天津市河西区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 15页

河西区2019—2020学年度第一学期高二年级期末质量调查 数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若向量，向量，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，，则，代入运算即可得解.‎ ‎【详解】解:因为向量，向量，‎ 则,‎ 则,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了向量减法的坐标运算，属基础题.‎ ‎2.设是椭圆上的一动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义即可得解.‎ ‎【详解】解：设椭圆的两个焦点为，点为椭圆上的点，‎ 由椭圆的定义有：，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义，属基础题.‎ ‎3.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先将抛物线方程化为标准方程，再求抛物线的准线方程即可.‎ ‎【详解】解：由抛物线的方程为，‎ 化为标准式可得，‎ 即抛物线的准线方程是：，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，重点考查了抛物线的准线方程，属基础题.‎ ‎4.中心在坐标原心、焦点在x轴，且长轴长为18、焦距为12的椭圆的标准方程为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，求得a、b、c的值，进而可得椭圆的标准方程．‎ ‎【详解】由题可得，，故，，‎ 又焦点在轴上，所以所求椭圆的标准方程为，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，注意焦点的位置，属于基础题．‎ ‎5.如图，在三棱柱中，为的中点，若，则 可表示为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,故本题正确答案为 ‎6.已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由e==2得4==1+,‎ ‎∴=3.‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x,抛物线x2=2py的焦点是（0,）,‎ 它到直线y=±x的距离d=2==,‎ ‎∴p=8.‎ ‎∴抛物线方程为x2=16y.‎ 故选D.‎ ‎7.若两个向量,则平面的一个法向量为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设平面ABC的法向量为，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解.‎ ‎【详解】设平面ABC的法向量为，‎ 则，即，令，则，‎ 即平面ABC的一个法向量为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8.已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出点坐标，作关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值．‎ ‎【详解】解：抛物线的准线方程为，‎ ‎∵，∴到准线的距离为，故点纵坐标为，‎ 把代入抛物线方程可得．‎ 不妨设在第一象限，则，‎ 点关于准线的对称点为，连接，‎ 则，于是 故的最小值为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．‎ ‎9.设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点，且满足，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出双曲线渐近线方程，然后求出，再利用向量数量积运算即可得解.‎ ‎【详解】解：由双曲线方程为，‎ 则其渐近线方程为，‎ 联立，解得或，‎ 即，‎ 又，‎ 则，，‎ 则，‎ 解得，‎ 即，‎ 即，‎ 即，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，重点考查了双曲线的离心率，属中档题.‎ 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分.‎ ‎10.若向量，向量，且，则_____，_____.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). -2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，再求解即可.‎ ‎【详解】解：由向量，向量，且，‎ 则，‎ 解得：，‎ 故答案为：1，-2.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量共线的坐标运算，属基础题.‎ ‎11.若双曲线上一点到左焦点的距离为4，则点到右焦点的距离是 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由双曲线方程可知，由定义得 考点：双曲线定义 点评：双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值等于 ‎12.若方程表示焦点在轴的椭圆，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的几何性质可得，再解不等式组即可得解.‎ ‎【详解】解：由方程表示焦点在轴的椭圆，‎ 则，解得：，即，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，属基础题.‎ ‎13.在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出向量与所成角的余弦值，再求异面直线与所成角的余弦值即可.‎ ‎【详解】解：由，，，‎ 则,,‎ 则向量与所成角的余弦值为,‎ 则异面直线与所成角的余弦值为,‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量坐标运算，重点考查了空间向量的应用，属基础题.‎ ‎14.已知过点M（1，0）的直线AB与抛物线y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为______．‎ ‎【答案】2x+y-2=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线AB的方程并代入抛物线方程，根据韦达定理以及斜率公式，可得的值，进而得到直线的方程．‎ ‎【详解】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+1，代入y2=2x得，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-2，y1+y2=2t，‎ 所以，∴，解得，‎ ‎∴直线AB的方程为：x=+1，即2x+y-2=0．‎ 故答案为2x+y-2=0．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及直线方程的求解，其中设出直线的方程，代入抛物线的方程，利用韦达定理以及斜率公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．‎ ‎15.在空间直角坐标系中，，，且，则的最小值是________，最大值是__________.‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). 8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用空间向量数量积运算可得，再利用椭圆的参数方程求最值即可得解.‎ ‎【详解】解：因为，，且，‎ 所以，‎ 即，‎ 设，‎ 则 ，‎ 又，‎ 则，‎ 故答案为：0，8.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量数量积运算，重点考查了椭圆的参数方程，属中档题.‎ 三.解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点 ‎.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）求双曲线的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.‎ ‎【答案】（1）；（2）实轴长2，离心率为，距离为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由共渐近线双曲线方程的求法求解即可；‎ ‎（2）由双曲线方程及点到直线距离求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）解：在双曲线中，，，‎ 则渐近线方程为，‎ ‎∵双曲线与双曲线有相同的渐近线，‎ ‎，‎ ‎∴方程可化为，‎ 又双曲线经过点，代入方程，‎ ‎，解得，，‎ ‎∴双曲线的方程为. ‎ ‎（2）解；由（1）知双曲线中，‎ ‎，，，‎ ‎∴实轴长，离心率为，‎ 设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，‎ ‎，‎ 即焦点到渐近线的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查了共渐近线双曲线方程的求法，重点考查了点到直线的距离，属基础题.‎ ‎17.如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）若点在线段（不包含端点）上，且直线平面，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，再标出点的坐标，利用空间向量的应用即可得证；‎ ‎（2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，再利用数量积公式求解即可；‎ ‎（3）假设棱上存在点，使平面，由求解即可.‎ ‎【详解】证明：（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，‎ 则，，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则由，得，取，得.‎ ‎，，‎ 又平面，‎ 平面. ‎ ‎（2）解：由（1）知是平面的一个法向量，‎ 又是平面的一个法向量.‎ 设二面角的平面角为，由图可知，,‎ 故二面角的平面角的余弦值为. ‎ ‎（3）假设棱上存在点，使平面，‎ 设，‎ 则，‎ ‎，，，‎ 由得，‎ 解得，‎ ‎，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的综合应用，重点考查了运算能力，属中档题.‎ ‎18.已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. ‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.‎ 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，‎ 所以，. ‎ 又 解得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）解：设 由题意可设直线的方程为：，‎ 联立消去得，‎ 当，所以，即或时 ‎.‎ 所以 点到直线的距离 所以，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当且仅当，即，‎ 解得时取等号，‎ 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.‎