2017-2018学年黑龙江省实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 12页

黑龙江省实验中学2018年下学期高二年级数学理科期中考试 满分：150分 完成时间：120分钟 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，总计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．“中国梦”的英文翻译为“ ”，其中又可以简写为，从“ ”中取6个不同的字母排成一排，含有“” 字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ）‎ A. 360种 B. 480种 C. 600种 D. 720种 ‎3．已知的展开式的常数项是第七项，则正整数的值为 ( )‎ A. 7 B. ‎8 C. 9 D. 10‎ ‎4．10张奖券中有3张是有奖的,某人从中不放回地依次抽两张,则在第一次抽到中奖券的条件下,第二次也抽到中奖券的概率为　(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．设函数f（x）在R上可导，其导函数，且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数的图象可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．2018年开始，黑龙江省实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有（　　）种选考方法 A. B. C. D. ‎ ‎7．被除所得的余数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．某校3名教师和5名学生共8人去北京参加学习方法研讨会，需乘坐两辆车，每车坐4人，则恰有两名教师在同一车上的概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ 9． 我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞。现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选法。‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎10．一个箱子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n，且a0+a1+…+an=243，则（n﹣x）n展开式的二项式系数和为（　　）‎ A．16 B．‎32 ‎ C．64 D．1024‎ ‎12．已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立， ，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，总计20分。‎ ‎13． ，则__________．‎ ‎ 14.从1,2,3，…，9一共九个数中，任意取出三个数，则这三个数互不相邻的取法有__________种．（用数字作答）‎ ‎ 15.有10张纸币，其中有4张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张也是假币的概率________．‎ ‎16.已知函数的图象在点处的切线与直线＝0‎ 垂直，且函数在区间上是单调递增，则b的最大值等于___________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 17． ‎（本小题10分）‎ 某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得－1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其它不知道随意连线，将他的得分记作ξ.‎ ‎(1)求该观众得分ξ为负数的概率；‎ ‎(2)求ξ的分布列．‎ 18． ‎（本小题12分）‎ 设函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1的导数满足，，其中常数a，b∈R.‎ ‎（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）设，求函数g（x）的极值.‎ 19． ‎（本小题12分）‎ 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.‎ ‎(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 17． ‎（本小题12分）‎ 第十三届全国人民代表大会第一次会议和政协第十三届全国委员会第一次会议，2018年 3 月在北京召开．为了做好两会期间的接待服务工作，中国人民大学学生实践活动中心从 7 名学生会干部（其中男生 4 人，女生 3 人）中选 3 人参加两会的志愿者服务活动．‎ ‎（1）所选 3 人中女生人数为 ξ，求 ξ 的分布列及数学期望；‎ ‎（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率。‎ 18． ‎（本小题12分） ‎ 设函数f(x)＝ln x＋在内有极值．‎ (1) 求实数a的取值范围；‎ (2) 若x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)．求证：f(x2)－f(x1)>e＋2－ 。注：e是自然对数的底数．‎ ‎22．（本小题12分）‎ 已知函数 (其中， ).‎ ‎（1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由.‎ 1． A ‎ ‎【解析】由f(x)=f′(1)+xlnx，得：f′(x)=1+lnx，取x=1得：f′(1)=1+ln1=1故f(e)=f′(1)+elne=1+e. 故选：A.‎ 2． C ‎ ‎ 【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有,故选B.‎ 3． B ‎ ‎【解析】第七项为，故.‎ ‎4．B ‎【解析】设第一次抽到中奖券记为事件A,第二次抽到中奖券记为事件B,则两次都抽到中奖券为事件AB.则P(A)= ,P(AB)= =,P(B|A)= ==.‎ ‎5．A ‎【解析】由已知可得，所以。‎ 故选A.。‎ ‎6．C ‎【解析】利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，这两种选法均有 ‎，因此考生共有多少种选考方法有种．‎ ‎7．B ‎【解析】由二项式定理展开得 ‎ ‎ ‎∴883+6被49除所得的余数是0. 本题选择B选项.‎ 8． C ‎ ‎【解析】可在8个人中取出4人，坐第一辆车，剩下的坐第二辆车，则有种情况；‎ 要满足恰有两名教师在同一车上，可先在3名教师中任取两人，5名学生中取两人构成第一组，乘坐第一辆车，剩下的构成第二组，乘坐第二辆车，则有种分组方法，再对应到两辆车，共有种乘坐方法； 则恰有两名教师在同一车上的概率为 9． A ‎ ‎【解析】根据题意可按照只会左边的人中入选的人数分类处理．第一类个只会左边的都不选，有种；第二类个只会左边的有人入选，有种；第三类个只会左边的全入选，有种，所以共有种不同的选法，故选A．‎ ‎10．D ‎11.B ‎ ‎【解析】∵（x+1）n =[2+（x﹣1）]n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n，令x=2，可得a0+a1+…+an=3n，再根据 a0+a1+…+an =243，可得3n=243，求得n=5，故（n﹣x）n=（5﹣x）5 展的开式的二项式系数和为2n=25=32， 故选：B．‎ 12． A ‎ ‎【解析】设，则.‎ ‎∵恒成立 ‎ ‎ ∴恒成立，则在上为减函数.‎ ‎∵ ‎ ‎ ∴，即.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴，即不等式的解集为.‎ 故选A.‎ ‎13.28 ‎ ‎14.35‎ ‎15.‎ ‎16.‎ ‎【解析】函数的导数为在点处的切线斜率为,由切线与直线＝0垂直,可得,即,由函数在区间上是单调递增可得在区间上恒成立,即有的最小值,由可得的最小值为.即有,由 ,可得.则b的最大值为.‎ ‎17．（1） （2）‎ ξ ‎－1‎ ‎2‎ ‎8‎ P ‎【解析】(1)当该观众只连对《三国演义》，其他全部连错时，得分为负数，此时ξ＝－1，故得分为负数的概率为P(ξ＝－1)＝＝. 答：。。。。。。。‎ ‎(2)ξ的可能取值为－1,2,8.‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝8)＝＝.‎ ξ的分布列为：‎ ξ ‎－1‎ ‎2‎ ‎8‎ P ‎18．(1)6x＋2y－1＝0；(2)g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝－3，在x＝3处取得极大值g（3）＝15e－3.‎ 解析：（1）∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b，‎ 则解得 ‎∴f（x）＝x3－x2－3x＋1，∴f（1）＝－，f′（1）＝－3，‎ ‎∴y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 y－＝－3（x－1），即6x＋2y－1＝0；‎ ‎（2）由（1）知g（x）＝（3x2－3x－3）e－x，‎ ‎∴g′（x）＝（－3x2＋9x）e－x，‎ 令g′（x）＝0，即（－3x2＋9x）e－x＝0，得x＝0或x＝3，‎ 当x∈（－∞，0）时，g′（x）<0，‎ 故g（x）在（－∞，0）上单调递减. ‎ 当x∈（0,3）时，g′（x）>0，故g（x）在（0,3）上单调递增. ‎ 当x∈（3，＋∞）时，g′（x）<0，‎ 故g（x）在（3，＋∞）上单调递减. ‎ 从而函数g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝－3，‎ 在x＝3处取得极大值g（3）＝15e－3.‎ ‎19．；(1)P=； （2）分布列略 服从二项分布，E=3×=。‎ ‎【解析】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)= ,‎ P()=P(A)P()P()= 答：。。。。。。。。。。‎ ‎（2）ξ的可能值为0,1,2,3,‎ P(ξ=k)= (k=0,1,2,3)‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Eξ=0×+1×+2×+3×=‎ ‎20.（Ⅰ）ξ得可能取值为 0,1,2,3‎ 由题意P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, ‎ P(ξ=2)= P(ξ=3)=，‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎∴ξ的分布列别为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎（Ⅱ）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ‎ 男生甲被选中的种数为,男生甲被选中，女生乙也被选中的 种数为，‎ ‎∴P(C)=， 在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为． 答：。。。。。‎ ‎21. (1)【解析】易知函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，‎ f′(x)＝－＝＝.‎ 由函数f(x)在内有极值，可知方程f′(x)＝0在内有解，令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)．‎ 不妨设0<α<，则β>e，又g(0)＝1>0，‎ 所以g＝－＋1<0，解得a>e＋－2.‎ ‎(2)证明　由(1)知f′(x)>0⇔0β，‎ f′(x)<0⇔αe)，‎ 则h′(β)＝＋1＋＝2>0，‎ 所以函数h(β)在(e，＋∞)上单调递增，‎ 所以f(x2)－f(x1)≥h(β)>h(e)＝2＋e－.‎ ‎22．（1）或；（2）‎ ‎【解析】（1）函数的定义域是， .‎ 若在其定义域內递增，则.‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ 若在其定义域内递减，则 ‎∵， 时， ‎ ‎∴；‎ 综上， 或.‎ ‎（2）在时恒成立，‎ 令， ， ，函数在递增，故时， 取最小值，故在恒成立，‎ 故问题转化为在时恒成立，‎ 令， ， ‎ 令， ‎ 而， ，‎ 故存在，使得在递减，在递增 ‎∴或 ‎∵‎ ‎∴.‎