数学文·安徽省六安市霍邱一中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（文科） Word版含解析] 15页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年安徽省六安市霍邱一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共，60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|1＜x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则集合A∩B=（　　）‎ A．（1，3） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，3）‎ ‎2．设复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（　　）‎ A．﹣i B．i C．﹣1 D．1‎ ‎3．下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．命题“若α=β，则tanα=tanβ”的逆否命题为假命题 B．“x＞1”是“x2﹣1＞0”的必要不充分条件 C．“m＞0＞n”是“＞”的充分不必要条件 D．命题“∃a＞1，a2+2a﹣3＜0”的否定是：“∀a≤1，a2+2a﹣3≥0”‎ ‎4．已知||=1， =（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知a=2，b=ln（），c=π﹣e，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a ‎6．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α的值等于（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎7．将函数f（x）=sinx+3cosx的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣2，则切点的横坐标为（　　）‎ A．3 B．1 C．﹣3或1 D．1或3‎ ‎9．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f（x）﹣f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，则函数y=f（x）的大致图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则A=，c=，b=3，sinB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知f（x）=，则不等式f（2x﹣1）＞f（2﹣x）的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（1，+∞）‎ ‎12．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣4，0） B．[﹣4，0） C．（﹣∞，﹣4） D．（0，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．sin523°sin943°+sin1333°sin313°=　　．‎ ‎14．已知A={x|＜2﹣x＜}，B={x|log2（x﹣2）＜1}，则A∪B=　　．‎ ‎15．若函数f（x）=x（x﹣a）2在x=2处取得极小值，则a=　　．‎ ‎16．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为　　km．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知a＞0，命题p：函数y=ax为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．‎ ‎18．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间上的图象．‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos（π+C）+2b=c．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若cos（﹣C）+2sin（π﹣B）=0，且a=，试判断△ABC的形状，并说明理由．‎ ‎20．在△ABC中，a，b，c分别为角A．B．C的对边，若=（sin2，1），=（﹣2，cos2A+1），且⊥．‎ ‎（Ⅰ）求角A的度数；‎ ‎（Ⅱ）当a=2，且△ABC的面积S=时，求边c的值和△ABC的面积．‎ ‎21．已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．‎ ‎（1）若函数f（x）在（2，+∞）上为单调递增函数，求实数a的范围；‎ ‎（2）试讨论f（x）在[2，e]上的最小值g（a）．‎ ‎22．已知函数f（x）=ex﹣x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省六安市霍邱一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共，60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合A={x|1＜x＜2}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则集合A∩B=（　　）‎ A．（1，3） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，3）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】将A中元素代入y=2x﹣1中求出y的范围，确定出B，求出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：集合A={x|1＜x＜2}=（1，2），‎ B={y|y=2x﹣1，x∈A}=（1，3），‎ 则集合A∩B=（1，2）‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．设复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（　　）‎ A．﹣i B．i C．﹣1 D．1‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z，可得它的虚部．‎ ‎【解答】解：∵复数z====1﹣i，‎ 故该复数的虚部为﹣1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．命题“若α=β，则tanα=tanβ”的逆否命题为假命题 B．“x＞1”是“x2﹣1＞0”的必要不充分条件 C．“m＞0＞n”是“＞”的充分不必要条件 D．命题“∃a＞1，a2+2a﹣3＜0”的否定是：“∀a≤1，a2+2a﹣3≥0”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】判断原命题的真假，结合互为逆否的两个命题真假性相同，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B，C；写出原命题的否定，可判断D．‎ ‎【解答】解：若α=β=，则正切值不存在，故命题“若α=β，则tanα=tanβ”为假命题，故其逆否命题为假命题，故A为真命题；‎ ‎“x2﹣1＞0”⇔“x＜﹣1，或x＞1”，故“x＞1”是“x2﹣1＞0”的充分不必要条件，故B为假命题；‎ ‎“＞”⇔“0＜m＜|n|”，故“m＞0＞n”不是“＞”的充分不必要条件，故C为假命题；‎ 命题“∃a＞1，a2+2a﹣3＜0”的否定是：“∀a＞1，a2+2a﹣3≥0”，故D为假命题；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知||=1， =（0，2），且•=1，则向量与夹角的大小为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．‎ ‎【分析】利用向量的夹角公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵||=1， =（0，2），且•=1，‎ ‎∴===．‎ ‎∴向量与夹角的大小为．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知a=2，b=ln（），c=π﹣e，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a ‎【考点】指数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】根据对数的运算法则计算即可求解．‎ ‎【解答】解：∵a=2=3‎ b=ln（）=ln3﹣lne2=ln3﹣2＜0‎ c=π﹣e＜π0=1‎ ‎∴a＞c＞b 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α的值等于（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】把点P代入直线方程求得tanα的值，进而利用万能公式对sin2α化简整理后，把tanα的值代入即可．‎ ‎【解答】解：∵P（cosα，sinα）在y=﹣2x上，‎ ‎∴sinα=﹣2cosα，即tanα=﹣2．‎ ‎∴sin2α====﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．将函数f（x）=sinx+3cosx的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，可得m=﹣kπ﹣，由此求得m的最小值．‎ ‎【解答】解：把函数y=sinx+3cosx=2cos（x﹣） 的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，‎ 所得到的图象对应函数的解析式为y=2cos（x﹣﹣m），‎ 再根据所得图象关于y轴对称，可得y=2cos（x﹣﹣m）为偶函数，‎ 故有﹣m﹣=kπ，k∈z，即 m=﹣kπ﹣，则当k=﹣1时，m的最小值为，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知曲线y=﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣2，则切点的横坐标为（　　）‎ A．3 B．1 C．﹣3或1 D．1或3‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．‎ ‎【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）‎ ‎∵曲线y=x2﹣3lnx的一条切线的斜率为﹣2，‎ ‎∴y′=x0﹣=﹣2，‎ 解得：x0=﹣3或1，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x0=1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f（x）﹣f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，则函数y=f（x）的大致图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断点的坐标即可得到结果．‎ ‎【解答】解：函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f（x）﹣f（﹣x）=0，可知函数是偶函数，选项A、B错误，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，当x=2时，f（2）=ln2﹣2+1＜0，‎ 所以C错误，D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则A=，c=，b=3，sinB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理可得a，再利用正弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，a2=32+2﹣2××cos=5．解得a=．‎ ‎∴=，解得sinB=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知f（x）=，则不等式f（2x﹣1）＞f（2﹣x）的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（1，+∞）‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】方法一，先判断出函数f（x）在R上为增函数，即可解不等式可得，‎ 方法二：分别将f（x）换成两段上的解析式，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：方法一：当x＞0时，f（x）=ln（x+1），函数为增函数，此时f（x）＞f（0）=0，‎ 当x≤0时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，函数为增函数，此时f（x）≤f（0）=1，‎ ‎∴函数f（x）在R上为增函数，‎ ‎∵不等式f（2x﹣1）＞f（2﹣x），‎ ‎∴2x﹣1＞2﹣x，‎ 解得x＜1，‎ 方法二：‎ 当x＞0时，f（x）=ln（x+1），函数为增函数，则，解得1＜x＜2，‎ 当x≤0时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，函数为增函数，则，解得x≤2，‎ 综上所述不等式的解集为（1，+∞），‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣4，0） B．[﹣4，0） C．（﹣∞，﹣4） D．（0，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】根据题意求出函数的导数并且通过导数求出出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数存在三个不同的零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值大于0，极小值小于0，即可单调答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：f′（x）=3x2﹣6x．‎ 令f′（x）＞0，则x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，则0＜x＜2，‎ 所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），减区间为（0，2），‎ 所以当x=0时函数有极大值f（0）=﹣k，当x=2时函数有极小值f（2）=﹣4﹣k．‎ 因为函数f（x）存在三个不同的零点，‎ 所以f（0）＞0并且f（2）＜0，‎ 解得：﹣4＜k＜0．‎ 所以实数a的取值范围是 （﹣4，0）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．sin523°sin943°+sin1333°sin313°=　　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】利用诱导公式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值．‎ ‎【解答】解：sin523°sin943°+sin1333°sin313°‎ ‎=sin163°sin223°+sin253°sin（﹣47°）‎ ‎=﹣sin17°sin43°+cos17°cos43°‎ ‎=cos（43°+17°）‎ ‎=cos60°‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知A={x|＜2﹣x＜}，B={x|log2（x﹣2）＜1}，则A∪B=　{x|1＜x＜4}　．‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】首先求解指数不等式和对数不等式化简集合A和集合B，然后根据并集的概念取两个集合的并集．‎ ‎【解答】解析：由，得：，所以1＜x＜3，所以，‎ 再由0＜x﹣2＜2，得2＜x＜4，所以B={x|log2（x﹣2）＜1}={x|2＜x＜4}，‎ 所以A∪B={x|1＜x＜3}∪{x|2＜x＜4}={x|1＜x＜4}．‎ 故答案为{x|1＜x＜4}．‎ ‎　‎ ‎15．若函数f（x）=x（x﹣a）2在x=2处取得极小值，则a=　2　．‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值，再验证可得结论．‎ ‎【解答】解：求导函数可得f'（x）=3x2﹣4ax+a2，‎ ‎∴f'（2）=12﹣8a+a2=0，解得a=2，或a=6，‎ 当a=2时，f'（x）=3x2﹣8x+4=（x﹣2）（3x﹣2），函数在x=2处取得极小值，符合题意；‎ 当a=6时，f'（x）=3x2﹣24x+36=3（x﹣2）（x﹣6），函数在x=2处取得极大值，不符合题意，‎ ‎∴a=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎16．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为　7　km．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】分别在△ABC和△ACD中使用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC．‎ ‎【解答】7 解：在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB×BCcosB=89﹣80cosB，‎ 在△ACD中，由余弦定理得AC2=CD2+AD2﹣2AD×CDcosD=34﹣30cosD，‎ ‎∴89﹣80cosB=34﹣30cosD，‎ ‎∵A+C=180°，∴cosB=﹣cosD，‎ ‎∴cosD=﹣，‎ ‎∴AC2=34﹣30×（﹣）=49．‎ ‎∴AC=7．‎ 故答案为7．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知a＞0，命题p：函数y=ax为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】由a＞0，命题p：函数y=ax为减函数．可得0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，可得，利用基本不等式即可得出．‎ 由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．‎ ‎【解答】解：由a＞0，命题p：函数y=ax为减函数．∴0＜a＜1．‎ 命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，∴，‎ ‎∵x∈[，2]时，函数f（x）=x+=2，当且仅当x=1时取等号．‎ ‎∴，又a＞0，∴．‎ ‎∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．‎ ‎①当p真q假时，，解得，a的取值范围是．‎ ‎②当q真p假时，，解得a≥1，a的取值范围是[1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间上的图象．‎ ‎【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．‎ ‎【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，利用两角差的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数，利用周期的计算公式T=求出函数的周期，根据正弦函数的最大值为1求出函数的最大值即可；‎ ‎（2）由（1）的解析式列出表格，在平面坐标系中描出五个点，然后用平滑的曲线作出函数的图象即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x ‎=‎ ‎=‎ 所以函数的最小正周期为π，最大值为；‎ ‎（2）由（1）列表得：‎ x y ‎1‎ ‎1﹣‎ ‎1‎ ‎1+‎ ‎1‎ 故函数y=f（x）在区间上的图象是：‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos（π+C）+2b=c．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若cos（﹣C）+2sin（π﹣B）=0，且a=，试判断△ABC的形状，并说明理由．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）利用诱导公式，余弦定理化简已知可求，结合范围A∈（0，π），可求A的值．‎ ‎（2）利用诱导公式，正弦定理化简等式可得c=2b，又由余弦定理可求b，c的值，理由勾股定理即可判断△ABC的形状．‎ ‎【解答】（本题满分12分）‎ 解：（1）在△ABC中，由2acos（π+C）+2b=c，‎ 可得：﹣2acosC+2b=c．即：，‎ 化简得b2+c2﹣a2=bc，即：，‎ 又因为：A∈（0，π），‎ 所以：．…6分 ‎（2）△ABC的形状为直角三角形，理由如下：‎ 由，得﹣sinC+2sinB=0，即c=2b，‎ 又由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 将a=，A=，c=2b 代入，可得：3=b2+4b2﹣2b2，‎ 解得 b=1，c=2，即a2+b2=c2，‎ 即△ABC的形状为直角三角形，得证．…12分 ‎　‎ ‎20．在△ABC中，a，b，c分别为角A．B．C的对边，若=（sin2，1），=（﹣2，cos2A+1），且⊥．‎ ‎（Ⅰ）求角A的度数；‎ ‎（Ⅱ）当a=2，且△ABC的面积S=时，求边c的值和△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）△ABC中，利用两个向量垂直的性质可得可得 =（2cosA+1）（cosA﹣1）=0，求得cosA 的值，即可得到A的值．‎ ‎（Ⅱ）由△ABC的面积S==ab•sinC，以及余弦定理cosC=，求得tanC的值，可得C的值，从而得到B的值．再由正弦定理求得c=2．根据△ABC的面积S=ac•sinB，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，由=（，1），=（﹣2，cos2A+1），且，‎ 可得 =﹣2+cos2A+1=cos（B+C）﹣1+cos2A+1=2cos2A﹣cosA﹣1=（2cosA+1）（cosA﹣1）=0，‎ ‎∴cosA=﹣或cosA=1（舍去），∴A=120°．‎ ‎（Ⅱ）∵a=2，且△ABC的面积S==ab•sinC，由余弦定理可得 cosC=，‎ ‎∴tanC=，∴C=30°，∴B=30．‎ 再由正弦定理可得，即 =，解得c=2．‎ ‎∴△ABC的面积S=ac•sinB==．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．‎ ‎（1）若函数f（x）在（2，+∞）上为单调递增函数，求实数a的范围；‎ ‎（2）试讨论f（x）在[2，e]上的最小值g（a）．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出，由题意知（x﹣2）（x+a）≥0在（2，+∞）上恒成立，由此能求出a的取值范围．‎ ‎（2）由，根据a≥﹣2，﹣e＜a＜﹣2，a≤﹣e三种情况分类讨论，能求出f（x）的最小值．‎ ‎【解答】（本题满分12分）‎ 解：（1）∵f（x）=x2﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R，‎ ‎∴，‎ 由题意知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，‎ 即 （x﹣2）（x+a）≥0在（2，+∞）上恒成立 解得 a≥﹣2，‎ ‎∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴由f′（x）=0，得x1=2，x2=﹣a，‎ 当a≥﹣2时，由f′（x）＞0，得x＞2或x＜﹣a；由f′（x）＜0，得﹣a＜x＜2．‎ ‎∴f（x）的减区间为（﹣a，2），增区间为（2，+∞），（0，﹣a），‎ ‎∴f（x）在[2，e]上的最小值：‎ g（a）=f（2）==﹣2aln2+2a﹣2．‎ 当﹣e＜a＜﹣2时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a或x＜2；由f′（x）＜0，得2＜x＜﹣a．‎ ‎∴f（x）的减区间为（2，﹣a），增区间为（0，2），（﹣a，+∞），‎ ‎∴f（x）在[2，e]上的最小值：‎ g（a）=f（﹣a）==﹣；‎ 当a≤﹣e时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a或x＞2；由f′（x）＜0，得2＜x＜﹣a．‎ ‎∴f（x）的减区间为（2，﹣a），增区间为（0，2），（﹣a，+∞），‎ ‎∴f（x）在[2，e]上的最小值g（a）=f（e）==．‎ 综上：．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=ex﹣x2+a，x∈R的图象在点x=0处的切线为y=bx．（e≈2.71828）．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=ex﹣x﹣1，确定函数的单调性，可得φ（x）min=φ（0）=0，即可证明：f（x）≥﹣x2+x；‎ ‎（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立对任意的x∈（0，+∞）恒成立，k＜g（x）min=g（1）=0，即可求实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣x2+a，f'（x）=ex﹣2x．‎ 由已知，f（x）=ex﹣x2﹣1．…‎ ‎（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=ex﹣x﹣1，φ'（x）=ex﹣1，由φ'（x）=0，得x=0，‎ 当x∈（﹣∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；‎ 当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．‎ ‎∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥﹣x2+x．…‎ ‎（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立对任意的x∈（0，+∞）恒成立，‎ 令，‎ ‎∴．‎ 由（Ⅱ）可知当x∈（0，+∞）时，ex﹣x﹣1＞0恒成立，…‎ 令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．‎ ‎∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=0．‎ ‎∴k＜g（x）min=g（1）=e﹣2，∴实数k的取值范围为（﹣∞，e﹣2）．…‎ ‎　‎ ‎2016年12月7日