2021高考数学一轮复习课后限时集训6函数的奇偶性与周期性文北师大版2 5页

课后限时集训6‎ 函数的奇偶性与周期性 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝(　　)‎ A．3 B．－3　　　　‎ C．2　　　　 D．－2‎ B　[因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，‎ 且f(x)＝ 所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.]‎ ‎2．函数f(x)＝的图像(　　)‎ A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 B　[因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图像关于y轴对称．]‎ ‎3．(2019·洛阳模拟)已知函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为(　　)‎ A．(－1,1) B．(－2,2)‎ C．(－3,3) D．(－4,4)‎ A　[法一：由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．‎ 法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因为ex＋1＞1，所以0＜＜1，－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．]‎ ‎4．已知函数f(x)＝为奇函数，则f(a)＝(　　)‎ - 5 -‎ A．－1 B．1 ‎ C．0 D．±1‎ C　[∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则有f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，即2a＝－2，得a＝－1(符合题意)，‎ ‎∴f(x)＝ ‎∴f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0.]‎ ‎5．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，则f(－2)＝(　　)‎ A．6 B．－6 ‎ C．4 D．－4‎ A　[∵f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b，‎ ‎∴f(0)＝1＋2b＝0，‎ ‎∴b＝－.‎ ‎∴f(x)＝3x－7x－1，‎ ‎∴f(－2)＝－f(2)＝－(32－7×2－1)＝6.故选A.]‎ 二、填空题 ‎6．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则f的值为________．‎ ln 2　[由已知可得f＝ln ＝－2，‎ 所以f＝f(－2)．‎ 又因为f(x)是偶函数，‎ 所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.]‎ ‎7．已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2 019)＝________.‎ ‎3　[由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．故函数f(x)的周期为4.所以f(2 019)＝f(4×504＋3)＝f(3)＝3.]‎ ‎8．已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.‎ - 5 -‎ ‎－4　[法一：因为f(x)＋1＝x＋，‎ 设g(x)＝f(x)＋1＝x＋，‎ 易判断g(x)＝x＋为奇函数，‎ 故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0，‎ 即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.‎ 所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.‎ 法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，‎ 即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.]‎ 三、解答题 ‎9．f(x)为R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．‎ ‎[解]　当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.‎ 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，‎ 所以当x＜0时，f(x)＝2x2＋3x－1.‎ 因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.‎ 综上可得f(x)的解析式为 f(x)＝ ‎10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．‎ ‎(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；‎ ‎(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．‎ ‎[解](1)证明：由f＝－f，‎ 且f(－x)＝－f(x)，‎ 知f(3＋x)＝f ‎＝－f＝－f(－x)＝f(x)，‎ 所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．‎ ‎(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，‎ 且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋‎ - 5 -‎ f(0)＝－2＋0＝－2.‎ ‎1．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)‎ A．ex－e－x　 B.(ex＋e－x)‎ C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)‎ D　[因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．]‎ ‎2．(2019·湖南永州第三次模拟)已知f(x)满足任意x∈R，f(x＋2)＝f(x)，且x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，则f(2 019)的值为(　　)‎ A．－1 B．0 ‎ C．1　　　　 D．2‎ C　[因为f(x)满足对任意x∈R，f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为2，‎ 又2 019÷2＝1 009……1，且x∈[1,3)时，f(x)＝log2x＋1，因此f(2 019)＝f(1)＝log21＋1＝1.故选C.]‎ ‎3．已知函数y＝f(x)，满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(3)＝________.‎ π　[由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知：f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)＝f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，因此，函数y＝f(x)的周期为4，则F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎[解](1)设x＜0，则－x＞0，‎ 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.‎ 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图像(如图所示)知所以1＜a≤3，‎ 故实数a的取值范围是(1,3]．‎ - 5 -‎ ‎1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A．y＝　 B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex D　[A选项定义域为R，由于f(－x)＝＝＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝－x，所以是非奇非偶函数．]‎ ‎2．已知函数f(x)＝log2(－x)是奇函数，则a＝________，若g(x)＝则g(g(－1))＝______.‎ ‎1　　[由f(x)＝log2(－x)得－x＞0，则a＞0，所以函数f(x)的定义域为R.因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝log2＝0，解得a＝1.所以g(－1)＝f(－1)＝log2(＋1)＞0，g(g(－1))＝2log2(＋1)－1＝.]‎ - 5 -‎