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- 2021-06-10 发布
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2017-2018学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第一次月考
数学理科试题
(考试范围:北师大版必修五第一章;考试时间:120分钟;总分:150分)
命题人: 审题人:
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷(选择题 60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,每小题有4个选项,其中有且仅有一个是正确的,把正确的选项填在答题卡中)
1.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四个面________.”( )
A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点
C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点
[答案] C
[解析] 正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形表示的侧面,所以边的中点对应的就是正三角形的中心.故选C.
2.下列求导运算正确的是( )
A.′=1+ B.(log2x)′=
C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=2xsin x
解析: ∵′=1-,∴A错.(log2x)′=·=,∴B正确.故选B.
答案: B
3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( )
A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角
C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
解析: 用反证法对命题的假设就是对命题的否定,“至多有一个”的否定是“至少有两个”,故选B.
答案: B
4.函数y=x+e-x的增区间为( )
A.(1,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.(-∞,1)
解析: 由y′=1-e-x>0解得x>0.
答案: B
5.函数f(x)=x3+ax+1在(-∞,-1)上为增加的,在(-1,1)上为减少的,则f(1)等于( )
A. B.1 C. D.-1
解析: ∵f′(x)=x2+a,又f′(-1)=0,∴a=-1,f(1)=-1+1=.
答案: C
6.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f′(x)的图像如图所示,则函数f(x)的极小值是( )
A.a+b+c B.8a+4b+c
C.3a+2b D.c
解析: 由f′(x)的图像知:x=0是f(x)的极小值点,
∴f(x)min=f(0)=c.
答案: D
7.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3…b9=29.若{an}为等差数列,a5=2,则{an}的类似结论为( )
A.a1a2a3…a9=29 B.a1+a2+…+a9=29
C.a1a2…a9=2×9 D.a1+a2+…+a9=2×9
[答案] D
[解析] 由等差数列的性质知,a1+a9=a2+a8=…=2a5,故D成立.
8.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=x-1 B.y=-x+1
C.y=2x-2 D.y=-2x+2
解析: 由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y=x-1.
答案: A
9.用数学归纳法证明恒等式:1+2+3+…+n2=,则由n=k到n=k
+1时,等式左端应添加的项是( )
A.k2+1 B.(k+1)2
C.[(k+1)+1]2 D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
解析: n=k时,左端为1+2+3+…+k2,n=k+1时,左端为1+2+3…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.两式相减,可知等式左端应添加的项是(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故选D.
答案: D
10.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
[答案] B
[解析] 设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为Vcm3,由题意,得V=x(48-2x)2(00,故选D.
12.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0.对任意正数a、b,若a0,
则af(b)≤bf(a).
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每空5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.函数y=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]的最大值为_______,最小值为_________.
解析: y′=3x2-6x+6=3[(x-1)2+1]>0,所以函数f(x)在[-1,1]上为增函数,最大值为f(1)=2,最小值为f(-1)=-12.
答案: 2 -12
14.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________________.
解析: 由原函数有零点,可将问题转化为方程ex-2x+a=0有解问题,即方程a=2x-ex有解.
令函数g(x)=2x-ex,则g′(x)=2-ex,令g′(x)=0,得x=ln 2,所以g(x)在(-∞,ln 2)上是增函数,在(ln 2,+∞)上是减函数,所以g(x)的最大值为:g(ln 2)=2ln 2-2.因此,a的取值范围就是函数g(x)的值域,所以,a∈(-∞,2ln 2-2].
15.已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+, 则f2014(x)的表达式为________.
[答案]
[解析] f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))==,f3(x)=f(f2(x))==,…,f2014(x)=.应寻求规律,找出解析式.
16.如图为函数f(x)的图像,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f′(x)<0的解集为________.
[答案] (-3,-1)∪(0,1)
[解析] x·f′(x)<0⇔或
∵(-3,-1)是f(x)的递增区间,
∴f′(x)>0的解集为(-3,-1).
∵(0,1)是f(x)的递减区间,
∴f′(x)<0的解集为(0,1).
故不等式的解集为(-3,-1)∪(0,1).
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)设函数f(x)=x3-x2-3x+1.求f(x)的单调区间和极值.
解析: f′(x)=x2-2x-3,
由f′(x)=0,得x=-1或x=3.
列表如下:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
-8
∴函数f(x)的极大值为,极小值为-8,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1) 和(3,+∞),递减区间是(-1,3).
18.求与曲线y=x2相切,且与直线x+2y+1=0垂直的直线方程.
18.答案:所求切线的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
19.求函数f(x)=ex(3-x2)在区间[2,5]上的最值
19解:∵f(x)=3ex-exx2,∴f′(x)=3ex-(exx2+2exx)=-ex(x2+2x-3)=-ex(x+3)(x-1),
∵在区间[2,5]上,f′(x)=-ex(x+3)(x-1)<0,即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减,
∴x=2时,函数f(x)取得最大值f(2)=-e2;x=5时,函数f(x)取得最小值f(5)=-22e5.
20. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值.
(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;
(2)若对x∈[-2,3],不等式f(x)+c0,解得x<-1或x>2.
所以f(x)的减区间为(-1,2),增区间为(-∞,-1),(2,+∞).
(2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1)上单调递增;
在(-1,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递增.
所以x∈[-2,3]时,f(x)的最大值即为f(-1)与f(3)中的较大者.
f(-1)=+c,f(3)=-+c.
所以当x=-1时,f(x)取得最大值.
要使f(x)+cf(-1)+c,
即2c2>7+5c,解得c<-1或c>.
所以c的取值范围为(-∞,-1)∪.
21.(本小题满分12分)若函数f(x)=ax3-bx,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
解析: f′(x)=3ax2-b.
(1)由题意可得,
解得.故所求的函数解析式为f(x)=x3-4x.
(2)由(1)可知f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),
当x<-2或x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当-2<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
因此,当x=-2时,f(x)有极大值;
当x=2时,f(x)有极小值-.
所以函数的大致图像如图所示.
故实数k的取值范围是-<k<.
22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R).
(1)若f(x)在x=2时取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求证:当x>1时,x2+lnx0},
所以当02时,f′(x)>0.
所以当a=4时,x=2是f(x)的极小值点.所以a=4.
(2)因为f′(x)=x-,
所以当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
当a>0时,f′(x)=x-==,
令f′(x)>0有x>,
所以函数f(x)的单调递增区间为(,+∞);
令f′(x)<0有01时,g′(x)=>0,
所以g(x)在(1,+∞)上是增函数.
所以g(x)>g(1)=>0.
所以当x>1时,x2+lnx