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- 2021-06-10 发布
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成都市高三二轮复习文科数学(四) 复数、算法、推理与证明
经典例题:
1.设(1-i)x=1+yi,其中x,y是实数,则x+yi在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析:选D ∵(1-i)x=1+yi⇒x-xi=1+yi⇒(x-1)-(x+y)i=0⇒⇒∴x+yi=1-i,其在复平面内所对应的点为(1,-1),在第四象限,故选D.
2.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i B.-1+I C.1-i D.1+i
解析:选D 由z(1+i)=2i,得z====i(1-i)=1+i.故选D.
3.(2019·郑州市第一次质量预测)若复数(a∈R)的实部和虚部相等,则实数a的值为( )
A.1 B.-1 C. D.-
解析:∵==+i,∴由题意得=,解得a=,故选C.
4.(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
解析:选C 由已知条件,可得z=x+yi.∵|z-i|=1,∴|x+yi-i|=1,∴x2+(y-1)2=1.故选C.
1.(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:选B k=1,s=1;第一次循环:s=2,判断k<3,k=2;
第二次循环:s=2,判断k<3,k=3;
第三次循环:s=2,判断k=3,
故输出2.故选B.
2.(2019·全国卷Ⅰ)右图是求的程序框图,图中空白框中应填入( )
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A.A= B.A=2+ C.A= D.A=1+
解析:选A A=,k=1≤2成立,执行循环;A=,k=2,2≤2成立,执行循环体;A=,k=3,3≤2不成立,结束循环,输出A.故空白框中应填入A=.故选A.
3.(2019·南昌市第一次模拟测试)如图所示程序框图,当输入的x为1时,输出的结果为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:选C 执行程序框图,i=0,输入的x为1时,y=1+1=2,i=1,y=2<20,则x=2;y=4,i=2,y=4<20,则x=4;y=8,i=3,y=8<20,则x=8;y=16,i=4,y=16<20,则x=16;y=32,i=5,y=32>20,退出循环体.故输出的结果为5,选C.
4.(2019·洛阳尖子生第二次联考)执行如图所示的程序框图,如果输出的数是13,那么输入的正整数n的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:选C 由题意,可得A=1,B=1,k=3,满足条件k≤n;C=2,A=1,B=2,k=4,满足条件k≤n;C=3,A=2,B=3,k=5,满足条件k≤n;C=5,A=3,B=5,k=6,满足条件k≤n;C=8,A=5,B=8,k=7,满足条件k≤n;C=13,A=8,B=13,k=8,此时应该不满足条件k≤n,退出循环,输出的C的值为13.可得8>n≥7,所以输入的正整数n的值是7.故选C.
1.(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲:我的成绩比乙高. 乙:丙的成绩比我和甲的都高. 丙:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为( )
A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙 C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙
解析:选A 依题意,若甲预测正确,则乙、丙均预测错误,此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若乙预测正确,此时丙预测也正确,这与题意相矛盾;若丙预测正确,则甲预测错误,此时乙预测正确,这与题意相矛盾.综上所述,三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙,选A.
2.二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=( )
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A.2πr4 B.3πr4 C.4πr4 D.6πr4
解析:选A 二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,(πr2)′=2πr,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,′=4πr2,四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,∵(2πr4)′=8πr3,∴“超球”的四维测度W=2πr4,故选A.
3.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在 中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程=x确定x=2,则1+=( )
A. B. C. D.
解析:选C 设1+=x,则1+=x,即x2-x-1=0,解得x1=,x2=(舍).故1+=.故选C.
[题后悟通]
1、复数代数形式运算的方法
(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类项,不含i的看作另一类项,分别合并同类项即可.
(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分母中含有根号的分数时常用的“分母有理化”,其实质就是“分母实数化”.
2、程序框图2类常考问题的解题技巧
(1)求解程序框图的运行结果问题
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先要找出控制循环的变量及其初值、终值,然后看循环体,若循环次数较少,可依次列出即可得到答案;若循环次数较多,可先循环几次,找出规律.要特别注意最后输出的是什么,不要出现多一次或少一次循环的错误,尤其对于以累和为限定条件的问题,需要逐次求出每次迭代的结果,并逐次判断是否满足终止条件.
(2)对于程序框图的填充问题
最常见的是要求补充循环结构的判断条件,解决此类问题的方法:创造参数的判断条件为“i>n?”或“i<n?”,然后找出运算结果与条件的关系,反解出条件即可.
3.破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性:通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);
(2)归纳推理:把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);
(3)检验结论:对所得的一般性命题进行检验,一般地,“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧.
4.破解类比推理题的3个关键
(1)会定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
(2)会推测,即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的猜想;
(3)会检验,即检验猜想的正确性.要将类比推理运用于简单推理之中,在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.
课后限时练习:
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ)设z=,则|z|=( )
A.2 B.
C. D.1
2.已知复数z=,则复数z的虚部为( )
A.- B.-i
C.i D.-
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3.给出下面四个类比结论:
①实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比复数z1,z2,若z1z2=0,则z1=0或z2=0.
②实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比向量a,b,若a·b=0,则a=0或b=0.
③实数a,b,有a2+b2=0,则a=b=0;类比复数z1,z2,有z+z=0,则z1=z2=0.
④实数a,b,有a2+b2=0,则a=b=0;类比向量a,b,若a2+b2=0,则a=b=0.
其中类比结论正确的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.(2019·开封市定位考试)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则输入的x为( )
A.-1 B.0
C.-1或1 D.-1或0
5.(2019·蓉城名校第一次联考)设复数z=x+yi(x,y∈R)满足z=3+2i2+i5,则的值为( )
A. B.
C.1 D.
6.(2019·重庆市学业质量调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的,则获奖的同学是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
7.(2019·武昌区调研考试)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的s=( )
A.26 B.102
C.410 D.512
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8.(2019·长沙市统一模拟考试)在复平面内,复数对应的点位于第一象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
9.(2019·山东泰安一轮复习质量检测)下图是一个算法流程图,若输入n的值是13,输出S的值是46,则a的取值范围是( )
A.9≤a<10 B.9<a≤10
C.10<a≤11 D.8<a≤9
10.(2019·河北省九校第二次联考)执行如图所示的程序框图,如果输入的a,b,k分别为1,2,4,输出的M=,那么判断框中应填入的条件为( )
A.n<k? B.n≥k?
C.n<k+1? D.n≥k+1?
11.(2019·唐山市摸底考试)已知程序框图如图所示,则该程序框图的功能是( )
A.求1++++…+的值 B.求1++++…+的值
C.求1-+-+…-的值 D.求1-+-+…+的值
12.埃及数学中有一个独特现象:除用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个单位分数和的形式,例如=+.可以这样理解:假定有两个面包,要平均分给5个人,若每人分得一个面包的,不够,
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若每人分得一个面包的,还余,再将这分成5份,每人分得,这样每人分得+.形如(n=5,7,9,11,…)的分数的分解:=+,=+,=+,按此规律,=( )
A.+ B.+
C.+ D.+
二、填空题
13.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=________,ab=________.
14.已知复数z=x+4i(x∈R)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限,且|z|=5,则的共轭复数为________.
15.在平面内,三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径r=.在空间中,三棱锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R=________.
16.使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位:□,○,□,○,○,○,□,○,○,○,○,○,□,○,○,○,○,○,○,○,…,若每一个“□”或“○”占一个位置,如上述图形中,第1位是“□”,第4位是“○”,第7位是“□”,则第2 020位之前(不含第2 020位),共有______个“○”.
1解析:选C 法一:∵ z===,∴ |z|= =.故选C.
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法二:|z|====.
2解析:选D 因为z===-=-=-i,所以虚部为-,故D.
3解析:选C 对于①,显然是正确的;对于②,若向量a,b互相垂直,则a·b=0,所以②错误;对于③,取z1=1,z2=i,则z+z=0,所以③错误;对于④,若a2+b2=0,则|a|=|b|=0,所以a=b=0,故④是正确的.综上,类比结论正确的个数是2.
4解析:选D 由得x=-1;由得x=0.故选D.
5解析:选A 因为z=3+2i2+i5=1+i=x+yi⇒x=1,y=1,所以=.故选A.
6解:选D 假设获奖的同学是甲,则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对,因此甲不是获奖的同学;假设获奖的同学是乙,则甲、乙、丁的话都对,因此乙也不是获奖的同学;假设获奖的同学是丙,则甲和丙的话都对,因此丙也不是获奖的同学.从前面推理可得丁为获奖的同学,此时只有乙的话是对的,故D.
7解析:选B s=0,n=1,第一次运行,s=21-0=2,n=1+2=3;
第二次运行,s=23-2=6,n=3+2=5;第三次运行,s=25-6=26,n=5+2=7;
第四次运行,s=27-26=102,n=7+2=9>8,终止循环.输出s=102,故选B.
8解析:选D 因为复数==+i对应的点位于第一象限,所以解得m>1,故选D.
9解析:选B 输入n=13,S=0,第一次循环S=13,n=12;第二次循环S=25,n=11;
第三次循环S=36,n=10;第四次循环S=46,n=9,输出S=46,此时应满足退出循环的条件,
故a的取值范围是9<a≤10,故选B.
10解析:选A 由于输入的a=1,b=2,k=4,所以当n=1时,M=1+=,此时a=2,b=;当n=2时,M=2+=,此时a=,b=;当n=3时,M=+=,与输出的M值一致,故循环需终止.此时n=4,而输入的k=4,故结合选项知,判断框中应填入n<k?.故选A.
11解析:选C 执行程序框图,S=1,a=-1,n=3;S=1-,a=1,n=5;S=1-+,a=-1,n=7;…;S=1-+-+…-,a=1,n=21>19满足条件,退出循环,输出S.故该程序框图的功能是求S=1-+-+…-的值,故选C.
12解析:选A 根据分面包原理知,等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半,
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第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积,两个数的原始分子都是1,即=+=+.
13解析:∵(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,
∴∴或∴a2+b2=5,ab=2.答案:5 2
14解析:由题意知x<0,且x2+42=52,解得x=-3,∴===+i,
故其共轭复数为-i.答案:-i
15解析:若三棱锥表面积为S,体积为V,则其内切球半径R=.理由如下:
设三棱锥的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径,
所以V=S1R+S2R+S3R+S4R=SR,所以内切球的半径R=.答案:
16解析:记“□,○”为第1组,“□,○,○,○”为第2组,“□,○,○,○,○,○”为第3组,以此类推,第k组共有2k个图形,故前k组共有k(k+1)个图形,因为44×45=1 980<2 019<45×46=2 070,所以在这2 019个图形中有45个“□”,1 974个“○”.答案:1 974