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- 2021-06-10 发布
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2020年河北省部分重点高中高三年级期末考试
理科数学
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求集合, 再求即可.
【详解】解: 已知全集,集合,
则,
所以.
故选:C
【点睛】本题考查集合的交并补运算,属于基础题.
2.复数(其中为虚数单位)的虚部等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:,所以虚部为,故应选B.
考点:复数的运算.
点评:本题直接考查复数的运算,我们要熟练掌握复数的运算.属于基础题型.
3.已知各项为正数的等比数列中,,,则公比q=
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
由于数列为等比数列,将已知条件转化为的形式,解方程组可求得的值.
【详解】由于数列为等比数列,故,,由于数列各项为正数,故,选A.
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解等比数列的有关计算问题.要注意题目给定公比是正数.属于基础题.
4.某校高一年级有甲,乙,丙三位学生,他们前三次月考的物理成绩如表:
第一次月考物理成绩
第二次月考物理成绩
第三次月考物理成绩
学生甲
80
85
90
学生乙
81
83
85
学生丙
90
86
82
则下列结论正确的是( )
A. 甲,乙,丙第三次月考物理成绩的平均数为86
B. 在这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分最高
C. 在这三次月考物理成绩中,乙的成绩最稳定
D. 在这三次月考物理成绩中,丙的成绩方差最大
【答案】C
【解析】
【分析】
由表格中数据,利用平均数公式以及方差的定义与性质,对选项中的命题逐一判断正误即可.
【详解】由表格中数据知,甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为
,错误;
这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分为85,
丙的成绩平均分最高为,∴错误;
这三次月考物理成绩中,乙的成绩波动性最小,最稳定,∴正确;
这三次月考物理成绩中,甲的成绩波动性最大,方差最大,∴错误.
故选C.
【点睛】本题考查了平均数公式、方差的定义与性质,是基础题.方差反映了随机变量稳定于均值的程度,, .
5. 如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( )
A. 54 B. 27 C. 18 D. 9
【答案】C
【解析】
试题分析:由三视图可知该几何体为四棱锥,底面为矩形,两边为6,3,棱锥的高为3,所以体积为
考点:三视图
6.已知且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解的值即可.
【详解】由题意可得:,
由于,故,
据此可知.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,同角三角函数基本关系及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知抛物线为双曲线有相同的焦点F,点A是两曲线的一个点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出抛物线与双曲线的焦点坐标,将其代入双曲线方程求出的坐标,将代入抛物线方程求出双曲线的三参数的关系,则双曲线的离心率可求.
【详解】抛物线的焦点坐标为,双曲线的焦点坐标为,
,
点是两曲线的一个交点,且轴,
将代入双曲线方程得到,
将的坐标代入抛物线方程可得,
,
即,解得,
,
解得,故选A .
【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率,是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.
8.下列命题中真命题的个数是
中,是的三内角A,B,C成等差数列的充要条件;
若“,则”的逆命题为真命题;
是或充分不必要条件;
是的充要条件.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】
在中中,的三内角A,B,C成等差数列;在中,当时不成立;在中,是或的逆否命题是真命题;在中,是的充分不必要条件.
【详解】中,的三内角A,B,C成等差数列,故正确;
若“,则”的逆命题“若,则”,
当时不成立,故若“,则”的逆命题为假命题,故错误;
是或逆否命题是:
若且,则,真命题,
或,
是或充分不必要条件,故正确;
在定义域范围内是单增函数:可得到
在定义域范围内是单增函数:可得到
可见,,但是当时,推不出,
不存在,是的充分不必要条件,故错误.
故选B.
【点睛】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意充分条件、必要条件、充要条件和四种命题的合理运用.
9.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排两名学生,那么互不相同的安排方法共有( )
A. 252种 B. 112种 C. 70种 D. 56种
【答案】B
【解析】
【分析】
因为7名学生分配到甲、乙两个宿舍中,所以可以考虑先把7名学生分成2组,再把两组学生安排到两间不同的宿舍,分组时考虑到每个宿舍至少安排2名学生,所以可按一组2人,另一组5人分,也可按照一组3人,令一组4人分,再把分好组的学生安排到两间宿舍,就是两组的全排列.
【详解】分两步去做:第一步,先把学生分成两组,有两种分组方法,
一种是:一组2人,另一组5人,有C72=21中分法; 另一种是:一组3人,另一组4人,有C73=35中分法,
∴共有21+35=56种分组法.
第二步,把两组学生分到甲、乙两间宿舍,共有A22=2种分配方法,
最后,把两步方法数相乘,共有(C72+C73)A22=(21+35)×2=112种方法,
故选B.
【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题,做题时要分清是分步还是分类,属于中档题.
10.设,则二项式展开式中含项的系数是( )
A. B. 193 C. D. 7
【答案】A
【解析】
试题分析:由于
则含项的系数为,故选择A.
考点:积分运算、二项式定理
11.已知函数的定义域为,为的导函数,且,若,则函数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析:根据题意求得函数的解析式,进而得到的解析式,然后根据函数的特征求得最值.
详解:由,
得,
∴,
设(为常数),
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴当x=0时,;
当时,,
故当时,,当时等号成立,此时;
当时,,当时等号成立,此时.
综上可得,
即函数的取值范围为.
故选B.
点睛:解答本题时注意从所给出的条件出发,并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式;求最值时要结合函数解析式的特征,选择基本不等式求解,求解时注意应用不等式的条件,确保等号能成立.
12.已知为直角坐标系的坐标原点,双曲线上有一点
(m>0),点P在轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点,过点P作双曲线C两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形PAOB的面积为1,则双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设平行线方程为,由,解得,则,又点到直线的距离,化简得:,又,又,解得,所以方程是,故选A.
【方法点晴】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程,属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.
二、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.
13.设满足约束条件,则的最小值为__________.
【答案】-5
【解析】
分析】
由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.
【详解】由x,y满足约束条件作出可行域如图,
由图可知,目标函数的最优解为A,
联立,解得A(﹣1,1).
∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5.
故答案为﹣5.
【点睛】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
14. .
【答案】
【解析】
试题分析:
考点:定积分
15.已知函数 的图象过点(0,
),最小正周期为 ,且最小值为-1.若 ,的值域是 ,则m的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意易求,,由图象过(0, ),,可得,从而得函数解析式,由可得,由余弦函数性质及值域,可得,求解即可.
【详解】由函数最小值为-1,,得,
因为最小正周期为,所以,故,
又图象过点(0, ),所以 而,所以,
从而,
由,可得.
因为,且,
由余弦函数的图象与性质可知:,解得,
故填.
【点睛】本题主要考查了余弦型函数的解析式,图象与性质,重点考查了单调性,属于中档题.
16.数列是首项,公差为的等差数列,其前和为,存在非零实数,对任意有恒成立,则的值为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】
分类讨论和两种情况即可求得的值.
【详解】当时,恒成立,当时:
当数列的公差时,即,
据此可得,则,
当数列的公差时,由题意有:,,
两式作差可得:,
整理可得:,即:,①
则,②
②-①整理可得:恒成立,
由于,故,据此可得:,
综上可得:的值为或.
【点睛】本题主要考查等差数列的定义,数列的前n项和与通项公式的关系,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.已知数列的前项和满足,且,数列中,,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若,求的前项的和.
【答案】(1),;(2).
【解析】
【分析】
(1)通过,当时,可以求出的表达式,两式相减,得到
,这样可以判断出数列是等比数列,再求出数列的通项公式.
(2)观察,它是一个等差数列乘以一个等比数列,这样可以采用错位相减法为求的前项的和.
【详解】(1)由得().两式相减得,即().又得,所以数列是等比数列,公比为2,首项为1,故.由可知是等差数列,公差,
则.
(2),
①,
②.
①②得
故.
【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、用错位相减法求数列和的方法.
18.已知四棱锥的底面是菱形,,的中点是顶点在底面的射影,是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)若,直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【详解】试题分析:(1)根据菱形性质得MB⊥BC,再根据射影定义得PM⊥平面ABCD ,即得PM⊥BC ,由线面垂直判定定理得BC⊥平面PMB,最后根据面面垂直判定定理得结论,(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解平面PMC法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.
试题解析: (1)证明 ∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=120°,
且M是AD的中点,∴MB⊥AD,∴MB⊥BC.
又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点,
∴PM⊥平面ABCD,
又∵BC⊂平面ABCD,∴PM⊥BC,
而PM∩MB=M,PM,MB⊂平面PMB,
∴BC⊥平面PMB,又BC⊂平面PBC,
∴平面MPB⊥平面PBC
(2)解 法一 过点B作BH⊥MC,连接HN,
∵PM⊥平面ABCD,BH⊂平面ABCD,∴BH⊥PM,
又∵PM,MC⊂平面PMC,PM∩MC=M,
∴BH⊥平面PMC,
∴HN为直线BN在平面PMC上的射影,
∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角,
在菱形ABCD中,设AB=2a,则MB=AB·sin 60°=a,
MC==a.
又由(1)知MB⊥BC,
∴在△MBC中,BH==a,
由(1)知BC⊥平面PMB,PB⊂平面PMB,
∴PB⊥BC,∴BN=PC=a,
∴sin∠BNH===.
法二 由(1)知MA,MB,MP两两互相垂直,以M为坐标原点,以MA,MB,MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,不妨设MA=1,
则M(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),C(-2,,0),
∵N是PC的中点,∴N,
设平面PMC的法向量为n=(x0,y0,z0),
又∵=(0,0,),=(-2,,0),
∴即
令y0=1,则n=,|n|=,
又∵=,||=,
|cos〈,n〉|==.
所以,直线BN与平面PMC所成角的正弦值为.
19.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,离心率为,点是椭圆上的一个动点,且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为,且的垂直平分线交轴于点,求直线的斜率.
【答案】(1)(2)或
【解析】
【分析】
(1)由题得到关于a,b,c的方程,解方程组即得椭圆的标准方程;(2)设直线的方程为,线段的中点为,根据,得,解方程即得直线PQ的斜率.
【详解】(1)因为椭圆离心率为,当P为C的短轴顶点时,的面积有最大值.
所以,所以,故椭圆C的方程为:.
(2)设直线的方程为,
当时,代入,
得:.
设,线段的中点为,
,
即
因为,则,所以,
化简得,解得或,
即直线的斜率为或.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.已知函数.
(1)若,证明:当时,;
(2)若在有两个零点,求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【解析】
【详解】分析:(1)只要求得在时的最小值即可证;
(2)在上有两个不等实根,可转化为在上有两个不等实根,这样只要研究函数的单调性与极值,由直线与的图象有两个交点可得的范围.
详解:(1)证明:当时,函数.则,
令,则,令,得.
当时,,当时,
在单调递增,
(2)解:在有两个零点方程在有两个根,
在有两个根,
即函数与的图像在有两个交点.,
当时,,在递增
当时,,在递增
所以最小值为,当时,,当时,,在有两个零点时,的取值范围是.
点睛:本题考查用导数证明不等式,考查函数零点问题.用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题,函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题,这可用分离参数法变形,然后再研究函数的单调性与极值,从而得图象的大致趋势.
21.11月,2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办,其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮),在相同的条件下,每轮甲乙两人在同一位置,甲先投,每人投一次球,两人有1人命中,命中者得1分,未命中者得-1分;两人都命中或都未命中,两人均得0分,设甲每次投球命中的概率为,乙每次投球命中的概率为,且各次投球互不影响.
(1)经过1轮投球,记甲的得分为,求的分布列;
(2)若经过轮投球,用表示经过第轮投球,累计得分,甲的得分高于乙的得分的概率.
①求;
②规定,经过计算机计算可估计得,请根据①中
的值分别写出a,c关于b的表达式,并由此求出数列的通项公式.
【答案】(1)分布列见解析;(2)①;②,.
【解析】
【分析】
(1)经过1轮投球,甲的得分的取值为,记一轮投球,甲投中为事件,乙投中为事件,相互独立,计算概率后可得分布列;
(2)由(1)得,由两轮的得分可计算出,计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列(的取值为),然后结合的分布列和的分布可计算,
由,代入,得两个方程,解得,从而得到数列的递推式,变形后得是等比数列,由等比数列通项公式得,然后用累加法可求得.
【详解】(1)记一轮投球,甲命中为事件,乙命中为事件,相互独立,由题意,,甲的得分的取值为,
,
,
,
∴的分布列为:
-1
0
1
(2)由(1),
,
同理,经过2轮投球,甲的得分取值:
记,,,则
,,,,
由此得甲的得分的分布列为:
-2
-1
0
1
2
∴,
∵,,
∴,,∴,
代入得:,
∴,
∴数列是等比数列,公比为,首项为,
∴.
∴.
【点睛】本题考查随机变量的概率分布列,考查相互独立事件同时发生的概率,考查由数列的递推式求通项公式,考查学生的转化与化归思想,本题难点在于求概率分布列,特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列,这里可用列举法写出各种可能,然后由独立事件的概率公式计算出概率.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系中,曲线参数方程为(为参数),直线的方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线交于,两点,求的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)3
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先把曲线的参数方程转化为普通方程,进一步转化为极坐标方程.
(Ⅱ)把直线方程转化为极坐标方程,与曲线的极坐标方程联立,根据根与系数的关系,求得结果.
【详解】(Ⅰ)曲线普通 方程为,
则的极坐标方程为
(Ⅱ)设,,
将代入 ,得
所以,所以.
【点睛】本题考查的知识要点:直角坐标方程和极坐标方程的转化,参数方程与直角坐标方程的转化,一元二次方程根的应用,属于基础题型.
23.已知,证明:
(1);
(2)
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)利用的几何意义证明,表示点到原点的距离的平方,距离的最小值是原点到直线的距离,由此可证;
(2)先求出的范围,然后可化为关于的二次函数形式,再由二次函数的性质可得最大值,从而证明结论.
【详解】证明:(1)表示点到原点的距离的平方,而原点到直线的距离为,∴;
(2)∵,∴,,
,易知时,取得最大值.
∴.
【点睛】本题考查不等式的证明,证明方法与一般证明不等式的方法不同,第(1)小题利用二次式的几何意义,表示两点距离的平方,由此得证法,第(2)小题由已知条件变形后代数式化为关于的二次函数,由二次函数性质证明.这两种方法具有一定的局限性,注意体会.