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- 2021-06-10 发布
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课时分层训练(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
(对应学生用书第321页)
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是( )
A.x-y+1=0 B.x-y-1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+1=0
D [直线的斜率为k=tan 135°=-1,所以直线方程为y=-x-1,即x+y+1=0.]
2.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足( )
A.a+b=1 B.a-b=1
C.a+b=0 D.a-b=0
D [由sin α+cos α=0,得=-1,即tan α=-1.
又因为tan α=-,所以-=-1,则a=b.]
3.直线l沿x轴负方向平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来位置,那么l的斜率为( )
A.- B.-3
C. D.3
A [结合图形图略可知选A.]
4.(2017·豫南九校联考)若θ是直线l的倾斜角,且sin θ+cos θ=,则l的斜率为( ) 【导学号:97190266】
A.- B.-或-2
C.或2 D.-2
D [∵sin θ+cos θ=①
∴(sin θ+cos θ)2=1+sin 2θ=,
∴2sin θcos θ=-,∴(sin θ-cos θ)2=,
易知sin θ>0,cos θ<0,
∴sin θ-cos θ=,②
由①②解得∴tan θ=-2,即l的斜率为-2,故选D.]
5.直线x-2y+b=0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是( )
A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞)
C [令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,所以所围三角形的面积为|-b
|=b2,所以b2≤1,所以b2≤4,又由题意知b≠0,所以b∈[-2,0)∪(0,2].]
二、填空题
6.直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于P,Q两点,线段PQ中点是(1,-1),则l的斜率是________.
- [设P(m,1),则Q(2-m,-3),
∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,
∴P(-2,1),
∴k==-.]
7.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是________.
x-y+3=0 [圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l:y-3=x-0,化简得x-y+3=0.]
8.若直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是________. 【导学号:97190267】
(-∞,-1)∪ [设直线l的斜率为k,则k≠0,直线方程为y-2=k(x-1),在x轴上的截距为1-.令-3<1-<3,解得k<-1或k>.]
三、解答题
9.已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:
(1)BC边所在直线的方程;
(2)BC边上中线AD所在直线的方程;
(3)BC边的垂直平分线DE的方程.
[解] (1)直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,由两点式得直线BC的方程为=,即x+2y-4=0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(m,n),
则m==0,n==2.
BC边的中线AD所在直线过A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得AD所在直线的方程为+=1,即2x-3y+6=0.
(3)由(1)知,直线BC的斜率k1=-,
则BC边的垂直平分线DE的斜率k2=2.
由(2)知,点D的坐标为(0,2).
由点斜式得直线DE的方程为y-2=2(x-0)
即2x-y+2=0.
10.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 【导学号:97190268】
[解] (1)当直线过原点时,在x轴和y轴上的截距为零,
∴a=2,方程即为3x+y=0.
当直线不过原点时,截距存在且均不为0,
∴=a-2,即a+1=1,
∴a=0,方程即为x+y+2=0.
因此直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,
∴或∴a≤-1.
综上可知,a的取值范围是a≤-1.
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
11.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程为( )
A.2x+y-7=0 B.x+y-5=0
C.2y-x-4=0 D.2x-y-1=0
B [由条件得点A的坐标为(-1,0),点P的坐标为(2,3),因为|PA|=|PB|,根据对称性可知,点B的坐标为(5,0),从而直线PB的方程为=,整理得x+y-5=0.]
12.已知A(3,0),B(0,4),直线AB上一动点P(x,y),则xy的最大值是________.
【导学号:97190269】
3 [直线AB的方程为+=1.
∵动点P(x,y)在直线AB上,则x=3-y,
∴xy=3y-y2=(-y2+4y)
=≤3,
即当P点坐标为时,xy取最大值3.]
13.(2017·四川德阳中学期中)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.
[解] (1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,令解得
∴无论k取何值,直线l必经过定点(-2,1).
(2)直线方程可化为y=kx+1+2k,当k≠0时,
要使直线不经过第四象限,则必有
解得k>0;
当k=0时,直线为y=1,符合题意.
综上,k的取值范围是k≥0.
(3)依题意得A,B(0,1+2k),
且解得k>0.
∴S=·|OA|·|OB|
=··|1+2k|
=·=
≥×(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是4k=,此时k=,∴Smin=4,
此时l的方程为x-2y+4=0.