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  • 2021-06-10 发布

河北省部分重点高中2020届高三上学期期末考试数学(理)试题

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‎2020年河北省部分重点高中高三年级期末考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.‎ ‎3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合, 再求即可.‎ ‎【详解】解: 已知全集,集合,‎ 则,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查集合的交并补运算,属于基础题.‎ ‎2.复数(其中为虚数单位)的虚部等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:,所以虚部为,故应选B.‎ 考点:复数的运算.‎ 点评:本题直接考查复数的运算,我们要熟练掌握复数的运算.属于基础题型.‎ ‎3.已知各项为正数的等比数列中,,,则公比q=‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于数列为等比数列,将已知条件转化为的形式,解方程组可求得的值.‎ ‎【详解】由于数列为等比数列,故,,由于数列各项为正数,故,选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解等比数列的有关计算问题.要注意题目给定公比是正数.属于基础题.‎ ‎4.某校高一年级有甲,乙,丙三位学生,他们前三次月考的物理成绩如表:‎ 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 ‎80‎ ‎85‎ ‎90‎ 学生乙 ‎81‎ ‎83‎ ‎85‎ 学生丙 ‎90‎ ‎86‎ ‎82‎ 则下列结论正确的是(  )‎ A. 甲,乙,丙第三次月考物理成绩的平均数为86‎ B. 在这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分最高 C. 在这三次月考物理成绩中,乙的成绩最稳定 D. 在这三次月考物理成绩中,丙的成绩方差最大 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表格中数据,利用平均数公式以及方差的定义与性质,对选项中的命题逐一判断正误即可.‎ ‎【详解】由表格中数据知,甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为 ‎,错误;‎ 这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分为85,‎ 丙的成绩平均分最高为,∴错误;‎ 这三次月考物理成绩中,乙的成绩波动性最小,最稳定,∴正确;‎ 这三次月考物理成绩中,甲的成绩波动性最大,方差最大,∴错误.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了平均数公式、方差的定义与性质,是基础题.方差反映了随机变量稳定于均值的程度,, .‎ ‎5. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( )‎ A. 54 B. ‎27 ‎C. 18 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由三视图可知该几何体为四棱锥,底面为矩形,两边为6,3,棱锥的高为3,所以体积为 考点:三视图 ‎6.已知且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解的值即可.‎ ‎【详解】由题意可得:,‎ 由于,故,‎ 据此可知.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,同角三角函数基本关系及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7.已知抛物线为双曲线有相同的焦点F,点A是两曲线的一个点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线与双曲线的焦点坐标,将其代入双曲线方程求出的坐标,将代入抛物线方程求出双曲线的三参数的关系,则双曲线的离心率可求.‎ ‎【详解】抛物线的焦点坐标为,双曲线的焦点坐标为,‎ ‎,‎ 点是两曲线的一个交点,且轴,‎ 将代入双曲线方程得到,‎ 将的坐标代入抛物线方程可得,‎ ‎,‎ 即,解得,‎ ‎,‎ 解得,故选A .‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率,是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.‎ ‎8.下列命题中真命题的个数是  ‎ 中,是的三内角A,B,C成等差数列的充要条件;‎ 若“,则”的逆命题为真命题;‎ 是或充分不必要条件;‎ 是的充要条件.‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中中,的三内角A,B,C成等差数列;在中,当时不成立;在中,是或的逆否命题是真命题;在中,是的充分不必要条件.‎ ‎【详解】中,的三内角A,B,C成等差数列,故正确;‎ 若“,则”的逆命题“若,则”,‎ 当时不成立,故若“,则”的逆命题为假命题,故错误;‎ 是或逆否命题是:‎ 若且,则,真命题,‎ 或,‎ 是或充分不必要条件,故正确;‎ 在定义域范围内是单增函数:可得到 在定义域范围内是单增函数:可得到 可见,,但是当时,推不出,‎ 不存在,是的充分不必要条件,故错误.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意充分条件、必要条件、充要条件和四种命题的合理运用.‎ ‎9.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排两名学生,那么互不相同的安排方法共有( )‎ A. 252种 B. 112种 C. 70种 D. 56种 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,所以可以考虑先把7名学生分成2组,再把两组学生安排到两间不同的宿舍,分组时考虑到每个宿舍至少安排2名学生,所以可按一组2人,另一组5人分,也可按照一组3人,令一组4人分,再把分好组的学生安排到两间宿舍,就是两组的全排列.‎ ‎【详解】分两步去做:第一步,先把学生分成两组,有两种分组方法,‎ 一种是:一组2人,另一组5人,有C72=21中分法; 另一种是:一组3人,另一组4人,有C73=35中分法,‎ ‎∴共有21+35=56种分组法.‎ 第二步,把两组学生分到甲、乙两间宿舍,共有A22=2种分配方法,‎ 最后,把两步方法数相乘,共有(C72+C73)A22=(21+35)×2=112种方法,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题,做题时要分清是分步还是分类,属于中档题.‎ ‎10.设,则二项式展开式中含项的系数是( )‎ A. B. ‎193 ‎C. D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由于 则含项的系数为,故选择A.‎ 考点:积分运算、二项式定理 ‎11.已知函数的定义域为,为的导函数,且,若,则函数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析:根据题意求得函数的解析式,进而得到的解析式,然后根据函数的特征求得最值.‎ 详解:由,‎ 得,‎ ‎∴,‎ 设(为常数),‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴当x=0时,;‎ 当时,,‎ 故当时,,当时等号成立,此时;‎ 当时,,当时等号成立,此时.‎ 综上可得,‎ 即函数的取值范围为.‎ 故选B.‎ 点睛:解答本题时注意从所给出的条件出发,并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式;求最值时要结合函数解析式的特征,选择基本不等式求解,求解时注意应用不等式的条件,确保等号能成立.‎ ‎12.已知为直角坐标系的坐标原点,双曲线上有一点 ‎(m>0),点P在轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点,过点P作双曲线C两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形PAOB的面积为1,则双曲线的标准方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设平行线方程为,由,解得,则,又点到直线的距离,化简得:,又,又,解得,所以方程是,故选A.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程,属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.‎ 二、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.‎ ‎13.设满足约束条件,则的最小值为__________.‎ ‎【答案】-5‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.‎ ‎【详解】由x,y满足约束条件作出可行域如图,‎ 由图可知,目标函数的最优解为A,‎ 联立,解得A(﹣1,1).‎ ‎∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5.‎ 故答案为﹣5.‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.‎ ‎14. .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ 考点:定积分 ‎15.已知函数 的图象过点(0,‎ ‎ ),最小正周期为 ,且最小值为-1.若 ,的值域是 ,则m的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意易求,,由图象过(0, ),,可得,从而得函数解析式,由可得,由余弦函数性质及值域,可得,求解即可.‎ ‎【详解】由函数最小值为-1,,得,‎ 因为最小正周期为,所以,故,‎ 又图象过点(0, ),所以 而,所以,‎ 从而,‎ 由,可得.‎ 因为,且,‎ 由余弦函数的图象与性质可知:,解得,‎ 故填.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦型函数的解析式,图象与性质,重点考查了单调性,属于中档题.‎ ‎16.数列是首项,公差为的等差数列,其前和为,存在非零实数,对任意有恒成立,则的值为__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论和两种情况即可求得的值.‎ ‎【详解】当时,恒成立,当时:‎ 当数列的公差时,即,‎ 据此可得,则,‎ 当数列的公差时,由题意有:,,‎ 两式作差可得:,‎ 整理可得:,即:,①‎ 则,②‎ ‎②-①整理可得:恒成立,‎ 由于,故,据此可得:,‎ 综上可得:的值为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的定义,数列的前n项和与通项公式的关系,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分.‎ ‎17.已知数列的前项和满足,且,数列中,,,.‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)若,求的前项的和.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过,当时,可以求出的表达式,两式相减,得到 ‎,这样可以判断出数列是等比数列,再求出数列的通项公式.‎ ‎(2)观察,它是一个等差数列乘以一个等比数列,这样可以采用错位相减法为求的前项的和.‎ ‎【详解】(1)由得().两式相减得,即().又得,所以数列是等比数列,公比为2,首项为1,故.由可知是等差数列,公差,‎ 则.‎ ‎(2),‎ ‎ ①,‎ ‎ ②. ‎ ‎①②得 故.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、用错位相减法求数列和的方法.‎ ‎18.已知四棱锥的底面是菱形,,的中点是顶点在底面的射影,是的中点.‎ ‎   ‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若,直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)根据菱形性质得MB⊥BC,再根据射影定义得PM⊥平面ABCD ,即得PM⊥BC ,由线面垂直判定定理得BC⊥平面PMB,最后根据面面垂直判定定理得结论,(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解平面PMC法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.‎ 试题解析: (1)证明 ∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=120°,‎ 且M是AD的中点,∴MB⊥AD,∴MB⊥BC.‎ 又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点,‎ ‎∴PM⊥平面ABCD,‎ 又∵BC⊂平面ABCD,∴PM⊥BC,‎ 而PM∩MB=M,PM,MB⊂平面PMB,‎ ‎∴BC⊥平面PMB,又BC⊂平面PBC,‎ ‎∴平面MPB⊥平面PBC ‎(2)解 法一 过点B作BH⊥MC,连接HN,‎ ‎∵PM⊥平面ABCD,BH⊂平面ABCD,∴BH⊥PM,‎ 又∵PM,MC⊂平面PMC,PM∩MC=M,‎ ‎∴BH⊥平面PMC,‎ ‎∴HN为直线BN在平面PMC上的射影,‎ ‎∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角,‎ 在菱形ABCD中,设AB=‎2a,则MB=AB·sin 60°=a,‎ MC==a.‎ 又由(1)知MB⊥BC,‎ ‎∴在△MBC中,BH==a,‎ 由(1)知BC⊥平面PMB,PB⊂平面PMB,‎ ‎∴PB⊥BC,∴BN=PC=a,‎ ‎∴sin∠BNH===.‎ 法二 由(1)知MA,MB,MP两两互相垂直,以M为坐标原点,以MA,MB,MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,不妨设MA=1,‎ 则M(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),C(-2,,0),‎ ‎∵N是PC的中点,∴N,‎ 设平面PMC的法向量为n=(x0,y0,z0),‎ 又∵=(0,0,),=(-2,,0),‎ ‎∴即 令y0=1,则n=,|n|=,‎ 又∵=,||=,‎ ‎|cos〈,n〉|==.‎ 所以,直线BN与平面PMC所成角的正弦值为.‎ ‎19.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,离心率为,点是椭圆上的一个动点,且面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为,且的垂直平分线交轴于点,求直线的斜率.‎ ‎【答案】(1)(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题得到关于a,b,c的方程,解方程组即得椭圆的标准方程;(2)设直线的方程为,线段的中点为,根据,得,解方程即得直线PQ的斜率.‎ ‎【详解】(1)因为椭圆离心率为,当P为C的短轴顶点时,的面积有最大值.‎ 所以,所以,故椭圆C的方程为:.‎ ‎(2)设直线的方程为,‎ 当时,代入,‎ 得:.‎ 设,线段的中点为,‎ ‎,‎ 即 因为,则,所以,‎ 化简得,解得或,‎ 即直线的斜率为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若,证明:当时,;‎ ‎(2)若在有两个零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析:(1)只要求得在时的最小值即可证;‎ ‎(2)在上有两个不等实根,可转化为在上有两个不等实根,这样只要研究函数的单调性与极值,由直线与的图象有两个交点可得的范围.‎ 详解:(1)证明:当时,函数.则,‎ 令,则,令,得.‎ 当时,,当时,‎ 在单调递增,‎ ‎(2)解:在有两个零点方程在有两个根,‎ ‎ 在有两个根,‎ 即函数与的图像在有两个交点.,‎ 当时,,在递增 当时,,在递增 所以最小值为,当时,,当时,,在有两个零点时,的取值范围是.‎ 点睛:本题考查用导数证明不等式,考查函数零点问题.用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题,函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题,这可用分离参数法变形,然后再研究函数的单调性与极值,从而得图象的大致趋势.‎ ‎21.11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲乙两人在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分,设甲每次投球命中的概率为,乙每次投球命中的概率为,且各次投球互不影响.‎ ‎(1)经过1轮投球,记甲的得分为,求的分布列;‎ ‎(2)若经过轮投球,用表示经过第轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.‎ ‎①求;‎ ‎②规定,经过计算机计算可估计得,请根据①中 的值分别写出a,c关于b的表达式,并由此求出数列的通项公式.‎ ‎【答案】(1)分布列见解析;(2)①;②,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)经过1轮投球,甲的得分的取值为,记一轮投球,甲投中为事件,乙投中为事件,相互独立,计算概率后可得分布列;‎ ‎(2)由(1)得,由两轮的得分可计算出,计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列(的取值为),然后结合的分布列和的分布可计算,‎ 由,代入,得两个方程,解得,从而得到数列的递推式,变形后得是等比数列,由等比数列通项公式得,然后用累加法可求得.‎ ‎【详解】(1)记一轮投球,甲命中为事件,乙命中为事件,相互独立,由题意,,甲的得分的取值为,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴的分布列为:‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎(2)由(1),‎ ‎,‎ 同理,经过2轮投球,甲的得分取值:‎ 记,,,则 ‎,,,,‎ 由此得甲的得分的分布列为:‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,,∴,‎ 代入得:,‎ ‎∴,‎ ‎∴数列是等比数列,公比为,首项为,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查随机变量的概率分布列,考查相互独立事件同时发生的概率,考查由数列的递推式求通项公式,考查学生的转化与化归思想,本题难点在于求概率分布列,特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列,这里可用列举法写出各种可能,然后由独立事件的概率公式计算出概率.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线参数方程为(为参数),直线的方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与曲线交于,两点,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先把曲线的参数方程转化为普通方程,进一步转化为极坐标方程.‎ ‎(Ⅱ)把直线方程转化为极坐标方程,与曲线的极坐标方程联立,根据根与系数的关系,求得结果.‎ ‎【详解】(Ⅰ)曲线普通 方程为,‎ 则的极坐标方程为 ‎(Ⅱ)设,,‎ 将代入 ,得 所以,所以.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点:直角坐标方程和极坐标方程的转化,参数方程与直角坐标方程的转化,一元二次方程根的应用,属于基础题型.‎ ‎23.已知,证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2)‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用的几何意义证明,表示点到原点的距离的平方,距离的最小值是原点到直线的距离,由此可证;‎ ‎(2)先求出的范围,然后可化为关于的二次函数形式,再由二次函数的性质可得最大值,从而证明结论.‎ ‎【详解】证明:(1)表示点到原点的距离的平方,而原点到直线的距离为,∴;‎ ‎(2)∵,∴,,‎ ‎,易知时,取得最大值.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的证明,证明方法与一般证明不等式的方法不同,第(1)小题利用二次式的几何意义,表示两点距离的平方,由此得证法,第(2)小题由已知条件变形后代数式化为关于的二次函数,由二次函数性质证明.这两种方法具有一定的局限性,注意体会.‎

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