人教版高中数学必修二检测：第四章圆与方程课后提升作业三十4-3-2含解析 6页

课后提升作业 三十 空间两点间的距离公式 (45 分钟 70 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1.若 A(1，3，-2)，B(-2，3，2)，则 A，B 两点间的距离为 ( ) A. B.25 C.5 D. 【解析】选 C.|AB|= =5. 2.已知点 A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM|等于 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 B.AB 的中点 M ，它到点 C 的距离 |CM|= = . 3.(2016·绵阳高一检测)正方体不在同一表面上的两顶点 A(-1，2，-1)， B(3，-2，3)，则正方体的体积为 ( ) A.64 B.8 C.32 D.128 【解析】选 A.设正方体棱长为 a， 则 a= ， 所以 a=4，所以 V=a3=64. 4.点 B 是点 A(1，2，3)在坐标平面 yOz 内的射影，则|OB|等于 ( ) A. B. C.2 D. 【 解 析 】 选 B. 因 为 点 B 坐 标 为 (0 ， 2 ， 3) ， 所 以 |OB|= = . 5.已知△ABC 顶点坐标分别为 A(-1，2，3)，B(2，-2，3)，C ， 则△ABC 的形状为 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选 C.因为|AB|=5，|BC|= ，|AC|= ， 所以|AB|2=|BC|2+|AC|2，所以△ABC 为直角三角形. 6.已知点 A(1，-3，2)，B(-1，0，3)，在 z 轴上求一点 M，使得|AM|=|MB|， 则 M 的竖坐标为 ( ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 【解析】选 B.设 M(0，0，z)， 则 = ，.Com] 解得 z=-2. 7.(2016·广州高一检测)设点 P(a，b，c)关于原点的对称点为 P′，则 |PP′|= ( ) A. B.2 C.|a+b+c| D.2|a+b+c| 【解析】选 B.P(a，b，c)关于原点的对称点 P′(-a，-b，-c)， 则|PP′|= =2 ，故选 B. 8.在空间直角坐标系中，以 A(4， 1，9)，B(10，-1，6)，C(x，4，3) 为顶点的△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，则实数 x 的值为 ( ) A.-2 B.2 C.6 D.2 或 6 【解析】选 D.因为以 A，B，C 为顶点的△ABC 是以 BC 为底的等腰三角 形.所以|AB|=|AC|， 所以 = ， 所以 7= ，所以 x=2 或 x=6. 二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 9.已知点 A(3，0，1)和点 B(1，0，-3)，且 M 为 y 轴上一点.若△MAB 为等边三角形，则 M 点坐标为________. 【解析】设点 M 的坐标为(0，y，0). 因为△MAB 为等边三角形， 所以|MA|=|MB|=|AB|. 因为|MA|=|MB|= = ， |AB|= = ， 所以 = ， 解得 y=± ， 故 M 点坐标为(0， ，0)或(0，- ，0). 答案：(0，± ，0) 10.已知点 A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则 A，B 两点间距离的最小值 是________. 【解题指南】先利用两点间距离公式用 t 表示出 A，B 两点之间的距离， 然后借助二次函数知识求|AB|的最小值. 【解析】|AB|= = = = . 当 t=时，|AB|最小= . 答案： 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 11.点 P 在 xOy 平面内的直线 3x-y+6=0 上，点 P 到点 M(2a，2a+5，a+2) 的距离最小，求点 P 的坐标. 【解析】由已知可设点 P(a，3a+6，0)，则 |PM|= = = ， 所以当 a=-1 时，|PM|取最小值， 所以在 xOy 平面内的直线 3x-y+6=0 上， 取点 P(-1，3，0)时， 点 P 到点 M 的距离最小. 【延伸探究】若把题干中“M(2a，2a+5，a+2)”改为“M(2，5，2)”， 则结论如何？ 【解析】由已知可设点 P(a，3a+6，0)，则 |PM|= = = ， 所以当 a=- 时， |PM|取最小值， 所以在 xOy 平面内的直线 3x-y+6=0 上， 取点 P 时， 点 P 到点 M 的距离最小. 12.如图所示，正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a，P，Q 分别是 D′ B，B′C 的中点，求 PQ 的长. 【解析】以 D 为坐标原点，DA，DC，DD′所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 由题意得，B(a，a，0)，D′(0，0，a)， 所以 P . 又 C(0，a，0)，B′(a，a，a)， 所以 Q . 所以|PQ|= =. 【能力挑战题】 在四面体 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，若|PA|=|PB|=|PC|=a，求点 P 到平面 ABC 的距离. 【解题指南】以 P 为原点建立空间直角坐标系，求出等边三角形 ABC 的 垂心 H 的坐标，然后利用两点间距离公式求解即可. 【解析】根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 Pxyz， .Com] 则 P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a). 过 P 作 PH⊥平面 ABC， 交平面 ABC 于 H， 则 PH 的长即为点 P 到平面 ABC 的距离. 因为|PA|=|PB|=|PC|， 所以 H 为△ABC 的外心. 又因为△ABC 为正三角形， 所以 H 为△ABC 的重心， 可得 H 点的坐标为，，， 所以|PH|= = a， 所以点 P 到平面 ABC 的距离为 a.