四川省宜宾市叙州区第一中学校2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题 13页

‎2020年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是 ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎3．命题“，”的否定是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知等差数列的前项和为，，若，则 ‎ A．10 B．‎11 ‎C．12 D．13‎ ‎5．猜商品的价格游戏， 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲：主持人：低了! 则此商品价格所在的区间是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．“直线与互相垂直”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．对于平面、、和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是 ‎ A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 ‎9．已知函数，则下列结论中正确的是 A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 D．函数在区间上单调递增 ‎10．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、‎ ‎”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎7 ‎ ‎8 ‎ ‎9‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎11．函数为上的可导函数，其导函数为，且，在中，，则的形状为 ‎ A．等腰锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰钝角三角形 ‎12．已知偶函数满足，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有300个整数解，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则______.‎ ‎14．已知实数，满足条件，则最大值为__________．‎ ‎15．化简： ________.‎ ‎16．已知四面体中，，，为等边三角形，且平面平面，则四面体外接球的表面积为______.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）已知等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）设，求数列的前项和.‎ ‎18．（12分）某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.‎ ‎（I）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；‎ ‎（II）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：‎ 日需求量 ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；‎ ‎②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.‎ ‎19．（12分）如图，在三棱台中，，G，H分别为，上的点，平面平面，，.‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）若，，求二面角的大小.‎ ‎20．（12分）设函数.‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.‎ ‎21．（12分）已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．‎ ‎（I）试求抛物线的方程；‎ ‎（II）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．‎ ‎①求证：直线恒过定点；‎ ‎②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（I）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）若直线与曲线相交于两点，求的面积.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知为正数,且,证明:‎ ‎（I）；‎ ‎（II）.‎ ‎2020年春四川省叙州区第一中学高三三诊模拟考试 理科数学参考答案 ‎1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 9．C 10．A 11．D 12．D ‎13． 14． 15．－1 16．‎ ‎17．（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得 ‎ ‎ ‎（2）由（1）得 ‎ ‎18．（1）由题意，当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 综上，当天的利润关于当天需求量的函数解析式为；‎ ‎（2）①由（1）可得，‎ 当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 所以的分布列为：‎ 所以（元）；‎ ‎；‎ ‎②由题意，加工个蛋糕时，‎ 当时，利润；当时，利润；‎ 当时，利润；当时，利润；‎ 的分布列如下：‎ ‎660‎ ‎780‎ ‎900‎ ‎1020‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.16‎ ‎0.54‎ 则 从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.‎ ‎19．（1）因为平面平面，平面平面，‎ 平面平面，所以.‎ 因为，所以四边形为平行四边形，所以，‎ 因为，所以，H为的中点.‎ 同理G为的中点，所以，因为，所以，‎ 又且，所以四边形是平行四边形，所以，‎ 又，所以. ‎ 又，平面，，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面 ‎（2），，，，，所以.‎ 分别以，，所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.‎ 设平面的一个法向量为，因为，‎ 则，取，得.‎ 设平面的一个法向量为，因为，‎ 则，取，得.‎ 所以，则二面角的大小为 ‎20．（1）函数的定义域为，.‎ 当，即时，，函数在上单调递增. ‎ 当时，令，解得，当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减.‎ 综上所述：‎ 当时，函数在上单调递增，‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）知，当函数有最大值时，，‎ 且最大值， 此时，‎ 即.令.‎ 故在上单调递增，且∴等价于，∴，‎ 故a的取值范围为.‎ ‎21．（1）解依题意，设，，则由，得，‎ 即，因为，，所以，‎ 故，，则，关于轴对称，所以轴，且，‎ 所以.因为，所以，所以，‎ 故，，故抛物线的方程为.‎ ‎（2）①证明 由题意可设直线的方程为，‎ ‎，，由，消去，得，‎ 故，，.因为，所以.‎ 即.整理得，‎ ‎，即，‎ 得，所以或.‎ 当，即时，直线的方程为，‎ 过定点，不合题意舍去.故直线恒过定点.‎ ‎②解 设，则，即，得，‎ 即，即轨迹是以为直径的圆（除去点）.‎ ‎22．解：（1）因为，所以曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，‎ 得，设两点对应的参数分别为，则，‎ 于是，‎ 直线的普通方程为，则原点到直线的距离，所以.‎ ‎23．(1)将a+b+c＝2平方得:，‎ 由基本不等式知:，三式相加得:，‎ 则 所以，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立 ‎(2)由，同理 则，‎ 即当且仅当时等号成立