命题角度6-4 导数与不等式（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列 15页

‎2018届高考数学（文）大题狂练 命题角度4：导数与不等式 ‎1.已知函数在处取得极小值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）当时，求证.‎ ‎【答案】（1）.（2）见解析 ‎【解析】试题分析：(1)求出的导数, ,可得a的值; (2)求出的解析式,令,求得导数,令,进而得到的单调性,即有的最小值,即可得证.‎ 所以在处取得极小值，符合题意.‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，∴.‎ 令，即.‎ ‎，由得.‎ 由得，由得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴所以在上最小值为.‎ 于是在上，都有.‎ ‎∴得证.‎ ‎2.已知函数（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）设，其中为的导函数．证明：对任意， ．‎ ‎【答案】（1）；（2）单调递增区间为；单调递减区间为；（3）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导可得 ；（2）由（1）知， ．设,再利用导数工具进行求解；（3）由（2）可知，当时， ，故只需证明在时成立,再利用导数工具进行证明．‎ 试题解析：（1），由已知， ， ．‎ ‎（2）由（1）知， ．‎ 设，则，即在上是减函数，‎ 由知，当时，从而，‎ 当时，从而，‎ 综上可知， 的单调递增区间是，单调递减区间是．‎ 综上，对任意， ．‎ 考点：1、函数的导数；2、单调性；3、不等式的证明．‎ ‎【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想．利用导数处理不等式问题．在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题．常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用．‎ ‎3.已知函数， （， 为自然对数的底数）.‎ ‎（1）试讨论函数的极值情况；‎ ‎（2）证明：当且时，总有.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求定义域内的所有根；判断的根左右两侧值的符号即可得结果；（2）当时， ，研究函数的单调性，两次求导，可证明在内为单调递增函数，进而可得当时， ，即可得结果.‎ ‎（2）证法一：当时， .‎ 设函数 ，‎ 则.记，‎ 则.‎ 当变化时， ， 的变化情况如下表：‎ 由上表可知，‎ 而 ，‎ 由，知，‎ 所以，‎ 所以，即.‎ 所以在内为单调递增函数.‎ 所以当时， .‎ 即当且时， .‎ 所以当且时，总有.‎ 证法二：当时， .‎ 因为且，故只需证.‎ 当时， 成立；‎ 当时， ，即证.‎ 令，则由，得.‎ 在内， ；‎ 在内， ，‎ 所以.‎ 故当时， 成立.‎ 综上得原不等式成立.‎ ‎4.已知，曲线在处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明： .‎ ‎【答案】（1）;（2）证明见解析；‎ ‎【解析】试题分析：（1）由切线方程得到，解得；（2）要证明，只需证即可，通过求导得到,得到在上单调递增，则存在满足， 时， ，当 时， ，则当时， 取极 小值，也是最小值，所以最小值为， .‎ 试题解析：‎ 解：（1）函数的定义域为，‎ ‎，由题意得， ‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 则，所以在上单调递增，‎ 又，所以在上有唯一的实数根，且，‎ 当时， ，当 时， ，‎ 从而当时， 取极小值，也是最小值，‎ 由，得，则，‎ 故，所以.‎ ‎5.已知函数，函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求证不等式.‎ ‎【答案】(1) g(x)的增区间，减区间;(2) ;(3)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的正负情况研究函数的单调性；（2）恒成立求参转化为 恒成立，求到研究函数单调性和最值；（3）转化为在上恒成立。通过求导研究函数单调性，求得函数最值。‎ ‎（Ⅰ）g(x)的定义域为 ， ， 当时， 在上恒成立 所以g(x)的增区间，无减区间当时，令得 令得所以g(x)的增区间，减区间 .‎ 点睛：这是一道比较综合的导数题目，首先研究函数的单调区间，一般是通过求导，研究导函数的正负，来判断。恒成立求参的问题，可以转化为函数最值问题，或者含参讨论，证明不等式恒成立，也可以转化为函数最值问题，或者转化为一边函数的最小值，大于另一边函数的最大值，这种方法仅限于证明。‎ ‎6.设函数.‎ ‎（1）试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）如果且关于的方程有两解， （），证明.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)求解函数的导函数，分类讨论可得：‎ ‎①若，则当时，数单调递减，当时， 函数单调递增；‎ ‎②若，函数单调递增；‎ ‎③若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.‎ ‎(2)原问题即证明，构造新函数 ，结合新函数的性质和题意即可证得结论.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，可知 .‎ 因为函数的定义域为，所以，‎ ‎①若，则当时， ，函数单调递减，当时， ，函数单调递增；‎ ‎②若，则当在内恒成立，函数单调递增；‎ ‎③若，则当时， ，函数单调递减，当时， ，函数单调递增.‎ ‎（2）要证，只需证.‎ 设 ，‎ 因为，‎ 所以为单调递增函数.‎ 所以只需证，‎ 即证，‎ 只需证 .（*）‎ 又， ，‎ 所以两式相减，并整理，得 .‎ 把 代入（*）式，‎ 得只需证，‎ 可化为.‎ 令，得只需证.‎ 令（），‎ 则 ，‎ 所以在其定义域上为增函数，‎ 所以.‎ 综上得原不等式成立.‎ ‎7. 已知， ．‎ ‎（1）求在点处的切线；‎ ‎（2）讨论的单调性；‎ ‎（3）当， 时，求证： ．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，求出在处的导数值，即为切线斜率，代入直线方程的点斜式求得切线方程； （2）求出原函数的导函数，可得当时导函数在定义域内大于0恒成立，当a＜0时求出导函数的零点，由零点对函数的定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到函数的单调区间； （3）令，求其导函数，得到，故， 从而证得答案．‎ ‎ ‎ ‎（3）先证明： 时， ，‎ 令，‎ 则时， ， 单调递减，故，‎ 即． ‎ 故，‎ 令 则（），‎ 而，‎ 故在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 由于，故，‎ 所以在内恒成立，故在内单调递增，‎ ‎，‎ 所以，‎ 故问题得证． ‎ 点睛：导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略利用导数证明不等式：①证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x).‎ ‎8.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：对任意的，有.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求导，通过讨论导函数的零点的大小确定导函数的符号，进而确定函数的单调性；（2）将问题合理等价转化为证明不等式恒成立问题，再转化为求函数的最值问题，证明即可.‎ 试题解析：（1）由题意知： ‎ 当时，由，得且，‎ ‎， ，‎ ‎①当时， 在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎②当时， 在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎③当时， 在上单调递增；‎ ‎④当时， 在和上单调递增，在上单调递减.‎ 所以在上递减，在上递增 所以 又，∴，即，‎ 所以在上恒成立，‎ 故当时，对任意的， 恒成立.‎ ‎9.已知函数是自然对数的底数).‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)若,当时,求函数的最大值;‎ ‎(3)若且,求证: .‎ ‎【答案】（1）在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：(1) 求出， 得增区间， 得减区间；(2)利用导数研究函数的单调性即可求函数的最大值；（3）化简已知得 ‎, 即，然后利用分析法证明原不等式.‎ 试题解析: (1) 的定义域为,且,‎ 令, ‎ 在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2) ,‎ ‎,‎ 当时, ,,‎ 当时, ,‎ 在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎.‎ ‎(3) , 即.‎ 由(1)知 在上单调递增,在上单调递减,且,‎ 则 要证,即证,即证,即证,‎ 即证,由于,即证.‎ 令 ‎ 恒成立 在递增, 在恒成立,‎ 原不等式成立.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.‎ ‎10.已知函数在上存在两个零点， ，且.‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若方程的两根为， ，且，求证： .‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ），‎ 令，则.‎ 的符号以及单调性和极值分布情况如下表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 最小 增 ‎∴.‎ 当时， ； 时， ，‎ 故在区间上存在两个零点时， .‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， ，且，‎ 又，‎ 则有， ，且，‎ ‎∴在上单调递减， 上单调递增，且，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴，得证.‎