元 D．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元 ‎4．已知：，，则为（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎5．已知向量，，若，则实数的值为（ ）‎ A．3 B．1 C． D．‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线方程为，且此双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某种商品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（ ）‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎70‎ A．45 B．50 C．55 D．60‎ ‎8．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体中的最长棱长是（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎ ‎ ‎9．记不等式组表示的平面区城为，不等式表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点在区域外的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．现有灰色与白色的卡片各八张，分别写有数字1到8．甲、乙、丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面前的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知函数，则函数在处的切线方程为__________．‎ ‎14．若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则__________．‎ ‎15．在中，点是边上的点，且，，，则__________．‎ ‎16．已知，，，悬球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为__________．‎ 三、解答题：共70分。‎ ‎17．已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）数列|满足，．求证：．‎ ‎18．如图，在三棱柱中，为正三角形，，，，点为的中点，点Q为线段的中点．（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．（2）求三棱锥的体积．‎ ‎19．2019年12月1日起郑州市施行《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》，郑州将正式进入城市生活垃圾分类时代．为了增强社区居民对垃圾分类知识的了解，积极参与到垃圾分类的行动中，某社区采用线下和线上相结合的方式开展了一次200名辖区成员参加的“垃圾分类有关知识"专题培训为了了解参训成员对于线上培训、线下培训的满意程度，社区居委会随机迭取了40名辖区成员，将他们分成两组，每组20人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据辖区成员的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图．‎ ‎（1）根据茎叶图判断辖区成员对干线上、线下哪种培训的满意度更高，并说明理由．‎ ‎（2）求这40名辖区成员满意度评分的中位数，并将评分不超过、超过分别视为“基本满意”“非常满意”两个等级．‎ ‎（ⅰ）利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少辖区成员对线上培训非常满意；‎ ‎（ⅱ）根据茎叶图填写下面的列联表．‎ 基本满意 非常满意 总计 线上培训 线下培训 总计 并根据列联表判断能否有99.5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异？‎ 附：‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中．，‎ ‎20．已知椭圆：，点，，均在椭圆上，，点与点关于原点对称，，的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求外接圆的半径的值．‎ ‎21．已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。谓考生在第22、23题中任选一题作簀。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系内，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线的极坐标方程为．（1）把曲线和直线化为直角坐标方程；（2）过原点引一条射线分别交曲线和直线于，，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]已知函数．（1）求函数的最大值；（2）已知，，，求的最大值．‎ 文科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C A B B D C B A C A 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ l3． 14．12 15．2 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）设数列的公差为，由，，成等比数列知，，‎ 所以，化简得，，‎ 由，知．①‎ 又，，②‎ 由①②可得，，‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎（2）当时，‎ ‎，‎ 上式对也成立，所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎．‎ ‎18．解：（1）存在线段的中点满足题意．‎ 证明如下：因为点为线段的中点，为的中点，所以．‎ 又平面，平面，所以平面．‎ 取中点，连接，，则，同理平面．‎ 又，所以平面平面．‎ 又平面，所以平面．‎ ‎（2）由，为正三角形，及棱柱知为正三角形，，，，．‎ 因为，所以，所以，所以．‎ 又，所以平面．‎ 因为，所以平面．又，所以．‎ 因为，所以平面．‎ 又平面，所以，‎ 所以，‎ 所以．‎ ‎19．解：（1）由茎叶图可知，线上培训的满意度评分在茎7．上的最多，关于茎7大致呈对称分布，线下培训的满意度评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，故可以认为线下培训满意度评分比线上培训满意度评分更高，因此辖区成员对线下培训的满意度更高．‎ ‎（2）由茎叶图知．‎ ‎（ⅰ）参加线上培训满意度调查的20名辖区成员中共有6名成员对线上培训非常满意，频率为．又本次培训共200名学员参加，所以对线上培训非常满意的成员约有（人）．‎ ‎（ⅱ）列联表如下：‎ 基本满意 非常满意 总计 线上培训 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 线下培训 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 于是的观测值，由于，‎ 所以没有99.5%的把握认为辖区成员对两种培训方式的满意度有差异．‎ ‎20．解：（1）设，则，．‎ 又，由对称性知，所以．①‎ ‎，‎ 所以．‎ 注意到，所以时上式取最大值，即．②‎ 代人①得，，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由对称性，不妨设点在直线的右上方，因为，所以．‎ 注意到，所以，即直线．‎ 将代入椭圆方程，解得，所以，．‎ 设圆心为，则．由勾股定理：，即．‎ ‎21．解：（1）由已知得当时，．‎ 令，则．当时，；当时，．‎ 易知函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，所以．‎ 则当时，；当时，，‎ 因此在上单调递减，在上单调递增，所以．‎ ‎（2），令．‎ ‎①当时，．‎ 又因为，，所以，‎ 此时在单调递增，所以函数无极值．‎ ‎②当时，，在上单调递增．‎ 又，，所以在上存在唯一零点，设为，所以当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增，‎ 所以当时，函数在上存在极值点．综上所述，的取值范围是．‎ ‎（二）选考题：共10分．‎ ‎22．解：（1）由曲线的参数方程得：，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ 又由得，‎ 将极坐标与直角坐标的转化公式，代入上式，得 直线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）在极坐标系内，设，，，则 ‎，．‎ 由得，，即，‎ 所以，‎ 从而得，且，‎ 转化为直角坐标方程为，‎ 所以点的轨迹方程为（除去原点）．‎ ‎23．解：（1）所以．‎ ‎（2）‎ 令，，由条件知，，，‎ 所以，‎ 等号成立条件为，即，，‎ 所以的最大值为．‎