【推荐】第15天+导数的综合应用-试题君之每日一题君2017-2018学年高二数学（文）人教版（快乐寒假）x 5页

第15天 导数的综合应用 高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆‎ 典例在线 ‎（2017新课标全国Ⅲ文）已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当a﹤0时，证明：．‎ ‎【参考答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析．‎ ‎（2）由（1）可知，当时，在处取得最大值，最大值为．‎ 所以等价于，即．‎ 设，则，当时，；当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 故当时取得最大值，最大值为，所以当时，．‎ 从而当时，，即．‎ ‎【解题必备】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：‎ ‎（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可．‎ ‎（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解．‎ 学霸推荐 ‎1．已知点为函数与图象的公共点，若以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为___________________．‎ ‎2．已知函数，，其中为自然对数的底数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的最大值．‎ ‎1．【答案】‎ 所以在上为增函数，在上为减函数，‎ 于是在上的最大值为，故的最大值为．‎ ‎2．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）．‎ ‎①若，则，在上单调递增；‎ ‎②若，当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．‎ 综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 当时，，即，所以函数单调递增，‎ 所以，所以，故实数的最大值为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎