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- 2021-06-10 发布
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2020年420模拟考试
数学试卷(理科)
考生注意：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{－1，0，1，2，3}，，则A∩B＝
A.{x|－10，ω>0，－π<φ<0)的图象与x轴的两个相邻交点，M(1，2)是函数f(x)的图像的一个最高点，若△MPQ是等腰三角形，则函数f(x)的解析式是
A.f(x)＝2cos(x－) B.f(x)＝2cos(x－)
C.f(x)＝2cos(x－) D.f(x)＝2cos(x－)
10.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“|a－b|≤3”的概率为
A. B. C. D.
11.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD＝CD，AB＝2BC＝4，四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上。若四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为36，则该四棱柱的外接球的表面积为
A.164π B.96π C.84π D.36π
12.已知双曲线的虚轴的一个顶点为N(0，1)，左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为S1，S2，若2S1＝S2，则双曲线C的离心率为
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分｡将答案填在答题卡中的横线上。
13.已知点(1，2)在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为 。
14.若实数x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最小值为 。
15.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是 。
16.若对任意实数x∈(－∞，1]，≥1恒成立，则a＝ 。
三、解答题：共70分｡解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤｡第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答｡第22、23题为选考题，考生根据要求作答｡
(一)必考题：共60分｡
17.(12分)
在数列中，，且n≥2)｡
(1)证明：数列是等比数列｡
(2)求数列的通项公式｡
18.(12分)
某中学有教师400人，其中高中教师240人为了了解该校教师每天课外锻炼时间，现利用分层抽样的方法从该校教师中随机抽取了100名教师进行调查，统计其每天课外锻炼时间(所有教师每天课外锻炼时间均在[0，60]分钟内)，将统计数据按[0，10)，[10，20)，[20，30)，…，[50，60]分成6组，制成频率分布直方图如下：
假设每位教师每天课外锻炼时间相互独立，并称每天锻炼时间小于20分钟为缺乏锻炼。
(1)试估计本校教师中缺乏锻炼的人数；
(2)从全市高中教师中随机抽取3人，若X表示每天课外锻炼时间少于10分钟的人数，以这60名高中教师每天课外锻炼时间的频率代替每名高中教师每天课外锻炼时间发生的概率，求随机变量X的分布列与数学期望。
19.(12分)
如图1，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB＝2CD，△ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边，若把△ACD沿AC边折叠到△ACP的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2。
(1)证明：AB⊥PA。
(2)若E为棱BC的中点，求二面角B－PA－E的余弦值｡
20.(12分)
已知函数。
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)讨论f(x)在区间[－π，]上的零点个数。
21.(12分)
已知椭圆C：的离心率为，且四个顶点构成的四边形的面积是。
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l经过点P(－2，0)，且不垂直于y轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM与椭圆C交于E，F两点(O是坐标原点)，求四边形AEBF的面积的最小值。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。
(1)求C与l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2，2)，求的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－5|。
(1)当a＝3时，求不等式f(x)≤10的解集；
(2)若f(x)≥1，求a的取值范围。
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