【数学】2018届一轮复习人教A版第五章平面向量、复数第2讲平面向量基本定理与坐标表示学案 6页

第2讲　平面向量基本定理与坐标表示 最新考纲　1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 知 识 梳 理 ‎1.平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.‎ ‎3.平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　　)‎ ‎(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.(　　)‎ ‎(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ‎1a＋μ1b＝λ‎2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)‎ ‎(5)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.(　　)‎ 解析　(1)共线向量不可以作为基底.‎ ‎(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.‎ ‎(4)若b＝(0，0)，则＝无意义.‎ ‎(5)向量a与b的夹角为∠ABC的补角.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×‎ ‎2.(2017·东阳月考)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则‎2a＋b等于(　　)‎ A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9)‎ 解析　‎2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D.‎ 答案　D ‎3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A.(－7，－4) B.(7，4)‎ C.(－1，4) D.(1，4)‎ 解析　根据题意得＝(3，1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.‎ 答案　A ‎4.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ 解析　因为a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.‎ 答案　－6‎ ‎5.(必修4P‎101A3改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.‎ 解析　设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得 答案　(1，5)‎ ‎6.(2017·浙江五校联考)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0.‎ ‎(1)用，表示为________；‎ ‎(2)若点D是OB的中点，则四边形OCAD的形状是________.‎ 解析　(1)因为2＋＝0，所以2(－)＋(－)＝0，‎ 所以＝2－.‎ ‎(2)如图，D为OB的中点，则＝＋＝－＋＝(2－).故＝，‎ 即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形.‎ 答案　(1)2－　(2)梯形 考点一　平面向量基本定理及其应用 ‎【例1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2017·金华调研)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________.‎ 解析　(1)如图所示，＋＝(－)＋(＋)‎ ‎＝＋＝＋＝(＋)＝.‎ ‎(2)设＝k，k∈R.‎ 因为＝＋＝＋k＝＋k(－)‎ ‎＝＋k＝(1－k)＋，‎ 且＝m＋，‎ 所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.‎ 答案　(1)A　(2) 规律方法　(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.‎ ‎(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.‎ ‎【训练1】 (1)如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.‎ ‎(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，‎ E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.‎ 解析　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.‎ ‎(2)由题意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.‎ 答案　(1)a＋b　(2) 考点二　平面向量的坐标运算 ‎【例2】 (1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若‎3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)‎ A.(－23，－12) B.(23，12)‎ C.(7，0) D.(－7，0)‎ ‎(2)(2017·北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ 解析　(1)‎3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.‎ ‎(2)以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴解之得λ＝－2且μ＝－，因此，＝＝4，故选D.‎ 答案　(1)A　(2)D 规律方法　(1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.‎ ‎(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.‎ ‎【训练2】 (1)已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝‎3a，则点B的坐标为(　　)‎ A.(7，4) B.(7，14)‎ C.(5，4) D.(5，14)‎ ‎(2)(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.‎ 解析　(1)设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5).‎ 由＝‎3a，得解得 ‎(2)由向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(‎2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则解得故m－n＝－3.‎ 答案　(1)D　(2)－3‎ 考点三　平面向量共线的坐标表示 ‎【例3】 (1)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则‎2a＋3b＝________.‎ ‎(2)(必修4P101练习7改编)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________.‎ 解析　(1)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，‎ 得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4.‎ 从而b＝(－2，－4)，‎ 那么‎2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).‎ ‎(2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，‎ 则＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，‎ 即解得 所以点P的坐标为(8，－15).‎ 答案　(1)(－4，－8)　(2)(8，－15)‎ 规律方法　(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.‎ ‎【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________.‎ 解析　(1)＝－＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，‎ ‎∴与同方向的单位向量为＝.‎ ‎(2)＝(a－1，3)，＝(－3，4)，根据题意∥，‎ ‎∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即‎4a＝－5，∴a＝－.‎ 答案　(1)A　(2)－ ‎[思想方法]‎ ‎1.对平面向量基本定理的理解 ‎(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.‎ ‎(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.‎ ‎(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.‎ ‎2.向量共线的作用 向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2－x2y1＝0.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标..‎ ‎2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. ‎