2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第一次月考数学（理）试题 解析版 8页

‎2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第一次月考 数学理科试题 ‎（考试范围：北师大版必修五第一章；考试时间：120分钟；总分：150分）‎ 命题人： 审题人：‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷(选择题　60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)‎ ‎1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”(　　)‎ A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点 C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点 ‎[答案]　C ‎[解析]　正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C.‎ ‎2．下列求导运算正确的是(　　)‎ A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝2xsin x 解析：　∵′＝1－，∴A错．(log2x)′＝·＝，∴B正确．故选B.‎ 答案：　B ‎3．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　)‎ A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角 C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析：　用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.‎ 答案：　B ‎4．函数y＝x＋e－x的增区间为(　　)‎ A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)‎ C．(－∞，0) D．(－∞，1)‎ 解析：　由y′＝1－e－x＞0解得x＞0.‎ 答案：　B ‎5．函数f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增加的，在(－1,1)上为减少的，则f(1)等于(　　)‎ A. B．1 C. D．－1‎ 解析：　∵f′(x)＝x2＋a，又f′(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝.‎ 答案：　C ‎6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是(　　)‎ A．a＋b＋c B．8a＋4b＋c C．3a＋2b D．c 解析：　由f′(x)的图像知：x＝0是f(x)的极小值点，‎ ‎∴f(x)min＝f(0)＝c.‎ 答案：　D ‎7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)‎ A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29‎ C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由等差数列的性质知，a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5，故D成立．‎ ‎8．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝x－1 B．y＝－x＋1‎ C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2‎ 解析：　由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.‎ 答案：　A ‎9．用数学归纳法证明恒等式：1＋2＋3＋…＋n2＝，则由n＝k到n＝k ‎＋1时，等式左端应添加的项是(　　)‎ A．k2＋1 B．(k＋1)2‎ C．[(k＋1)＋1]2 D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2‎ 解析：　n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时，左端为1＋2＋3…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故选D.‎ 答案：　D ‎10．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　)‎ A．6　　 B．8　　 C．10　　 D．12‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(00，故选D.‎ ‎12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若a0，‎ 则af(b)≤bf(a)．‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．函数y＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最大值为_______，最小值为_________．‎ 解析：　y′＝3x2－6x＋6＝3[(x－1)2＋1]＞0，所以函数f(x)在[－1,1]上为增函数，最大值为f(1)＝2，最小值为f(－1)＝－12.‎ 答案：　2　－12‎ ‎14．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________________．‎ 解析：　由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．‎ 令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln 2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln 2－2]．‎ ‎15.已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋， 则f2014(x)的表达式为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…，f2014(x)＝.应寻求规律，找出解析式．‎ ‎16.如图为函数f(x)的图像，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x·f′(x)<0的解集为________．‎ ‎[答案]　(－3，－1)∪(0,1)‎ ‎[解析]　x·f′(x)<0⇔或 ‎∵(－3，－1)是f(x)的递增区间，‎ ‎∴f′(x)>0的解集为(－3，－1)．‎ ‎∵(0,1)是f(x)的递减区间，‎ ‎∴f′(x)<0的解集为(0,1)．‎ 故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.（本小题满分10分）设函数f(x)＝x3－x2－3x＋1.求f(x)的单调区间和极值．‎ 解析：　f′(x)＝x2－2x－3，‎ 由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.‎ 列表如下：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,3)‎ ‎3‎ ‎(3，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎   ‎－8‎  ‎∴函数f(x)的极大值为，极小值为－8，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1) 和(3，＋∞)，递减区间是(－1,3)．‎ ‎18．求与曲线y＝x2相切，且与直线x＋2y＋1＝0垂直的直线方程.‎ ‎18．答案：所求切线的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.‎ ‎19.求函数f(x)＝ex(3－x2)在区间[2,5]上的最值 ‎19解：∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，‎ ‎∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，‎ ‎∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.‎ ‎ 20. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．‎ ‎(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋c0，解得x<－1或x>2.‎ 所以f(x)的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．‎ ‎(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；‎ 在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．‎ 所以x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为f(－1)与f(3)中的较大者．‎ f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.‎ 所以当x＝－1时，f(x)取得最大值．‎ 要使f(x)＋cf(－1)＋c，‎ 即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.‎ ‎ 所以c的取值范围为(－∞，－1)∪.‎ ‎21．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax3－bx，当x＝2时，函数f(x)有极值－.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．‎ 解析：　f′(x)＝3ax2－b.‎ ‎(1)由题意可得，‎ 解得.故所求的函数解析式为f(x)＝x3－4x.‎ ‎(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，‎ 当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；‎ 当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；‎ 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；‎ 当x＝2时，f(x)有极小值－.‎ 所以函数的大致图像如图所示．‎ 故实数k的取值范围是－＜k＜.‎ ‎22. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．‎ ‎(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间；‎ ‎(3)求证：当x>1时，x2＋lnx0}，‎ 所以当02时，f′(x)>0.‎ 所以当a＝4时，x＝2是f(x)的极小值点．所以a＝4.‎ ‎(2)因为f′(x)＝x－，‎ 所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．‎ 当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，‎ 令f′(x)>0有x>，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；‎ 令f′(x)<0有01时，g′(x)＝>0，‎ 所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．‎ 所以g(x)>g(1)＝>0.‎ 所以当x>1时，x2＋lnx