新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：阶段提升课 第二课　三角函数的图象与性质 课件（33张） 33页

第二课　三角函数的图象与性质 思维导图·构建网络 考点整合·素养提升 题组训练一　求函数解析式  1.(2020·广州高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是 奇函数,将y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 所得图象对应的函数为g（x）.若g（x）的最小正周期为2π, 且g = ,则f = (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.- C. D.2 ( )4  2 3 8 （ ） 2 2 【解析】选C.因为f(x)为奇函数,所以f(0)=Asin φ=0,φ=kπ(k∈Z), 所以k=0,φ=0; 又g(x)=Asin ωx,所以T= =2π, ω=2,又g = ,所以A=2, 所以f(x)=2sin 2x,f = . 1 2 1 2   ( )4  2 3 8 （ ） 2 2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中x∈R,A>0,ω>0,|φ|< ）的部分图象 如图所示. (1)求f(x)的解析式; (2)请写出g(x)=f 的表达式,并求出函数y=g(x)的图象的对称轴和对称 中心. 2  (x )3 ＋ 【解析】(1)由题图可知A=3, , 所以T=π⇒ω=2,f(x)=3sin(2x+φ), 所以 +φ= ,φ=- ,所以f(x)=3sin . (2)由(1)知g(x)=f =3sin =3sin =3cos 2x, 令2x=kπ(k∈Z),所以所求的对称轴为直线x= (k∈Z),令2x= +kπ(k∈Z), x= + (k∈Z),所以所求的对称中心为 (k∈Z). T 7 4 12 3  ＝ 2 3  2  6  (2x )6  (x )3 ＋ 2(x )3 6      ＋ (2x )2 ＋ k 2  2  k 2  4  k( 0)2 4  ＋ ， 【方法技巧】 由已知条件确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式,需要确定A,ω,φ,其中A,ω易 求,下面介绍求φ的几种方法. (1)平衡点法 由y=Asin(ωx+φ)=Asin 知它的平衡点的横坐标为- . (2)确定最值法 这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论,只需解一个特殊的三角方 程. x     （ ＋ ）   (3)利用单调性 将函数y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sin x的图象比较,选取它们的某一个单调 区间得到一个等式,解答即可求出φ. 题组训练二　三角函数图象变换问题  1.(2020·大连高一检测)函数f（x）=Asin（ωx+φ）,其中 的图 象如图所示,为了得到f（x）的图象,则只需将g（x）=sin 2x的图象(　　) A.向右平移 个长度单位 B.向左平移 个长度单位 C.向右平移 个长度单位 D.向左平移 个长度单位 (A 0, )2    6  3  3  6  【解析】选D.由三角函数f（x）的图象可知,A=1且 ,即T=π, 又由T= =π,解得w=2,即f（x）=sin(2x+φ), 又由f =sin =sin =-1, 解得 +φ= +2kπ,k∈Z, 即φ= +2kπ,k∈Z,又由 < , 所以φ= ,即f（x）=sin , 故将函数g（x）=sin 2x的图象向左平移 个长度单位, 即可得到f（x）=sin =sin 的图象. T 7 4 12 3 4      2  7 12 （ ） 7(2 )12    7( )6    7 6  3 2  3   2  3  (2x )3  6  2(x )6     (2x )3  2.函数f(x)=2sin(3x+φ)的图象向右平移 个单位长度,得到的图象关于y轴 对称,则 的最小值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.函数f(x)=2sin(3x+φ)的图象向右平移 个单位长度得到: f(x)=2sin 的图象关于y轴对称,即函数为偶函数, 故φ- =kπ- ⇒φ=kπ- ,所以 的最小值为 . 12   12  3  4  5 12  12  (3x )4   4  2  4  4  3.将函数y=2sin 的图象向右平移 个周期后,所得图象对应的函数为 (　　) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 【解析】选D.函数y=2sin 的周期为π,将函数y=2sin 的图象向 右平移 个周期即 个单位长度, 所得图象对应的函数为y=2sin =2sin . (2x )6 ＋ 1 4 (2x )4 ＋ (2x )3 ＋ (2x )4  (2x )3  (2x )6 ＋ (2x )6 ＋ 1 4 4  2(x )4 6       (2x )3  【方法技巧】 对称变换 (1)y=f(x)的图象 y=-f(x)的图象 (2)y=f(x)的图象 y=f(-x)的图象 (3)y=f(x)的图象 y=-f(-x)的图象 x关于 轴对称 y关于 轴对称 (0 0)关于 ， 对称 题组训练三　三角函数的性质  1.(2020·长沙高一检测)函数y=sin 是 (　　) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 【解析】选B.设y=f(x)=sin ,由y=sin =cos 2x,则函数的最小 正周期为T= =π,又f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以f(x)为偶函数. (2x )2  (2x )2  (2x )2  2 2  2.(2020·宜宾高一检测)三角函数值sin 1,sin 2,sin 3的大小顺序是(　　) A.sin 1>sin 2>sin 3 B.sin 2>sin 1>sin 3 C.sin 1>sin 3>sin 2 D.sin 3>sin 2>sin 1 【解析】选B.因为1弧度≈57°,2弧度≈114°,3弧度≈171°, 所以sin 1≈sin 57°,sin 2≈sin 114°=sin 66°,sin 3≈171°=sin 9°. 因为y=sin x在0°sin 1>sin 3. 3.(2020·哈尔滨高一检测)设函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的图 象关于直线x= 对称,它的最小正周期为π,则 (　　) A.f(x)的图象过点 B.f(x)在 上单调递减 C.f(x)的一个对称中心是 D.f(x)的一个对称中心是 ( 0 )2 2    ＞ ， ＜ ＜ 2 3  1(0 )2， 2,12 3       ( ,0)6  5( ,0)12  【解析】选C.由题意可得 =π,所以ω=2,可得f(x)=Asin(2x+φ). 再由函数图象关于直线x= 对称, 得f =Asin =±A,故可取φ= .故函数f(x)=Asin . 令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,求得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 故函数的减区间为 ,k∈Z,故选项B不正确.由于A不确定, 故选项A不正确.令2x+ =kπ,k∈Z,可得x= - ,k∈Z,故函数的对称中心 为 ,k∈Z,故选项C正确,选项D不正确. 2  2 3  2 3 （ ） 4( )3    6  (2x )6  2  6  3 2  6  2 3  2k k6 3         ， 6  k 2  12  k( 0)2 12   ， 4.函数y=tan ,x∈ 的值域是______.  【解析】由x∈ ,所以 + ∈ 结合正切函数的性质可得:10,b为常 数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不 等式求得. (2)具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式 将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余 弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时,用 同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间. 题组训练四　三角函数的实际应用  1.(2020·重庆高一检测)如图,重庆欢乐谷的摩天轮被称为“重庆之眼”,其 旋转半径为50米,最高点距离地面120米,开启后按逆时针方向旋转,旋转一周 大约18分钟.将摩天轮看成圆面,在该平面内,以过摩天轮的圆心且垂直于地平 面的直线为y轴,该直线与地平面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系,某人 在最低点的位置坐上摩天轮的座舱,摩天轮开始启动,并记该时刻为t=0,则此 人距离地面的高度f(t)与摩天轮运行时间t(单位:分钟)的函数关系式为(　　) A.f(t)=50sin t+20(t≥0) B.f(t)=50sin +70(t≥0) C.f(t)=50sin +20(t≥0) D.f(t)=50sin +70(t≥0) 9  ( t )9 2   ( t )9 2   ( t )9    【解析】选B.设f(t)=Asin(ωt+φ)+ , ⇒ ,T=18,ω= = , 当t=0时sin φ=-1,φ=- , f(t)=50sin +70(t≥0). B(A 0, 0 | | )2     ， A 50 B 70    A B 20 A B 120       2 18  9  2  ( t )9 2   2.(2020·北京高一检测)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近 似地用三角函数y=Acos +B（x=1,2,…，12 ）来表示.已知6月份的 月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的月平 均气温为______℃. 【解析】根据题意得28=A+B,18=-A+B, 解得A=5,B=23,所以y=23+5cos ,令x=10得y=23+5cos =23+5cos =20.5. 答案:20.5 (x 6)6     (x 6)6     (10 6)6     2 3  3.(2020·宁波高一检测)在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行 了一年的统计与测量,得到10次测量结果(时间近似到0.1小时),结果如表所示: 日期 1月 1日 2月 28 日 3月 21 日 4月 27 日 5月 6日 6月 21 日 8月 13 日 9月 20 日 10 月 25 日 12 月 21 日 日期位 置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 存活时 间y小时 5.6 10. 2 12. 4 16. 4 17. 3 19. 4 16. 4 12. 4 8.5 5.4 (1)试选用一个形如y=Asin(ωx+φ)+t的函数来近似描述一年(按365天计)中 该细菌一天内存活的时间y与日期位置序号x之间的函数解析式. (2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于15.9小 时. 【解析】(1)细菌存活时间与日期位置序号x之间的函数解析式满足 y=Asin(ωx+φ)+t,由表格可知函数的最大值为19.4,最小值为5.4, 所以19.4-5.4=14,故A=7. 又19.4+5.4=24.8,故t=12.4. 又T=365,所以ω= .当x=172时, +φ= , 所以φ=- , 所以y=7sin +12.4(1≤x≤365,x∈N). 2 365  2 x 365  2  323 730  2 323( x )365 730   (2)由y>15.9得sin , 所以 ,可得111.17