【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版4-3三角函数的图象与性质学案 20页

‎§4.3　三角函数的图象与性质 最新考纲 考情考向分析 ‎1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．‎ ‎2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.‎ 以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.‎ ‎1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ‎(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．‎ ‎(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．‎ ‎2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) ‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 ‎[－1,1]‎ ‎[－1,1]‎ R 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ‎[2kπ－π，2kπ]‎ 递减区间 ‎[2kπ，2kπ＋π]‎ 无 对称中心 ‎(kπ，0)‎ 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 概念方法微思考 ‎1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？‎ 提示　正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．‎ ‎2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？‎ 提示　(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；‎ ‎(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　×　)‎ ‎(2)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)‎ ‎(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)‎ ‎(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)‎ ‎(5)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．函数f(x)＝cos的最小正周期是________．‎ 答案　π ‎3．y＝3sin在区间上的值域是________．‎ 答案　 解析　当x∈时，2x－∈，‎ sin∈，‎ 故3sin∈，‎ 即y＝3sin的值域为.‎ ‎4．函数y＝－tan的单调递减区间为________________．‎ 答案　(k∈Z)‎ 解析　由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，‎ 得＋cos 23°>cos 97°‎ 解析　sin 68°＝cos 22°，‎ 又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，‎ ‎∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.‎ 题型一　三角函数的定义域 ‎1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D.‎ ‎2．函数y＝的定义域为________．‎ 答案　(k∈Z)‎ 解析　方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．‎ 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.‎ 方法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．‎ 所以定义域为.‎ ‎3．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．‎ 答案　 解析　要使函数有意义，则 即 解得 所以2kπ时，f′(x)>0，f(x)单调递增，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)有最小值．‎ 又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，‎ ‎∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，‎ 即f(x)min＝2××＝－.‎ 思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：‎ ‎(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；‎ ‎(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；‎ ‎(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．‎ ‎(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．‎ 跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是______．‎ 答案　 解析　∵x∈，∴x＋∈，‎ ‎∵当x＋∈时，f(x)的值域为，‎ ‎∴由函数的图象(图略)知，≤a＋≤，‎ ‎∴≤a≤π.‎ ‎(2)(2018·通辽质检)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为__________．‎ 答案　 解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.‎ ‎∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．‎ 当t＝1时，ymax＝1；‎ 当t＝－时，ymin＝－－.‎ ‎∴函数的值域为.‎ 题型三　三角函数的周期性与对称性 例2 (1)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足10，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由0，得 ＋<ωx＋<ωπ＋，‎ 又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，‎ 所以k∈Z，‎ 解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.‎ 又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.‎ 引申探究 本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是_______．‎ 答案　 解析　函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则k∈Z，‎ 解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，‎ 又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，‎ 得k＝1，所以ω∈.‎ 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．‎ ‎(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．‎ 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 答案　D 解析　函数的解析式可化为f(x)＝－2sin.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ 又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，‎ ‎∴ 解得≤a<.‎ 三角函数的图象与性质 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．‎ 例 (1)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)‎ A．①②③ B．①③④‎ C．②④ D．①③‎ 答案　A 解析　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；‎ ‎②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；‎ ‎③y＝cos的最小正周期T＝＝π；‎ ‎④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.‎ ‎(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π ‎ B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ ‎ D．f(x)在上单调递减 答案　D 解析　A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A 项正确；‎ B项，因为f(x)＝cos的图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；‎ C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，‎ 所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；‎ D项，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，‎ 单调递增区间为(k∈Z)，‎ 所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误．‎ 故选D.‎ ‎(3)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为________．‎ 答案　，k∈Z 解析　由图象知，周期T＝2×＝2，‎ ‎∴＝2，∴ω＝π.‎ 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，‎ ‎∴f(x)＝cos.‎ 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，‎ 得2k－0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．‎ 答案　π 解析　记f(x)的最小正周期为T.‎ 由题意知≥－＝，‎ 又f＝f＝－f，‎ 且－＝，‎ 可作出示意图如图所示(一种情况)：‎ ‎∴x1＝×＝，‎ x2＝×＝，‎ ‎∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.‎ ‎1．函数y＝2sin的图象(　　)‎ A．关于原点对称 B．关于点对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x＝对称 答案　B 解析　∵当x＝－时，函数y＝2sin＝0，‎ ‎∴函数图象关于点对称．‎ ‎2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)‎ A．－1 B．－ C. D．0‎ 答案　B 解析　由已知x∈，‎ 得2x－∈，‎ 所以sin∈，‎ 故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.‎ ‎3．函数y＝sin x2的图象是(　　)‎ 答案　D 解析　函数y＝sin x2为偶函数，排除A，C；又当x＝时函数取得最大值，排除B，故选D.‎ ‎4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)‎ A．3，－1 B．3，－2‎ C．2，－1 D．2，－2‎ 答案　D 解析　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x ‎＝－sin2x－2sin x＋1，‎ 令t＝sin x，‎ 则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，‎ 所以ymax＝2，ymin＝－2.‎ ‎5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sin φ＝，‎ ‎∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，‎ 则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，‎ 则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，‎ ‎∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．‎ ‎6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对任意x∈R恒成立，且f>0，则f(x)的单调递减区间是(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 答案　C 解析　由题意可得函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，故有2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.又f＝sin>0，所以φ＝2nπ，n∈Z，所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin 2x.令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.‎ ‎7．函数y＝的定义域为________．‎ 答案　 解析　要使函数有意义必须有tan≠0，‎ 则 所以x－≠，k∈Z，‎ 所以x≠＋，k∈Z，‎ 所以原函数的定义域为.‎ ‎8．(2018·赤峰模拟)设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．‎ 答案　2‎ 解析　|x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，‎ 又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2.‎ ‎9．已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．‎ 答案　 解析　由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，‎ ‎∴得函数f(x)的最小正周期为＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________．(填序号)‎ ‎①f(x)的周期是；‎ ‎②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；‎ ‎③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；‎ ‎④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.‎ 答案　④‎ 解析　函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－0)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；‎ ‎(2)讨论函数f(x)在上的单调性．‎ 解　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin(ω>0)，且T＝π，‎ ‎∴ω＝2，f(x)＝sin.‎ 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，‎ 即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．‎ ‎(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．因为x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，令k＝0，得f(x)在 上的单调递减区间为.‎ ‎13．定义运算：a*b＝例如1*2=1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为(　　)‎ A. B．[－1,1]‎ C. D. 答案　D 解析　根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sin x≥cos x，此时f(x)＝cos x，f(x)∈，当0≤x<或sin x，此时f(x)＝sin x，f(x)∈∪[－1,0]．综上知f(x)的值域为.‎ ‎14．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)>1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，∴f(x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f(x)>1对任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0对任意x∈恒成立，∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.结合|φ|<可得，当k＝0时，φ的取值范围为.‎ ‎15．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．‎ 答案　[0，＋∞)‎ 解析　f(x)＝cos(2x＋θ)，‎ 当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，‎ 由函数f(x)在上是增函数得k∈Z，‎ 则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．‎ 又0≤θ≤，‎ ‎∴0≤θ≤，‎ ‎∵f＝cos，‎ 又≤θ＋≤，‎ ‎∴fmax＝0，‎ ‎∴m≥0.‎ ‎16．设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期．‎ ‎(2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在上的值域．‎ 解　(1)由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，‎ 可得sin＝±1，‎ ‎∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，‎ 即ω＝＋(k∈Z)．‎ 又0<ω<，‎ ‎∴ω＝，‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期为3π.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝2sin＋m，‎ ‎∵f(π)＝0，‎ ‎∴2sin＋m＝0，‎ ‎∴m＝－2，‎ ‎∴f(x)＝2sin－2，‎ 当0≤x≤时，－≤x－≤，‎ ‎－≤sin≤1.‎ ‎∴－3≤f(x)≤0，‎ 故函数f(x)在上的值域为.‎